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[quote="Corbi"][quote="Qubit"] Nein, der Isomorphismus bildet i.a. nicht Basisvektoren auf die Basisvektoren des Dualraums ab. [/quote] Vektorraumisomorphismen bilden [i] immer [/i] Basen auf Basen ab. Denn lineare Unabhängigkeit ist erhalten unter einem Isomorphismus und da ein isomorphismus surjektiv ist, lässt sich auch jeder Vektor in der Bildmenge als Linearkombination des Bilds der ursprünglichen Basis schreiben.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Qubit</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Feb 2025 23:07<span class="gen"> </span> Titel: Re: Isomorphismus in den Dualraum, Indizierung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Qubit hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Nein, der Isomorphismus bildet i.a. nicht Basisvektoren auf die Basisvektoren des Dualraums ab. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Vektorraumisomorphismen bilden <span style="font-style: italic"> immer </span> Basen auf Basen ab.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />In dem Sinne, dass die Bilder der Basisvektoren eine Basis bilden. <br />Hier geht es aber um eine vorgegebene Basis im Dualraum. Oder übersehe ich was?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Corbi</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Feb 2025 23:03<span class="gen"> </span> Titel: Re: Isomorphismus in den Dualraum, Indizierung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Qubit hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Nein, der Isomorphismus bildet i.a. nicht Basisvektoren auf die Basisvektoren des Dualraums ab. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Vektorraumisomorphismen bilden <span style="font-style: italic"> immer </span> Basen auf Basen ab. <br />Denn lineare Unabhängigkeit ist erhalten unter einem Isomorphismus und da ein isomorphismus surjektiv ist, lässt sich auch jeder Vektor in der Bildmenge als Linearkombination des Bilds der ursprünglichen Basis schreiben.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Qubit</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Feb 2025 22:41<span class="gen"> </span> Titel: Re: Isomorphismus in den Dualraum, Indizierung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>MatzeM hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Wenn man z. B. mal annimmt, der Isomorphismus <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\iota: E \rightarrow E^*"> bildet <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?e_i "> auf <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\epsilon^i">ab, dann bedeutet Gleichung (1.53) ja auch <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\epsilon^i = g_{ij}\epsilon^j "> <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Nein, der Isomorphismus bildet i.a. nicht Basisvektoren auf die Basisvektoren des Dualraums ab. Die Dualvektoren der Basisvektoren lassen sich aber in den Basisvektoren des Dualraums darstellen. <br />Der Isomorphismus ist vielmehr <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?<ia,x>=(a,x)"> <br />mit Vektoren aus aus dem Vektorraum. <br /><.> verstanden als Skalarprodukt (lineares Funktional), das dann durch das innere Produktt (.) im Vektorraum identifiziert wird. <br />Mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\epsilon_i = i e_i"> als Dualvektor zum Vektor des Dualraums im Sinne dieses Isomorphismus stimmt dann so wieder die Notation.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>MatzeM</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Feb 2025 23:16<span class="gen"> </span> Titel: Isomorphismus in den Dualraum, Indizierung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span> <br />Hallo zusammen, <br /> <br />angehängt ist ein kleiner Ausschnitt aus Dirschmid: Tensoren und Felder, in dem es um die Definition des Metriktensors geht. <br />Eigentlich ist das alles klar, bis auf die Schlussfolgerung (1.53). <br /> <br />Wenn man z. B. mal annimmt, der Isomorphismus <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\iota: E \rightarrow E^*"> bildet <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?e_i "> auf <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\epsilon^i">ab, dann bedeutet Gleichung (1.53) ja auch <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />\epsilon^i = g_{ij}\epsilon^j "> <br /> <br />Dann passen aber die Indizes nicht zusammen, oder überseh ich da etwas? <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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