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[quote="TomS"]Was ist der Regulator alpha? Doch, das Verschwinden der Variation des Funktionals entspricht letztlich der Extremalbedingung für eine Funktion. Man kann sich das im Übrigen algebraisch klarmachen, wenn man spezielle Funktionen f und darüber zu minimierende Funktionale S[f] betrachtet, nämlich [latex]f(t) = \sum_n f_n \, e^{int}[/latex] Dann führt die Variation von S, d.h. die Funktionalableitung nach f(t) auf die entsprechenden gewöhnlichen partiellen Ableitungen nach den Koeffizienten f_n. Letztlich entspricht das einer Taylor-Entwicklung erster Ordnung.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>PhysikLama</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Feb 2025 13:26<span class="gen"> </span> Titel: Antwort auf TomS</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Okay, dass habe ich verstanden. Uns es also möglich mittels einer Taylor Reihe das Funktional um zu schreiben. <br />Bedeutet, dass dann <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?S[f] = S[f_0 + a \phi(t)] "> <br />oder verstehe ich da was falsch? <br /> <br />Außerdem wieso darf ich die Taylor Entwicklung bereits nach den ersten Termen abbrechen? Wäre die Approximation dann nicht ungenau?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Feb 2025 12:54<span class="gen"> </span> Titel: Re: Antwort auf TomS</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PhysikLama hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Okay, d.h. ich versuche mittels der Taylor Entwicklung das Funktional hier <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F[f_0(t) + a \phi(t)]"> zu approximieren, so wie ich es mit einer "normalen" Funktion tue oder?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />F ist die Funktion unter dem Integral, also <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? S[f] = \int dt \, F(f(t)) "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? S[f_0 + a\phi] = \int dt \, F(f_0(t) + a\phi(t)) "> <br /> <br />In den obigen Beispielen war das <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F(f) = T(f) = \frac{1}{2}\dot{f}^2"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F(f) = V(f)"> <br /> <br />wobei oben x statt f verwendet wurde * <br /> <br />Worauf ich hinaus will, ist, dass unter dem Integral letztlich nichts wirklich Neues passiert. Man verwendet eine Taylor-Näherung, allerdings jetzt für die Funktion F um die Funktion f_0, nicht mehr eine für die Funktion f um den Wert x_0. <br /> <br />Wenn ich heute Abend mal Zeit habe, gehe ich durch die Diskussion durch und bereinige die Nomenklatur.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>PhysikLama</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Feb 2025 10:10<span class="gen"> </span> Titel: Post Scriptum Frage</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">PS: <br />Sind das <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?y"> bzw. <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\phi"> hier nur andere Besetzungen für <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\alpha"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\eta">?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>PhysikLama</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Feb 2025 10:07<span class="gen"> </span> Titel: Antwort auf TomS</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Okay, d.h. ich versuche mittels der Taylor Entwicklung das Funktional hier <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F[f_0(t) + a \phi(t)]"> zu approximieren, so wie ich es mit einer "normalen" Funktion tue oder?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Feb 2025 19:05<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ist dir dann in der Zwischenzeit klar, dass die Variationensrechnung nichts anders macht als die Idee der Taylorentwicklung bis erste Ordnung auf Funktionale zu übertragen? <br /> <br />Also statt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f(x_0+ay) = f(x_0) + f^\prime(x_0) \cdot ay \ldots"> <br /> <br />jetzt unter dem Integral <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F(f_0(t) + a\phi(t)) = F(f_0(t)) + F^\prime(f_0(t)) \cdot a\phi(t)"> <br /> <br />(wobei ich die Frage von df/dt und partieller Integration erst mal zurückgestellt habe)</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>PhysikLama</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Feb 2025 15:27<span class="gen"> </span> Titel: Antwort auf TomS</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ok, dann einfacher. <br /> <br />Sagt dir die Ableitung einer Funktion, die Bedingung für ein Extremum und die Taylor-Entwicklung bis erste Ordnung etwas?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das differenzieren einer Funktion ist mir wohl bekannt, auch eine Taylor-Entwicklung verstehe ich (dadurch kann ich eine Funktion über ihre Ableitungen approximieren oder?). Aber die Bedingungen für ein Extrememum eher weniger, sofern du damit nicht meinst, dass <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\text{d}f}{\text{d}x} = 0"> ein Extrememum (stationären Punkt) definiert.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Feb 2025 13:40<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ok, danke. <br /> <br />Letzteres ist natürlich klar. Man müsste immer explizit dazusagen, dass man Minima, Maxima und Sattelpunkte zulässt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Corbi</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Feb 2025 10:31<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Außerdem denke ich, dass meine Anmerkung wohl falsch ist, denn <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta S[x] = S[x + a \eta] - S[x] \stackrel{!}{=} 0 "> <br /> <br />Z.B. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int \frac{1}{2} (\dot{x} + a \dot{\eta})^2 - \int \frac{1}{2} \dot{x}^2 = a \int \dot{x} \, \dot{\eta} + \mathcal{O}(a^2) \to - a \int \ddot{x} \, \eta \stackrel{!}{=} 0 "> <br /> <br />führt doch ebenfalls zum Ziel. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich denke dieser Ansatz ist mathematisch sinnvoller. Hier kannst du <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta S[x] = S[x + a \eta] - S[x] "> <br /> <br />als Funktion <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \delta S[x](a): R \to R "> in der variable a auffassen und damit hast du dann eine wohldefinierte Taylorentwicklung. <br /> <br />Was ich dann meinte mit " aus <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \delta S[x](a)=0"> folgen die Euler-Lagrange-Gleichungen nicht." ist, dass du ja zusätzlich die Bedingung benötigst, dass die Terme der Ordnung a^2 verschwinden. Das steckt ja aber nicht allein in <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \delta S[x](a)=0">.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Corbi</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Feb 2025 10:21<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich verstehe das Problem nicht. <br /> <br />Wenn ich eine Funktion V(x(t)) habe, ist dann der Ansatz <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V(x + \eta) = V(x) + V^\prime(x) \cdot \eta + \ldots"> <br /> <br />wobei man üblicherweise nur die erste Ordnung betrachtet, mathematisch fragwürdig? <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das ist ja etwas ganz anders als du oben machen willst <br />Das Wirkungsfunktional ist eine Abbildung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? S: C^1([0,t],R^d) \to R. "> <br /> <br />Für solche Abbildungen bin ich mir nicht sicher ob du das Taylorentwickeln kannst. Was du in einem letzten Post dagegen machst, ist du nimmst eine Abbildung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V: R^d \to R "> <br /> <br />machst dann eine Taylor-Entwicklung in der R^d-variable und verkettest danach mit der Kurvenfunktion. Damit Approximierst du aber einfach dein Potential durch eine Taylor-Reihe und nicht das Wirkungsfunktional in der Kurvenvariable.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Feb 2025 06:10<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich verstehe das Problem nicht. <br /> <br />Wenn ich eine Funktion V(x(t)) habe, ist dann der Ansatz <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V(x + \eta) = V(x) + V^\prime(x) \cdot \eta + \ldots"> <br /> <br />wobei man üblicherweise nur die erste Ordnung betrachtet, mathematisch fragwürdig? <br /> <br />Außerdem denke ich, dass meine Anmerkung wohl falsch ist, denn <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta S[x] = S[x + a \eta] - S[x] \stackrel{!}{=} 0 "> <br /> <br />Z.B. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int \frac{1}{2} (\dot{x} + a \dot{\eta})^2 - \int \frac{1}{2} \dot{x}^2 = a \int \dot{x} \, \dot{\eta} + \mathcal{O}(a^2) \to - a \int \ddot{x} \, \eta \stackrel{!}{=} 0 "> <br /> <br />führt doch ebenfalls zum Ziel. <br /> <br />Kannst du evtl. nochmal erklären, was genau du damit <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Corbi hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Aus der anderen Definition <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta S(\alpha)=S[y+\alpha\eta]-S[y]=\int\limits_{t_0}^{t_1}\left(f(y(t)+\alpha\eta(t), y'(t)+\alpha\eta'(t))-f(y(t),y'(t)\right)\,\mathrm{d}t"> <br /> <br />folgen aus <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta S=0"> die Euler-Lagrange-Gleichungen dagegen nicht.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />meinst?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Corbi</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Feb 2025 23:44<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Letztlich ist das unter dem Integral eine Taylor-Entwicklung in eta bis einschließlich erster Ordnung sowie partielle Integration, um die Zeitableitungen bei eta loszuwerden. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Mir ist nicht klar, was eine Taylorentwicklung in eta bedeuten soll. Zumindest kenne ich keine Erweiterung der Taylorentwicklung für Funktionen auf unendlichdimensionalen Räumen wie <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?C^1">.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Corbi</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Feb 2025 23:37<span class="gen"> </span> Titel: Re: Antwort und Anschlussfrage</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PhysikLama hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Eine Frage hätte ich aber noch. <br />Was kann ich mir "bildlich" unter dem variieren eines Funktionals vorstellen? Beim Ableiten kann man es sich ja so vorstellen, dass man an jede Stelle eine Gerade zeichnet, die dann die Steigung angibt. Aber was ist hier das Pendant zu <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta S"> ?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das Wirkungsprinzip bedeutet, dass du genau diejenige Kurve auswählst für die sich die Wirkung kaum ändert wenn du die Kurve ein klein wenig veränderst (variierst). Genau wie bei einer eindimensionalen Funktion: wenn die Funktion an einem Minimum oder Maximum ist, also die Ableitung verschwindet, ist die Steigung Null. Das heißt der Funktionswert ändert sich kaum wenn du dich ein klein wenig vom Minimum wegbewegst. <br /> <br />Darüberhinaus lässt sich noch mehr Anschauliches sagen. Das Wirkungsfunktional in der klassichen Mechanik ist gegeben durch <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? S(\gamma)=\int_0^t T(\gamma)(s)-V(\gamma(s))ds "> <br /> <br />also durch das Zeitintegral über die Differenz kinetischer und potentieller Energie. <br /> <br />In den meisten Fällen ergibt das Variationsprinzip ein Minimum. Das Integral lässt sich als eine Mittelung über die Zeit verstehen. Das heißt die Wirkung gibt dir die mittlere Differenz aus kinetischer und potentieller Energie. Wenn dieses Mittel nun ein Minimum annimmt, bedeutet das die Differenz von kinetischer und potentieller Energie wird im Mittel so klein wie möglich. Das heißt also anschaulich gesprochen, dass sich kinetische und potentielle Energie über die Zeit gesehen die Waage halten, also sich gegenseitig ausgleichen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>PhysikLama</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Feb 2025 21:54<span class="gen"> </span> Titel: Antwort und Anschlussfrage</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich danke euch für eure Antworten <img src="images/smiles/prost.gif" alt="Prost" border="0" /> und werde mich die Tage nochmal in das Thema reinarbeiten um eure Antworten besser zu verstehen. <br /> <br />Eine Frage hätte ich aber noch. <br />Was kann ich mir "bildlich" unter dem variieren eines Funktionals vorstellen? Beim Ableiten kann man es sich ja so vorstellen, dass man an jede Stelle eine Gerade zeichnet, die dann die Steigung angibt. Aber was ist hier das Pendant zu <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta S"> ?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Feb 2025 16:48<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich denke, das Problem ist die Auftrennung der Variation in alpha und eta. Lässt man das bleiben, folgen die Euler-Lagrange-Gleichungen unmittelbar aus <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta S[x] = S[x + \eta] - S[x] \stackrel{!}{=} 0 "> <br /> <br />Z.B. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int \frac{1}{2} (\dot{x} + \dot{\eta})^2 - \int \frac{1}{2} \dot{x}^2 = \int \dot{x} \, \dot{\eta} + \mathcal{O}(\eta^2) \to - \int \ddot{x} \, \eta \stackrel{!}{=} 0 "> <br /> <br />Andere Fälle wie <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int V(x + \eta) - \int V(x) = \int V^\prime(x) \, \eta \ldots "> <br /> <br />analog. <br /> <br />Letztlich ist das unter dem Integral eine Taylor-Entwicklung in eta bis einschließlich erster Ordnung sowie partielle Integration, um die Zeitableitungen bei eta loszuwerden. <br /> <br />Oder übersehe ich etwas?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Corbi</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Feb 2025 14:13<span class="gen"> </span> Titel: Re: Verbesserte Formulierung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Myon hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta S[y]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}S[y+\alpha\eta]\Big|_{\alpha=0}"> <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Meines Erachtens ist das die einzig sinnvolle Definition. Hieraus folgt dann aus der Annahme, dass <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \delta S=0 "> für alle <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\eta"> mit verschwindenen Randbedingungen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(\eta(t_0)=\eta(t_1)=0)"> sowie dem Fundamentallemma der Varitionsrechnung die Euler-Lagrange-Gleichungen. <br /> <br />Aus der anderen Definition <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta S(\alpha)=S[y+\alpha\eta]-S[y]=\int\limits_{t_0}^{t_1}\left(f(y(t)+\alpha\eta(t), y'(t)+\alpha\eta'(t))-f(y(t),y'(t)\right)\,\mathrm{d}t"> <br />folgen aus <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta S=0"> die Euler-Lagrange-Gleichungen dagegen nicht.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>PhysikLama</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Feb 2025 14:12<span class="gen"> </span> Titel: Antwort</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Also ich persönlich habe beides gesehen. Einerseits über die Ableitung und andererseits auch über die andere Definition. <br />Wieso ist aber <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta S = S[y + \alpha\eta] - S[y] ">? <br />Vielleicht hilft mir das, den Sachverhalt besser zu verstehen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Feb 2025 12:13<span class="gen"> </span> Titel: Re: Verbesserte Formulierung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>PhysikLama hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Gemäß der Definition, die ich recherchiert habe gilt <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta S = S[f(y + \alpha\eta ,y' + \alpha\eta ')]">, <br />wobei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\eta"> eine Störfunktion ist und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\alpha"> eine Art Regulator mit dem die Stärke der Störfunktion reguliert werden kann.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Eine solche Definition wäre meiner Meinung nach nicht sinnvoll. Auch die Notation finde ich nicht ganz klar. Ist hier vielleicht eher gemeint, dass S ein Funktional von y sein soll, z.B. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?S[y]=\int\limits_{t_0}^{t_1}f(y,y')\,\mathrm{d}t"> <br /> <br />wobei f eine reellwertige Funktion und y eine Funktion <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t\to y(t)\in\mathbb{R}^n"> <br /> <br />ist? Eine Variation von S wäre dann <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta S=S[y+\alpha\eta]-S[y]=\int\limits_{t_0}^{t_1}\left(f(y(t)+\alpha\eta(t), y'(t)+\alpha\eta'(t))-f(y(t),y'(t)\right)\,\mathrm{d}t"> <br /> <br />Oder man versteht darunter die Ableitung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta S[y](\alpha)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}S[y+\alpha\eta]\Big|_{\alpha=0}"> <br /> <br />Man korrigiere mich bitte, wenn auch das nicht korrekt ist.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Feb 2025 21:38<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ok, dann einfacher. <br /> <br />Sagt dir die Ableitung einer Funktion, die Bedingung für ein Extremum und die Taylor-Entwicklung bis erste Ordnung etwas?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>PhysikLama</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Feb 2025 20:53<span class="gen"> </span> Titel: Antwort</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Sorry Tom, <br /> <br />aber leider verstehe ich deine Antwort nicht so ganz. Bin auch nicht an einer Universität oder ähnlichem, meinst du du könntest es genauer oder anders erklären. Vielleicht liegt das Problem auch darin, dass ich nicht ganz die Operation des Variierens eines Funktionales verstehe. Was bedeutet es jetzt Konkret, nicht in einer Gleichung oder Formel ausgedrückt, wenn ich ein Funktional variiere?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>PhysikLama</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Feb 2025 20:18<span class="gen"> </span> Titel: Verbesserte Formulierung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">PS(2): Da meine Formulierung so dermaßen grauenvoll gewesen ist hier eine sprachlich verbesserte Version: <br /> <br />ich habe mich letztens mit der Variationsrechnung und dem Prinzip der minimalen Wirkung auseinander gesetzt. <br /> <br />Meine Frage wäre wieso für ein Funktional <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?S[f(y,y')]">, dessen Variation <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta S">, wenn wir sie gleich Null setzen, also <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta S = 0">, dann das Funktional (hier die Wirkung) dadurch minimiert wird. <br /> <br />Gemäß der Definition, die ich recherchiert habe gilt <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta S = S[f(y + \alpha\eta ,y' + \alpha\eta ')]">, <br />wobei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\eta"> eine Störfunktion ist und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\alpha"> eine Art Regulator mit dem die Stärke der Störfunktion reguliert werden kann. Für <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\alpha = 0"> existiert diese Störfunktion nicht mehr. <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Meine Idee</span> <br /> <br />Ich persönlich glaube, dass ich mit der Definition etwas durcheinander gekommen bin. Allgemein verstehe ich die Operation des Variierens eines Funktionals nicht so ganz.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Feb 2025 20:17<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Was ist der Regulator alpha? <br /> <br />Doch, das Verschwinden der Variation des Funktionals entspricht letztlich der Extremalbedingung für eine Funktion. <br /> <br />Man kann sich das im Übrigen algebraisch klarmachen, wenn man spezielle Funktionen f und darüber zu minimierende Funktionale S[f] betrachtet, nämlich <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f(t) = \sum_n f_n \, e^{int}"> <br /> <br />Dann führt die Variation von S, d.h. die Funktionalableitung nach f(t) auf die entsprechenden gewöhnlichen partiellen Ableitungen nach den Koeffizienten f_n. Letztlich entspricht das einer Taylor-Entwicklung erster Ordnung.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>PhysikLama</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Feb 2025 19:25<span class="gen"> </span> Titel: Variationsrechnung, Prinzip der minimalen Wirkung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span> <br />Servus, <br /> <br />ich habe mich letztens mit der Variationsrechnung und dem Prinzip der minimalen Wirkung auseinander gesetzt. <br /> <br />Ich habe mich gefragt wieso die Wirkung wenn wir S variieren und diese Variation gleich Null setzen, das dass Minimum von S darstellt. Oder andersrum wieso das Minimum von S durch <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta S = 0"> definiert ist. <br />Denn gemäß folgender Definition über eine Störfunktion eta macht das für mich keinen Sinn: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta S[f(y,y')] = S[f(y + \alpha\eta, y' + \alpha\eta')]"> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span> <br />Ich persönlich habe anfangs gedacht, das Variieren mit dem Operator delta als Pendant zum Ableiten gesehen, nur eben für Funktionale anstatt normalen Funktionen, aber anscheinend, gemäß meiner Recherche, bedeutet es ein Funktional zu variieren, kleine Änderungen über die Störfunktion eta und dessen Regulator alpha vorzunehmen. Wieso sollte jetzt aber diese Änderung der Funktion bei dem Minimum gleich Null sein, das verstehe ich nicht. <br /> <br />PS: <br />Hi, <br /> <br />ich möchte mich für meine grauenhafte Formulierung und Grammatik, in obiger Frage, entschuldigen. Eigentlich war das nur ein Entwurf, den ich dann irgendwie in aller Eile aus Versehen abgeschickt habe. <br />Danke schonmal an alle die meiner Frage auf den Grund gehen <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /> <br /> <br /> <br /><span style="color: blue"> <br />Zwei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen <br /></span></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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