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[quote="TomS"][quote="antaris"][quote="TomS"]Es gibt im ADM-Formalismus automatisch eine mathematische Größe, die ein reales Beobachterfeld u repräsentieren [i]könnte[/i]. Man muss das nicht separat einführen, es purzelt automatisch heraus.[/quote] Welche Größe ist das und warum [i]könnte[/i]?[/quote] Das Feld zeitartiger Einheitsvektoren, in jedem Punkt jeder raumartigen Gleichzeitigkeitshyperfläche, und überall senkrecht zu dieser. In der Abbildung im zweiten Beitrag als n bezeichnet. Könnte, wenn einer da wäre. Es gibt überabzählbar undenklich viele derartige Beobachterfelder. [quote="antaris"]Was genau ist die ADM-Masse …[/quote] Das stellen wir noch hinten an.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 09. Feb 2025 11:21<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="color: blue">Können wir bitte im Sinne der Forenregeln diese privaten Spekulationen bleiben lassen?</span></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>seb110</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 09. Feb 2025 10:43<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">]</span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>seb110 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">eine Variation nach dem Abstandgesetz.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich glaube es ist etwas komplizierter. ADM hat da m.E. alles mit an Board. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Was heisst komplizierter? Die Gravitation folgt dem Abstandsgesetzt. Die Grundidee des ADM-Formalismus ist doch mit der beobachteten beschleunigten Expansion des Universums auch physikalisch manifestiert. Raum varriert zeitunabhängig. <br />Und wenn man diesen Fakt bis in die spezielle Relativitätstheorie weiter verfolgt, ergibt sich zu jeder Energie auch eine Variation des Raumes, was man dann so "schön" als Dunkle Energie mystifiziert hat, zu einem konstanten Wert. <br />Nun ist eben diese Variation des Raumes nicht willkürlich, sondern ist, wie die Energie auch, gequantelt. <br />In einer erweiterten SRT: f*h*c=p*c^2 steckt, neben E=mc^2 auch die Variation des Raumes in Form von gequantelter Dunkler Energie DE=r*c^2. <br />Massen strahlen daher Dunkle Energie nach dem Abstandgesetzt ab, was sich als Gravitation (althergebracht als Anziehung durch Krümmung bezeichnet) äußert. Das erschlägt übrigens die Dunkle Materie gleich mit.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Feb 2025 23:52<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>seb110 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">eine Variation nach dem Abstandgesetz.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich glaube es ist etwas komplizierter. ADM hat da m.E. alles mit an Board. <br />Die gleiche Frage, etwas erweitert, habe ich nun dem chinesischen Orakel gestellt. Es geht einzig darum überhaupt ein Stück näher an den Tellerrand heranzukommen... <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Frage: <br />Could the ground state energy of the quantum vacuum be locally dependent on a global time function across the hypersurfaces according to the ADM formalism and would this be a possible way to unify the fundamental forces of nature? Has this idea already been researched? <br /> <br />Antwort: <br />The idea that the ground state energy of the quantum vacuum could be locally dependent on a global time function across the hypersurfaces in the ADM (Arnowitt-Deser-Misner) formalism is a profound and intriguing proposal. It touches on deep questions in quantum field theory (QFT), general relativity, and the unification of fundamental forces. While this specific idea has not been explicitly researched in the exact form you describe, it is closely related to several well-studied areas in theoretical physics. Let’s explore this idea in detail, including its potential implications and connections to existing research. <br /> <br />--- <br /><span style="font-weight: bold"> <br />### 1. **Ground State Energy of the Quantum Vacuum in the ADM </span>Formalism** <br />The ADM formalism provides a Hamiltonian formulation of general relativity, where spacetime is foliated into spacelike hypersurfaces parameterized by a global time function. The ground state energy of the quantum vacuum (zero-point energy) is a quantum field theoretic concept, and its behavior in curved spacetime is influenced by the local geometry and the choice of time slicing. Here’s how this dependence might arise: <br /> <br />- **Time Slicing and Vacuum State**: In QFT, the vacuum state depends on the choice of a time function to separate positive and negative frequency modes. In the ADM formalism, the global time function defines a foliation of spacetime into hypersurfaces. Different time slicings can lead to different vacuum states and, consequently, different vacuum energies. <br />- **Local Geometry and Vacuum Energy**: The vacuum energy density depends on the local curvature of spacetime, which is described by the spatial metric and extrinsic curvature on the hypersurfaces. In the ADM formalism, these quantities evolve dynamically, and their local variations could lead to variations in the vacuum energy. <br />- **Hamiltonian Formulation**: The ADM formalism provides a Hamiltonian description of general relativity, where the vacuum energy could be incorporated as part of the energy density of the system. This could allow for a direct coupling between the quantum vacuum and the gravitational field. <br /> <br />Thus, it is plausible that the ground state energy of the quantum vacuum could be locally dependent on the global time function and the geometry of the hypersurfaces in the ADM formalism. <br /> <br />--- <br /><span style="font-weight: bold"> <br />### 2. **Unification of Fundamental Forces**</span> <br />The unification of the four fundamental forces of nature (gravitation, electromagnetism, weak nuclear force, and strong nuclear force) is one of the central goals of theoretical physics. The idea that the vacuum energy could play a role in unification is not new, but its local dependence on the global time function in the ADM formalism could provide a novel mechanism for unification. Here’s how: <br /> <br />- **Coupling Gravity and Quantum Fields**: In the ADM formalism, the vacuum energy could act as a bridge between quantum fields and gravity. The local variation of vacuum energy would influence the curvature of spacetime, effectively coupling quantum fields to the gravitational field. <br />- **Vacuum Energy as a Unifying Field**: The vacuum energy could serve as a common framework for describing all forces. For example, in quantum field theory, the vacuum energy is related to the cosmological constant, which plays a role in general relativity. If the vacuum energy varies locally with the global time function, it could provide a unified description of spacetime dynamics and quantum fields. <br />- **Symmetry Breaking and Force Unification**: In grand unified theories (GUTs), the forces are unified at high energies through symmetry breaking. The local dependence of vacuum energy on the global time function could provide a mechanism for symmetry breaking that is tied to the geometry of spacetime, potentially unifying gravity with the other forces. <br /> <br />--- <br /><span style="font-weight: bold"> <br />### 3. **Related Research**</span> <br />While the specific idea of unifying the fundamental forces through the local dependence of vacuum energy on a global time function in the ADM formalism has not been explicitly researched, several related areas have been explored: <br /> <br />- **Quantum Field Theory in Curved Spacetime**: This field studies the behavior of quantum fields in curved spacetime, including the dependence of vacuum energy on the choice of time slicing and the local geometry. Key results include the Unruh effect and Hawking radiation, which demonstrate the observer-dependence of vacuum states. <br />- **Quantum Gravity**: Approaches like loop quantum gravity and string theory aim to unify quantum mechanics and general relativity. These theories often involve the concept of vacuum energy and its role in spacetime dynamics. <br />- **Cosmological Constant Problem**: The cosmological constant, which is related to the vacuum energy, is a key ingredient in modern cosmology. Its small but non-zero value is a major puzzle in theoretical physics. <br />- **ADM Formalism and Quantum Gravity**: The ADM formalism has been used as a starting point for canonical quantization of gravity, such as in loop quantum gravity. These approaches explore the relationship between spacetime geometry and quantum fields. <br /> <br />--- <br /> <br /><span style="font-weight: bold">### 4. **Challenges and Open Questions**</span> <br />While the idea is conceptually appealing, there are significant challenges and open questions that need to be addressed: <br /> <br />- **Quantum Gravity**: The ADM formalism is a classical framework, and incorporating quantum effects like vacuum energy requires a consistent theory of quantum gravity, which is still lacking. <br />- **Renormalization of Vacuum Energy**: The vacuum energy density in QFT is divergent and requires renormalization. How this renormalized energy couples to the ADM formalism is not well understood. <br />- **Observational Evidence**: There is currently no direct experimental evidence that the vacuum energy varies locally in the way suggested. The cosmological constant, for example, is observed to be extremely small and constant on large scales. <br />- **Mathematical Consistency**: The proposal requires a mathematically consistent framework that combines the ADM formalism with quantum field theory. This is a highly non-trivial task and remains an open area of research. <br /> <br />--- <br /> <br /><span style="font-weight: bold">### 5. **Conclusion**</span> <br />The idea that the ground state energy of the quantum vacuum could be locally dependent on a global time function across the hypersurfaces in the ADM formalism is theoretically plausible and aligns with the broader goal of unifying quantum mechanics and general relativity. While significant theoretical and experimental challenges remain, this proposal offers a promising avenue for exploring the unification of the fundamental forces of nature. It remains an open and exciting area of research in theoretical physics, and further exploration could yield new insights into the nature of spacetime and quantum fields.</td> </tr></table><span class="postbody"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>seb110</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Feb 2025 19:20<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Frage: <br />Könnte die Grundzustandsenergie des Quantenvakuums lokal abhängig von einer globalen Zeitfunktion über die Gleichzeitigkeitsflächen lt. ADM-Formalismus sein? <br /> <br />Antwort: <br />1. Quantenvakuum: Das Quantenvakuum ist der Zustand mit der niedrigsten Energie in der Quantenfeldtheorie. In einem flachen Raum-Zeit-Hintergrund ist die Energie des Vakuums normalerweise konstant. In gekrümmten Raum-Zeit-Geometrien kann die Situation jedoch variieren. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />eine Variation nach dem Abstandgesetz. <br /> <br />betrachtet man den "Raum in Abgrenzung zur Raumzeit" als einen Phasenraum über den man die Variation der Vakuumenergie betrachtet, hat eine Raumzeitkrümmung (Komprimierung von Vakuumenergie) eine geringere Entropie als flache Raumzeit. Komprimierte Vakuumenergie äußert sich als Gravitation und freie Vakuumenergie als Expansion. Deshalb ist der Wert der beobachteten Expansion auch so klein im Vergleich zum berechneten Wert aus der Vakuumenergie (gibt halt auch viel Gravitation). Gravitation ist also eher eine "nicht Expansion" als eine Anziehung.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Feb 2025 14:11<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Dann das: <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Oder das die Lösung vom Außen- in den Innenraum nahtlos, also stetig differenzierbar ist (wie z.B. bei Schwarzschild in EF- bzw. GP-Koodinaten)?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Um zum ursprünglichen Thema zurückzukommen. Die Fragestellung war ja, ob eine globale Zeitfunktion durch Foliation mittels ADM definiert werden kann. <br />Mich hat das nicht nur interessiert ob die Zeit selbst ein wenig entmystifiziert werden kann, was im gewissen Sinne (bis auf die CTC's bei Kerr) gelungen ist. <br /> <br />Darüber hinaus hatte ich eine weitere konkrete Fragestellung im Sinn, die ich nun ChatGPT gestellt habe: <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Frage: <br />Könnte die Grundzustandsenergie des Quantenvakuums lokal abhängig von einer globalen Zeitfunktion über die Gleichzeitigkeitsflächen lt. ADM-Formalismus sein? <br /> <br />Antwort: <br />Im Kontext der allgemeinen Relativitätstheorie und des ADM-Formalismus (Arnowitt-Deser-Misner) ist die Frage nach der Variation der Grundzustandsenergie des Quantenvakuums in Bezug auf eine globale Zeitfunktion und die Gleichzeitigkeitsflächen komplex und vielschichtig. <br /> <br />1. Quantenvakuum: Das Quantenvakuum ist der Zustand mit der niedrigsten Energie in der Quantenfeldtheorie. In einem flachen Raum-Zeit-Hintergrund ist die Energie des Vakuums normalerweise konstant. In gekrümmten Raum-Zeit-Geometrien kann die Situation jedoch variieren. <br /> <br />2. ADM-Formalismus: Der ADM-Formalismus ist eine Methode zur Analyse der allgemeinen Relativitätstheorie, bei der die Raumzeit in räumliche und zeitliche Komponenten zerlegt wird. Dabei wird eine globale Zeitfunktion eingeführt, die es ermöglicht, die Entwicklung des Systems über die Zeit zu verfolgen. <br /> <br />3. Lokalität und Globalität: Im Allgemeinen liegt die Herausforderung darin, dass die Energie im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie nicht immer global definiert werden kann. Während in einem bestimmten Raum-Zeit-Punkt (oder in einer lokalen Umgebung) eine Energiedichte definiert werden kann, kann die Gesamtenergie eines Systems, das sich in einer gekrümmten Raum-Zeit befindet, kompliziert sein und von der Wahl der Koordinaten abhängen. <br /> <br />4. Abhängigkeit von der Zeitfunktion: Theoretisch könnte man argumentieren, dass die Grundzustandsenergie des Quantenvakuums in Abhängigkeit von der Wahl einer globalen Zeitfunktion und den entsprechenden Gleichzeitigkeitsflächen variieren könnte. Zum Beispiel in einem dynamischen Raum-Zeit-Hintergrund könnte die Energie des Vakuums durch die Wechselwirkungen mit der gekrümmten Geometrie beeinflusst werden, was zu einer lokalen Abhängigkeit führen könnte. <br /> <br />Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Grundzustandsenergie des Quantenvakuums in einem allgemeinen relativistischen Kontext durchaus lokal variieren könnte, insbesondere in Abhängigkeit von der globalen Struktur der Raum-Zeit und der Wahl der Zeitfunktion. Diese Fragestellung ist jedoch sehr theoretisch und erfordert eine tiefere Untersuchung der Wechselwirkungen zwischen Quantenfeldtheorie und allgemeiner Relativitätstheorie.</td> </tr></table><span class="postbody"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Feb 2025 13:31<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich meine damit, dass das nicht so funktioniert wie hier: <br /> <br /><a href="https://de.m.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild-Metrik" target="_blank">https://de.m.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild-Metrik</a></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Feb 2025 11:26<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Du meinst, dass aus der Schwarzschild-Innenraumlösung die Tolman-Oppenheimer-Volkoff-Gleichung hergeleitet werden kann? <br />Siehe <a href="https://itp.uni-frankfurt.de/~drischke/15_Innere_Schwarzschildmetrik.pdf" target="_blank" class="postlink">15.20, 15.22, 15.24</a> <br /> <br />Oder das die Lösung vom Außen- in den Innenraum nahtlos, also stetig differenzierbar ist (wie z.B. bei Schwarzschild in EF- bzw. GP-Koodinaten)? <br /> <br />Wäre die Tolman-Oppenheimer-Volkoff-Gleichung für gewöhnliche Sterne bei Betrachtung eines nicht-verschwindenen Drehimpuls ungültig?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Feb 2025 06:52<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Und wenn es nicht die eine reguläre Innenraumlösung gibt? Ich stelle mir so einen gravitativen Kollaps mittels Supernova und resultierendem SL nicht gerade symmetrisch vor. Da kollabiert ja keine perfekte Kugel oder Ellipsoid.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Die reguläre Innenraumlösung hat <span style="font-weight: bold">nichts</span> mit einem Kollaps zu tun; sie ist nämlich regulär. <br /> <br />Das Innere von nicht-rotierenden Sternen und Planeten wird gerade durch die innere, reguläre Schwarzschildlösung beschrieben. Und genau das kennen wir für die Kerr-Lösung nicht, also eine Metrik, die im Außenraum der äußeren Kerr-Lösung entspricht und im Innenraum regulär ist. D.h. man hat hier für ganz gewöhnliche Systeme wie rotierende Sterne etwas ganz grundsätzliches noch nicht verstanden.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Feb 2025 02:34<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Und wenn es nicht die eine reguläre Innenraumlösung gibt? Ich stelle mir so einen gravitativen Kollaps mittels Supernova und resultierendem SL nicht gerade symmetrisch vor. Da kollabiert ja keine perfekte Kugel oder Ellipsoid.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br /> <br />ChatGPT gefragt: <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Frage: <br />Kann es überhaupt eine reguläre Innenraumlösung der Kerr-Metrik geben, wenn z.B. die Rotationsachsen aller schwarzen Löcher jeweils einzigartigen Störungen durch deren Position im Universum und dessen Gesamtstruktur unterliegen? <br /> <br />Antwort: <br />Die Kerr-Metrik beschreibt die Geometrie des Raums um ein rotierendes schwarzes Loch und ist eine Lösung der Einstein'schen Feldgleichungen in der allgemeinen Relativitätstheorie. In der Theorie ist die Kerr-Metrik eine reguläre Lösung, die für rotierende schwarze Löcher gilt, solange man sich außerhalb des Ereignishorizonts befindet. <br /> <br />Allerdings ist es wichtig zu beachten, dass in der realen Welt schwarze Löcher nicht isoliert sind. Sie sind Teil komplexer astrophysikalischer Systeme und unterliegen verschiedenen Störungen, die durch ihre Umgebung, wie andere Sterne, Materie und die Gesamtstruktur des Universums, verursacht werden. Diese Störungen können die Rotationsachse und andere Eigenschaften eines schwarzen Lochs beeinflussen. <br /> <br />In diesem Sinne könnte man argumentieren, dass die Annahme einer regulären Innenraumlösung der Kerr-Metrik in der Praxis durch diese einzigartigen Störungen und die dynamische Natur des Universums kompliziert wird. Es könnte also schwierig sein, eine perfekte reguläre Lösung zu finden, die alle realen Bedingungen berücksichtigt. Dennoch bleibt die Kerr-Metrik eine nützliche und wichtige theoretische Grundlage für das Verständnis rotierender schwarzer Löcher.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br /> <br />Nochmal ChatGPT: <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Frage: <br />Könnten geschlossene zeitartige Kurven im Cauchy-Horizont der Kerr-Metrik, durch Störungen der Rotationsachse eines schwarzen Lochs die z.B. zur Präzession führen, unterbunden werden? <br /> <br />Antwort: <br />Das ist eine sehr interessante Frage! Geschlossene zeitartige Kurven (CTCs) in der Kerr-Metrik, die die Geometrie eines rotierenden schwarzen Lochs beschreibt, sind ein faszinierendes Thema in der allgemeinen Relativitätstheorie. Diese Kurven ermöglichen theoretisch Zeitreisen in die eigene Vergangenheit, was viele physikalische und philosophische Fragen aufwirft. <br /> <br />Die Präzession der Rotationsachse eines schwarzen Lochs könnte potenziell Auswirkungen auf die Struktur des Cauchy-Horizonts haben, der die Region beschreibt, in der die Zukunft eindeutig bestimmt ist. Allerdings ist die genaue Beziehung zwischen Störungen der Rotationsachse und der Existenz von CTCs komplex und nicht vollständig verstanden. <br /> <br />Es gibt theoretische Überlegungen, dass signifikante Störungen oder Veränderungen in der Rotationsdynamik eines schwarzen Lochs möglicherweise die Bedingungen für das Vorhandensein von CTCs beeinflussen könnten. Dennoch ist dies ein aktives Forschungsfeld, und es gibt noch viele offene Fragen. <br /> <br />Zusammenfassend lässt sich sagen, dass es theoretisch möglich ist, dass Störungen der Rotationsachse Einfluss auf die CTCs haben könnten, aber die genauen Mechanismen und Auswirkungen sind noch nicht abschließend geklärt. Es bleibt spannend, wie sich die Forschung in diesem Bereich weiterentwickeln wird!</td> </tr></table><span class="postbody"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Feb 2025 00:11<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Was meinst du mit "innerhalb der Singularität"?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Den Cauchy-Horizont (<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Kerr_metric#Closed_timelike_curves_and_the_Cauchy_horizon" target="_blank" class="postlink">Wiki</a>): <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">The boundary where <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?g_{\phi\phi}"> changes sign and CTCs first appear is called the Cauchy horizon. It is defined by the condition <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?g_{\phi\phi} = 0"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Nein, weil es um die <span style="font-weight: bold">reguläre</span> Innenraumlösung geht. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Und wenn es nicht die eine reguläre Innenraumlösung gibt? Ich stelle mir so einen gravitativen Kollaps mittels Supernova und resultierendem SL nicht gerade symmetrisch vor. Da kollabiert ja keine perfekte Kugel oder Ellipsoid. <br /> <br />Bezüglich ADM und Kerr gibt es noch einen Zusammenhang mit einer negativen ADM-Masse "hinter" dem Cauchy-Horizont? <br /> <br />Das strong cosmic censorship ist widerlegt, sodass in der Theorie die Raumzeit hinter dem Cauchy-Horizont tatsächlich asymptotisch flach weitergeht? <br />Siehe: <a href="https://www.quantamagazine.org/mathematicians-disprove-conjecture-made-to-save-black-holes-20180517/" target="_blank" class="postlink">https://www.quantamagazine.org/mathematicians-disprove-conjecture-made-to-save-black-holes-20180517/</a> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Und die Rotation des Feldes kann nicht an jedem Punkt den gleichen Wert haben, da dann <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v^2 = (r \omega)^2 < 1"> <br /> <br />nicht gelten könnte. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Stimmt. Habe es falsch wiedergegeben. <br />Wiki: <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Das Vektorfeld, das an jedem Punkt einer rotierenden Scheibe die Geschwindigkeit angibt, hat an jedem Punkt dieselbe von null verschiedene Rotation. Die Rotation beträgt das Zweifache der Winkelgeschwindigkeit</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Dass ein bestimmtes <span style="font-weight: bold">reales</span> Beobachterfeld nicht zur Definition des Slicings nach ADM taugt, heißt ja nicht, dass ein derartiges Beobachterfeld nicht realisiert sein kann...und dass man nicht ein anderes, hypothetisches Beobachterfeld finden kann ...</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ok, verstanden.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Feb 2025 22:36<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ja, CTCs existieren bei Kerr nicht im Außenraum.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Was bedeutet in dem Fall "Innenraum"? Innerhalb des EH's oder tatsächlich innerhalb der Singularität?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Was meinst du mit "innerhalb der Singularität"? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Es gibt ein paar Gründe, an Kerr zu zweifeln: Kerr enthält CTCs, Kerr lässt diese periodischen Fortsetzungen in andere Universen zu, und man kennt für Kerr m.W.n. immer noch keine reguläre Innenraumlösung (d.h. anders als Schwarzschild taugt Kerr nicht wirklich für gewöhnliche rotierenden Himmelskörper wie Sterne und Planeten).</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Hängt das vorwiegend damit zusammen …</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Nein, weil es um die <span style="font-weight: bold">reguläre</span> Innenraumlösung geht. Im Schwarzschildfall ist die ja bekannt. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Kann das auftreten von CTC's in der Region in der Natur möglicherweise dadurch verhindert werden, dass die Singularität der Kerr-Lösung eben nicht als scharfe 1D-Fläche, sondern als unscharfes "3D-Objekt" beschrieben werden könnte? </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ob und wie sie in der Natur verhindert werden, ist eine offene Frage. Mathematisch sind sie erst mal da. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Bezüglich der Beobachterfelder, die nicht als Gradient aus skalaren Funktionen folgen. Ich brauch das etwas anschaulicher. Im Wiki Artikel <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Rotation_eines_Vektorfeldes" target="_blank" class="postlink">Rotation eines Vektorfeldes</a> ist die Grafik eines Geschwindigkeitsfeld einer rotierenden Scheibe zu sehen. Damit die Geschwindigkeit immer kleiner c bleibt, muss <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v^2 = (r \omega)^2 < 1"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />gelten.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das Bild ist gut. <br /> <br />Die Bedingung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v^2 = (r \omega)^2 < 1"> <br /> <br />muss natürlich auch für große Radien gelten, d.h. omega muss stärker als quadratisch mit dem Radius abfallen. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Es existiert kein Skalarfeld T, aus dem das Geschwindigkeitsfeld als Gradientenfeld folgt, da die Rotation an jedem Punkt des Feldes den gleichen Wert hat und somit ungleich null ist. Wie ist das mit dem Ursprung selbst? Dreht er sich nur um sich selbst mit Bahngeschwindigkeit v = 0?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das für einen Punkt zu diskutieren ist sinnlos. <br /> <br />Und die Rotation des Feldes kann nicht an jedem Punkt den gleichen Wert haben, da dann <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v^2 = (r \omega)^2 < 1"> <br /> <br />nicht gelten könnte. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Die Voraussetzung für ADM ist in diesem Fall [es existiert kein Skalarfeld T, aus dem das Geschwindigkeitsfeld als Gradientenfeld folgt, da die Rotation an jedem Punkt des Feldes … ungleich null ist] nicht gegeben. <br />Ich frage mich nun, ob nicht alle Himmelskörper in Näherung solch einem Geschwindigkeitsfeld folgen und wo genau ADM angewandt werden kann? Anders gefragt, welche Systeme können aufgrund dieser Einschränkung nicht durch ADM beschrieben werden?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Dass ein bestimmtes <span style="font-weight: bold">reales</span> Beobachterfeld nicht zur Definition des Slicings nach ADM taugt, heißt ja nicht, dass ein derartiges Beobachterfeld nicht realisiert sein kann – siehe z.B. ein Wirbelsturm – und dass man nicht ein anderes, <span style="font-weight: bold">hypothetisches</span> Beobachterfeld finden kann – die Schwarzschildbeobachter – mittels derer Slicing und Definition der Koordinaten funktionieren – und auch die Beschreibung des realen Beobachterfeldes. Kein Meteorologe muss im Kreis herumfliegen, um einen Sturm zu berechnen, innerhalb dessen sich Luft im Kreis herum bewegt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Feb 2025 11:43<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ja, CTCs existieren bei Kerr nicht im Außenraum.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Was bedeutet in dem Fall "Innenraum"? Innerhalb des EH's oder tatsächlich innerhalb der Singularität? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Es gibt ein paar Gründe, an Kerr zu zweifeln: Kerr enthält CTCs, Kerr lässt diese periodischen Fortsetzungen in andere Universen zu, und man kennt für Kerr m.W.n. immer noch keine reguläre Innenraumlösung (d.h. anders als Schwarzschild taugt Kerr nicht wirklich für gewöhnliche rotierenden Himmelskörper wie Sterne und Planeten).</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Hängt das vorwiegend damit zusammen, dass die Singularität auf einer 1-dim-Scheibe ausgedehnt und somit, dass die Kerr-Lösung (vor allem im Bereich de Singularität) zu idealisiert ist? Die Lösung ist nur auf rein axialsymmetrische Rotationen, ohne jede Störung auf die Axialsymmetrie z.B. durch Präzession, begrenzt? <br />Siehe: <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Kerr_metric#Features" target="_blank" class="postlink">https://en.wikipedia.org/wiki/Kerr_metric#Features</a> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Note that the inner Kerr geometry is unstable with regard to perturbations in the interior region. This instability means that although the Kerr metric is axis-symmetric, a black hole created through gravitational collapse may not be so.[13] This instability also implies that many of the features of the Kerr geometry described above may not be present inside such a black hole.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Kann das auftreten von CTC's in der Region in der Natur möglicherweise dadurch verhindert werden, dass die Singularität der Kerr-Lösung eben nicht als scharfe 1D-Fläche, sondern als unscharfes "3D-Objekt" beschrieben werden könnte? Die Periodizität wäre nach wie vor vorhanden aber nicht zwangsläufig immer wieder der gleiche Raum-(zeit)-punkt als Startpunkt in "täglich grüßt das Murmeltier"? Würde der Startpunkt z.B. zwar immer "zur gleichen Zeit" aber an einen unterschiedlichen Ort beginnen, so wären es keine "echten" CTC's? <br /> <br /> <br />Bezüglich der Beobachterfelder, die nicht als Gradient aus skalaren Funktionen folgen. Ich brauch das etwas anschaulicher. Im Wiki Artikel <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Rotation_eines_Vektorfeldes" target="_blank" class="postlink">Rotation eines Vektorfeldes</a> ist die Grafik eines Geschwindigkeitsfeld einer rotierenden Scheibe zu sehen. Damit die Geschwindigkeit immer kleiner c bleibt, muss <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v^2 = (r \omega)^2 < 1"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />gelten. <br />Es existiert kein Skalarfeld T, aus dem das Geschwindigkeitsfeld als Gradientenfeld folgt, da die Rotation an jedem Punkt des Feldes den gleichen Wert hat und somit ungleich null ist. Wie ist das mit dem Ursprung selbst? Dreht er sich nur um sich selbst mit Bahngeschwindigkeit v = 0? <br />Die Voraussetzung für ADM ist in diesem Fall nicht gegeben. <br />Ich frage mich nun, ob nicht alle Himmelskörper in Näherung solch einem Geschwindigkeitsfeld folgen und wo genau ADM angewandt werden kann? Anders gefragt, welche Systeme können aufgrund dieser Einschränkung nicht durch ADM beschrieben werden?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Feb 2025 10:37<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ja, CTCs existieren bei Kerr nicht im Außenraum. <br /> <br />Es gibt ein paar Gründe, an Kerr zu zweifeln: Kerr enthält CTCs, Kerr lässt diese periodischen Fortsetzungen in andere Universen zu, und man kennt für Kerr m.W.n. immer noch keine reguläre Innenraumlösung (d.h. anders als Schwarzschild taugt Kerr nicht wirklich für gewöhnliche rotierenden Himmelskörper wie Sterne und Planeten). <br /> <br /> <br /> <br />Anbei noch eine grobes Beispiel für ein Beobachterfeld, das nicht als Gradient aus einer skalaren Funktion folgt: <br /> <br />Man betrachte der Einfachheit halber in zwei Dimensionen ein um den Ursprung rotierendes Beobachterfeld mit Weltlinien in einer flachen Raumzeit. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(x,y) = r \, (\cos\omega t, \sin\omega t)"> <br /> <br />Die Geschwindigkeit lautet dann <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(v_x, v_y) = r\omega \, (-\sin\omega t, \cos\omega t)"> <br /> <br />Damit die Bahngeschwindigkeit nicht über alle Grenzen wächst sondern kleiner als die Lichtgeschwindigkeit (c = 1) bleibt, muss die Winkelgeschwindigkeit in Abhängigkeit vom Radius r abnehmen: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v^2 = (r \omega)^2 < 1"> <br /> <br />Mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - (r \omega)^2}}"> <br /> <br />wäre das zugehörige "Vierer"-Geschwindigkeitsfeld aus Sicht des ruhenden Beobachters <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u^\mu = \gamma (1, v_x, v_y)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u_\mu u^\mu = 1"> <br /> <br /> <br /> <br />Dieses Geschwindigkeitsfeld kann man schreiben als <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(v_x, v_y) = \omega \, (-y, x)"> <br /> <br />Die Rotation ist ungleich Null, d.h. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\partial_x v_y - \partial_y v_x = 2\omega"> <br /> <br />Daher existiert kein Skalarfeld T, aus dem das Geschwindigkeitsfeld als Gradientenfeld folgt. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\nexists T: (v_x, v_y) = (\partial_x, \partial_y) \, T"> <br /> <br /> <br />Man macht sich das für kleine Geschwindigkeiten in einer nicht-relativistischen Näherung mit gamma = 1 wie folgt klar: das Geschwindigkeitsfeld ist linear in x und y, d.h. T müsste Terme zweiter Ordnung in x und y enthalten, also <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?T = a_{xx} x^2 + a_{yy} y^2 + a_{xy} xy"> <br /> <br />Dann ist <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(v_x, v_y) = (\partial_x, \partial_y) \, T = (\partial_x, \partial_y) \, (a_{xx} x^2 + a_{yy} y^2 + a_{xy} xy) "> <br /> <br />Ableiten liefert <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(v_x, v_y) = (2a_{xx} x + a_{xy} y, 2a_{yy} y + a_{xy} x) "> <br /> <br />Gleichsetzen liefert <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \omega \, (-y, x) = (2a_{xx} x + a_{xy} y, 2a_{yy} y + a_{xy} x)"> <br /> <br />Zunächst muss der x-Term in der x-Komponente verschwinden, ebenso der y-Term in der y-Komponente, also ist <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? a_{xx} = a_{yy} = 0"> <br /> <br />Es bleibt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \omega \, (-y, x) = (a_{xy} y, a_{xy} x)"> <br /> <br />Damit folgt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \omega = - a_{xy} = + a_{xy}"> <br /> <br />was als einzige Lösung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \omega = 0"> <br /> <br />zulässt. <br /> <br /> <br />Relativistisch sieht das komplizierter aus, aber der Kern des Argumentes bleibt: ein Feld mit nicht-verschwindender Rotation kann kein Gradientenfeld sein, was aber bei ADM vorausgesetzt wird, da sonst Niveauflächen mit konstantem t nicht definiert werden können.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Feb 2025 22:31<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Bei derartigen Aussagen habe ich kein gutes Gefühl. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Inwiefern? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Und vermutlich ist auch das der Kerr-Metrik kein Problem von ADM sondern eines der Kerr-Metrik. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ok, ich dachte es gibt noch mehr, weil du "das ist <span style="font-weight: bold">ein</span> Punkt" geschrieben hast. <br />Existieren die geschlossenen zeitartigen Kurven in der Kerr-Metrik nur innerhalb der Ringsingularität? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Du bist im Bezug zum auf der Hyperfläche definierten Koordinatensystem – den räumlichen Schwarzschildkoordinaten – in Ruhe.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />👍</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Feb 2025 21:46<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">… wichtig ist ja nur, dass genau soviel Beobachterfelder da sind, dass daraus alle benötigten T's definiert werden können (bzw. andersherum).</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Bei derartigen Aussagen habe ich kein gutes Gefühl. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Welche Probleme gibt es noch bei ADM oder dem hier diskutierten Ansatz?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Es gibt keine weiteren. <br /> <br />Und vermutlich ist auch das der Kerr-Metrik kein Problem von ADM sondern eines der Kerr-Metrik. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Dennoch bin ich nicht absolut in Ruhe, selbst wenn ich sitze...zumindest gibt es unendlich Bezugspunkte, zu denen wir alle nicht in Ruhe sind. Aber ja im Bezug zur Erde stimmt das wohl, wobei ich ja nur vom Boden unter dem Stuhl von meiner ganz persönlichen Geodäte abgelenkt werden.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Du bist im Bezug zum auf der Hyperfläche definierten Koordinatensystem – den räumlichen Schwarzschildkoordinaten – in Ruhe.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Feb 2025 19:48<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Ich kann doch irgendwelche zeitartigen Vektorfelder mit Betrag 1 definieren ... <br />... <br />Die T's liefern halt nur die n's, die sich als Gradient darstellen lassen, alle anderen nicht.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ja stimmt. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Schau dir mal Gradient und Rotation in drei Dimensionen an, dann verstehst du das evtl. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Kommt auf die Liste der noch zu verstehenden Themen.^^ <br />Na ja, wichtig ist ja nur, dass genau soviel Beobachterfelder da sind, dass daraus alle benötigten T's definiert werden können (bzw. andersherum). <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ja, das ist ein Punkt.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Welche Probleme gibt es noch bei ADM oder dem hier diskutierten Ansatz? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Man möchte eigtl. nicht, dass sowas auftritt, aber bei Kerr tritt es eben auf. Und ein besseres Modell für SLs hat man nicht ...</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Schon blöd das beides auf der gleichen Theorie basiert, jeder für sich gute Gründe hat der Realität nah zu entsprechen aber dennoch am Ende inkonsistent zueinander ist. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Der stationäre Beobachter bewegt sich natürlich durch die Zeit, ist jedoch ortsfest im Raum. Du bist, wenn du stillstehst oder sitzt, auch ein Schwarzschildbeobachter bei festem Radius. <br /> <br />Übrigens habe ich das explizit vorgerechnet.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ja ich weiß. Dennoch bin ich nicht absolut in Ruhe, selbst wenn ich sitze...zumindest gibt es unendlich Bezugspunkte, zu denen wir alle nicht in Ruhe sind. Aber ja im Bezug zur Erde stimmt das wohl, wobei ich ja nur vom Boden unter dem Stuhl von meiner ganz persönlichen Geodäte abgelenkt werden.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Feb 2025 17:36<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Wie werden die weiteren Beobachterfelder definiert, wenn nicht über T? Woher weißt du, dass diese existieren?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ich kann doch irgendwelche zeitartigen Vektorfelder mit Betrag 1 definieren ... <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Für die unendlich vielen Zeitfunktionen gilt aber global T = t und die Lapse Funktion entwickelt die lokale Eigenzeit, innerhalb eines Intervalls dt, je Beobachterfeld, von einer Hyperfläche zur anderen?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />T = t gilt auf der Hyperfläche mit der Zeitkoordinate Koordinate t. <br /> <br />Sonst ja, ich denke, ich weiß, was du meinst. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Hat man ein Sigma und das dazugehörige n, so findet man die vollständige Foliation von M für alle t mittels Lösung der Einsteinschen Gleichungen im ADM-Formalismus. Bis dahin ist es aber noch ein sehr weiter Weg. <br /> <br />Hat man dagegen M, so hat man noch kein Sigma und kein n. Unter der o.g. Voraussetzung weiß man nur, dass es unendlich viele T's und damit unendlich viele N's gibt; welches davon man nutzt, ist Geschmacksache.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ja aber letzteres repräsentiert nicht alle n's? Die Zeitfunktion T ist zwar global gültig aber dann doch nicht für alle n's und das obwohl es schon unendlich viele T's sind?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Die T's liefern halt nur die n's, die sich als Gradient darstellen lassen, alle anderen nicht. <br /> <br />Schau dir mal Gradient und Rotation in drei Dimensionen an, dann verstehst du das evtl. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Bezüglich den nicht-stabil kausalen Raumzeiten ist es auch nicht so einfach diese einfach beiseite zu schieben? Es wäre ja schön, wenn von vornherein Kuriositäten wie geschlossene Zeitschleifen ausgeschlossen wären aber dann muss man an der Innenraumlösung der Kerr-Metrik vorbeiargumentieren?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ja, das ist ein Punkt. <br /> <br />Man möchte eigtl. nicht, dass sowas auftritt, aber bei Kerr tritt es eben auf. Und ein besseres Modell für SLs hat man nicht ... <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Vorsicht: Wie das Beobachterfeld n verläuft, wird durch die Wirkung der partiellen Ableitung auf T und durch die Lapse-Funktion N bestimmt. n muss nicht geodätisch sein (siehe das Beispiel des stationären Schwarzschild-Beobachters). </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Der stationäre Beobachter in der Schwarzschildraumzeit ist absolut hypothetisch. In der Realität bewegen wir uns doch immer auf bzw. mit der Erde durch den Raum und die Zeit. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Der stationäre Beobachter bewegt sich natürlich durch die Zeit, ist jedoch ortsfest im Raum. Du bist, wenn du stillstehst oder sitzt, auch ein Schwarzschildbeobachter bei festem Radius. <br /> <br />Übrigens habe ich das explizit vorgerechnet. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich dachte eher daran, dass die Zuführung von Energie, die z.B. zur Beschleunigung einer Masse führt, wiederum auf die Geometrie der Raumzeit rückwirkt. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Hypothetische Beobachter wirken nicht auf die Raumzeit zurück. Sie sind ein rein mathematisches Konstrukt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Feb 2025 16:52<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Wir ignorieren die nicht stabil kausalen <br />... <br />D.h. es gibt je M (stabil kausal) mehr Beobachterfelder als für unser Ansinnen nutzbare Beobachterfelder.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ok, verstehe. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Es existieren jedoch für dieses M weitere Beobachterfelder, für die dies nicht gilt, d.h. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathfrak{n}_\mu : ( \, \nexists T : \; \mathfrak{n}_\mu = -\partial_\mu T \, )"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Wie werden die weiteren Beobachterfelder definiert, wenn nicht über T? Woher weißt du, dass diese existieren? <br /> <br />Für die unendlich vielen Zeitfunktionen gilt aber global T = t und die Lapse Funktion entwickelt die lokale Eigenzeit, innerhalb eines Intervalls dt, je Beobachterfeld, von einer Hyperfläche zur anderen? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Hat man ein Sigma und das dazugehörige n, so findet man die vollständige Foliation von M für alle t mittels Lösung der Einsteinschen Gleichungen im ADM-Formalismus. Bis dahin ist es aber noch ein sehr weiter Weg. <br /> <br />Hat man dagegen M, so hat man noch kein Sigma und kein n. Unter der o.g. Voraussetzung weiß man nur, dass es unendlich viele T's und damit unendlich viele N's gibt; welches davon man nutzt, ist Geschmacksache.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ja aber letzteres repräsentiert nicht alle n's? Die Zeitfunktion T ist zwar global gültig aber dann doch nicht für alle n's und das obwohl es schon unendlich viele T's sind? <br /> <br />Bezüglich den nicht-stabil kausalen Raumzeiten ist es auch nicht so einfach diese einfach beiseite zu schieben? Es wäre ja schön, wenn von vornherein Kuriositäten wie geschlossene Zeitschleifen ausgeschlossen wären aber dann muss man an der Innenraumlösung der Kerr-Metrik vorbeiargumentieren? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Und nein, der Unterschied ist nicht marginal.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ja ich meinte mit marginal eher den unterschiedlichen Wortlaut in den Zitaten. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Vorsicht: Wie das Beobachterfeld n verläuft, wird durch die Wirkung der partiellen Ableitung auf T und durch die Lapse-Funktion N bestimmt. n muss nicht geodätisch sein (siehe das Beispiel des stationären Schwarzschild-Beobachters). </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Der stationäre Beobachter in der Schwarzschildraumzeit ist absolut hypothetisch. In der Realität bewegen wir uns doch immer auf bzw. mit der Erde durch den Raum und die Zeit. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Wie gesagt, der ADM-Formalismus kümmert sich nicht darum, ob n eine Geodäte ist oder nicht.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich dachte eher daran, dass die Zuführung von Energie, die z.B. zur Beschleunigung einer Masse führt, wiederum auf die Geometrie der Raumzeit rückwirkt. Aufgrund der Äquivalenz von Masse und Energie könnten wir so tun, also wäre das betrachtete System umso massereicher, je weiter darin eine Masse beschleunigt wird. Die Raumzeit ändert sich, wenn ein Raumschiff von 0c auf 0.5c beschleunigt wird. Werden die Triebwerke bei 0.5c abgeschalten, so befindet sich das Raumschiff wieder auf einer Geodäte aber die Geometrie der Raumzeit vorher ist nicht die gleiche wie nachher? Irgendwie muss m.E. die Entwicklung der Raumzeit vorher, (infinitesimal dazwischen) und nachher je mittels ADM abgebildet werden können.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Feb 2025 14:45<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">[1.] Es verhält sich also so, dass man für ein M T's und damit n's konstruieren kann, dass jedoch spezielle n's existieren, die nicht aus dieser Konstruktion folgen, und mit denen keine globale Zeitfunktion assoziiert ist. Die Menge aller Beobachterfelder ist also größer als die Menge der Beobachterfelder, mit denen man T's und Sigmas assoziieren kann; nicht aus jedem Beobachterfeld und dessen Eigenzeiten folgt eine Koordinatenzeit.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Also betrachten wir hier eine Teilmenge von M (M <span style="font-weight: bold">ist die</span> Obermenge?) die mit T assoziert und die daraus konstruierbaren n's enthält. Die Gesamtmenge M enthält darüber hinaus weitere n's? Sind diese weiteren n's unbekannte? Wie ist das ontisch zu verstehen?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Nein. <br /> <br />Wir haben die Menge aller 4-dim. Raumzeit-Mannigfaltigkeiten <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathcal{M} = \mathcal{M}_\text{st. caus.} \cup \mathcal{M}_{\color{red} \text{not st. caus.}}"> <br /> <br />Wir ignorieren die nicht stabil kausalen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathcal{M}_{\color{red} \text{not st. caus.}}"> <br /> <br />denn für diese existiert sicher keine globale Zeitfunktion T; ADM funktioniert prinzipiell nicht. <br /> <br />Für jede stabil kausale Raumzeit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?M \in \mathcal{M}_\text{st. caus.}"> <br /> <br />existiert sicher eine globale Zeitfunktion T (es existieren sogar unendlich viele). <br /> <br />Und damit existiert für jede derartige Mannigfaltigkeit M auch ein Beobachterfeld (sogar unendlich viele Beobachterfelder), für das gilt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?n_\mu = - \partial_\mu T"> <br /> <br />Es existieren jedoch für dieses M weitere Beobachterfelder, für die dies nicht gilt, d.h. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathfrak{n}_\mu : ( \, \nexists T : \; \mathfrak{n}_\mu = -\partial_\mu T \, )"> <br /> <br />D.h. es gibt je M mehr Beobachterfelder als für unser Ansinnen nutzbare Beobachterfelder. Teilen wir die Menge aller Beobachterfelder wieder in zwei disjunkte Teilmengen ein, so gilt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathcal{N} = \mathcal{N}_{\partial_\mu n_\nu - \partial_\nu n_\mu = 0} \;\cup\; \mathcal{N}_{\color{red} \partial_\mu \mathfrak{n}_\nu - \partial_\nu \mathfrak{n}_\mu \neq 0} "> <br /> <br />Und aus der Vereinigung ergibt sich die Menge aller Beobachterfelder in M. <br /> <br />Die Funktion N ignoriere ich dabei, weil N = 1 eine zulässige Wahl ist, und weil wg. N strikt positiv dieses immer in die Definition von n absorbiert werden kann, ich also n / N betrachten kann. M.a.W.: ich verliere keine Lösungen; oder ich gewinne keine Lösungen, wenn ich außerdem N betrachte (ich hoffe, ich habe da keine Subtilitäten übersehen, aber es ändert nichts an dem grundlegenden Argument). <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">[2.] Diese Darstellung funktioniert nur, wenn die o.g. Voraussetzung – die Mannigfaltigkeit M ist stabil kausal – erfüllt ist. Dann kann man geeignete Lapse- und Shift-Funktionen finden, für die diese Darstellung zutrifft. Unabhängige von der Idee, dies mittels T und n abzuleiten, liegt also eine spezielle Menge von Raumzeiten M vor, für die man wiederum diese spezielle Darstellung finden kann.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Du stellst sozusagen das Ergebnis ADM (2.) und die Gedanken hier im Thread (1.) gegenüber? Mittels 2. können die unbekannten n's von 1. in einer speziellen Menge von M konstruiert/gefunden werden?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Evtl. verstehe ich das nicht richtig. Was genau meinst du mit dem "die unbekannten n's von 1."? <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Siehst du den Unterschied? </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ja er ist marginal aber der Focus liegt je woanders. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">...die Formulierung – und andere, die man in der Literatur findet – suggerieren jedoch, Lapse und Shift hätten <span style="font-weight: bold">ausschließlich</span> eine Bedeutung für den Beobachter, und hätten <span style="font-weight: bold">nichts</span> mit der Raumzeit selbst zu tun. Und das ist falsch!</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Also gehören M, Sigma und n (inkl. u) unzertrennlich zusammen, sodass je das eine, die jeweils anderen bedingt?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ich weiß auch da nicht, ob ich das verstehe. <br /> <br />Hat man <span style="font-weight: bold">ein</span> Sigma und das dazugehörige n, so findet man die vollständige Foliation von M <span style="font-weight: bold">für alle t</span> mittels Lösung der Einsteinschen Gleichungen im ADM-Formalismus. Bis dahin ist es aber noch ein sehr weiter Weg. <br /> <br />Hat man dagegen M, so hat man noch kein Sigma und kein n. Unter der o.g. Voraussetzung weiß man nur, dass es unendlich viele T's und damit unendlich viele N's gibt; welches davon man nutzt, ist Geschmacksache. <br /> <br /> <br />Und nein, der Unterschied ist nicht marginal. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">... <br />Beachtet man dies nicht, verliert man sozusagen alles.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Aber was bedeutet das? Letztlich nur wie bzw. in welcher Folge die Theorie zu konstruieren ist?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Wenn man die Lapse- und Shift-Funktionen zu früh Eins bzw. Null setzt, ist keine Theorie mehr da. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ganz am Rande gefragt: <br />Letztendlich stellt eine Beschleunigung eine Abweichung vom freien Fall dar.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ja. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> Wie die Geodäte verläuft wird durch die Wirkung der Lapse-/Shift-Funktionen auf die Koordinaten der Sigma's bestimmt.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Vorsicht: Wie das Beobachterfeld n verläuft, wird durch die Wirkung der partiellen Ableitung auf T und durch die Lapse-Funktion N bestimmt. n muss nicht geodätisch sein (siehe das Beispiel des stationären Schwarzschild-Beobachters). <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Wirkt eine Beschleunigung einer Masse als zusätzlicher Term auf die Lapse-/Shift-Funktionen (sodass eine von der Geodäte abweichende Trajektorie entsteht)?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Wie gesagt, der ADM-Formalismus kümmert sich nicht darum, ob n eine Geodäte ist oder nicht.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Feb 2025 21:19<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">[1.] Es verhält sich also so, dass man für ein M T's und damit n's konstruieren kann, dass jedoch spezielle n's existieren, die nicht aus dieser Konstruktion folgen, und mit denen keine globale Zeitfunktion assoziiert ist. Die Menge aller Beobachterfelder ist also größer als die Menge der Beobachterfelder, mit denen man T's und Sigmas assoziieren kann; nicht aus jedem Beobachterfeld und dessen Eigenzeiten folgt eine Koordinatenzeit.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Also betrachten wir hier eine Teilmenge von M (M <span style="font-weight: bold">ist die</span> Obermenge?) die mit T assoziert und die daraus konstruierbaren n's enthält. Die Gesamtmenge M enthält darüber hinaus weitere n's? Sind diese weiteren n's unbekannte? Wie ist das ontisch zu verstehen? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">[2.] Diese Darstellung funktioniert nur, wenn die o.g. Voraussetzung – die Mannigfaltigkeit M ist stabil kausal – erfüllt ist. Dann kann man geeignete Lapse- und Shift-Funktionen finden, für die diese Darstellung zutrifft. Unabhängige von der Idee, dies mittels T und n abzuleiten, liegt also eine spezielle Menge von Raumzeiten M vor, für die man wiederum diese spezielle Darstellung finden kann.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Du stellst sozusagen das Ergebnis ADM (2.) und die Gedanken hier im Thread (1.) gegenüber? Mittels 2. können die unbekannten n's von 1. in einer speziellen Menge von M konstruiert/gefunden werden? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Siehst du den Unterschied? </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ja er ist marginal aber der Focus liegt je woanders. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">...die Formulierung – und andere, die man in der Literatur findet – suggerieren jedoch, Lapse und Shift hätten <span style="font-weight: bold">ausschließlich</span> eine Bedeutung für den Beobachter, und hätten <span style="font-weight: bold">nichts</span> mit der Raumzeit selbst zu tun. Und das ist falsch!</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Also gehören M, Sigma und n (inkl. u) unzertrennlich zusammen, sodass je das eine, die jeweils anderen bedingt? <br /> <br /> <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">... <br />Beachtet man dies nicht, verliert man sozusagen alles.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Aber was bedeutet das? Letztlich nur wie bzw. in welcher Folge die Theorie zu konstruieren ist? <br /> <br /> <br />Ganz am Rande gefragt: <br />Letztendlich stellt eine Beschleunigung eine Abweichung vom freien Fall dar. Wie die Geodäte verläuft wird durch die Wirkung der Lapse-/Shift-Funktionen auf die Koordinaten der Sigma's bestimmt. <br />Wirkt eine Beschleunigung einer Masse als zusätzlicher Term auf die Lapse-/Shift-Funktionen (sodass eine von der Geodäte abweichende Trajektorie entsteht)?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Feb 2025 14:53<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Kurz zusammengefasst: die Wahl <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?N = 1, \qquad N^i = 0"> <br /> <br />und damit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?ds^2 = -dt^2 + h_{ik} \, dx^i \, dx^k"> <br /> <br />ist möglich, unter der Voraussetzung, dass <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(M, g) = \mathbb{R} \times (\sigma, h)"> <br /> <br />global gilt, d.h. dass die Raumzeit stabil kausal ist und somit die Voraussetzungen für den diskutierten Formalismus erfüllt sind, <span style="font-weight: bold">und</span> dass die Raumzeit (M, g) bereits bekannt ist. <br /> <br />D.h. die Wahl ist nicht möglich, <span style="font-weight: bold">bevor</span> man ausgehend von einer raumartigen Hyperfläche deren Zeitentwicklung und somit die gesamte Raumzeit konstruiert hat. <br /> <br /> <br />Ich erkläre das mal anhand der Maxwellschen Gleichungen: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathcal{L} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} - A_\mu j^\mu = \ldots + A_0 (\nabla \pmb{E} + \rho)"> <br /> <br />Die Maxwellschen Gleichungen erhält man als Euler-Lagrange-Gleichungen für die raumartigen Komponenten (3er-Vektoren <span style="font-weight: bold">E</span>, <span style="font-weight: bold">B</span>, <span style="font-weight: bold">j</span> fett) sowie die zeitartige Komponente: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{\pmb{E}} = \nabla \times \pmb{B} - \pmb{j} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?0 = \nabla \pmb{E} + \rho"> <br /> <br />Letzteres, das Gaußsche Gesetz, ist keine dynamische Gleichung, da keine Zeitableitung auftritt; es ist eine Zwangsbedingung. <br /> <br />Würde man die Eichfreiheit der Maxwellschen Theorie ausnutzen und <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A_0 = 0"> <br /> <br />setzen, <span style="font-weight: bold">bevor</span> man die Maxwellschen Gleichungen hergeleitet hat, so entspräche dies <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\left. \mathcal{L} \right|_{A_0 = 0} = \ldots "> <br /> <br />und man verlöre das Gaußsche Gesetz. <br /> <br />Würde man nun analog <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?N = 1, \qquad N^i = 0"> <br /> <br />setzen, bevor man die Einsteinschen Feldgleichungen im ADM Formalismus abgeleitet hat, so verlöre man sogar alle Gleichungen! <br /> <br /> <br />Ein zweites Beispiel ist das freie relativistische Teilchen der Masse m. Die kovariante Wirkung lautet <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?S = -m \int ds = -m \int \sqrt{dx_\mu dx^\mu} = -m \int d\tau \, \sqrt{u_\mu u^\mu}"> <br /> <br />mit der Vierergeschwindigkeit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u^\mu = \dot{x}^\mu"> <br /> <br />Würde man nun sagen, okj, ich weiß ja, dass der Betrag der Vierergeschwindigkeit immer gleich eins ist, so erhielte man <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?S = -m \int d\tau "> <br /> <br />Ups, jetzt sind alle Koordinate und Geschwindigkeiten verschwunden, da ist nix mehr, kein Teilchen, keine Bewegungsgleichungen. <br /> <br /> <br />Und deswegen darf man für Lapse- und Shift nicht sofort die genannte Wahl treffen, sondern muss erst die Einstein-Gleichungen ableiten und darf anschließend diese sogenannte synchrone Eichung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?N = 1, \qquad N^i = 0"> <br /> <br />bzw. direkt in der Metrik <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?g_{00} = 1, \qquad g_{0i} = g_{i0} = 0"> <br /> <br />wählen (wenn man möchte). <br /> <br />Beachtet man dies nicht, verliert man sozusagen alles.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Feb 2025 06:39<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Was hast du wie verstanden?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Folgendes: <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Daraus könnte man ablesen, dass Lapse und Shift nur die Beobachter charakterisieren. Das ist aber falsch. <span style="font-weight: bold">Sie charakterisieren die Mannigfaltigkeit, was wir anhand der Beobachter veranschaulichen.</span></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\nabla \times v \neq 0 \; \implies \; \nexists \phi : \, v = \nabla \phi "></td> </tr></table><span class="postbody"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das sind zwei verschiedene Paar Schuhe. <br /> <br />Zu Letzterem: Wenn die Mannigfaltigkeit M stabil kausal ist, dann funktioniert die Idee der globalen Zeitfunktion T. Das heißt, man kann verschiedene T's finden, aus denen jeweils ein n folgen, damit verschiedene Scharen von Sigmas. Die Gleichungen für ein n (bzw. vereinfacht für v) beschreiben eine technische Voraussetzung, dass dies für ein <span style="font-weight: bold">spezielles n</span> funktioniert. Es verhält sich also so, dass man für ein M T's und damit n's konstruieren kann, dass jedoch spezielle n's existieren, die nicht aus dieser Konstruktion folgen, und mit denen keine globale Zeitfunktion assoziiert ist. Die Menge aller Beobachterfelder ist also größer als die Menge der Beobachterfelder, mit denen man T's und Sigmas assoziieren kann; nicht aus jedem Beobachterfeld und dessen Eigenzeiten folgt eine Koordinatenzeit. <br /> <br /> <br />Zu Ersterem: Die ADM-Konstruktion führt auf eine spezielle Form der Metrik, nämlich <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?ds^2 = g_{\mu\nu} \, dx^\mu \, dx^\nu \stackrel{\text{ADM}}{=} - N^2 \, dt + (dx^i + N^i \, dt) \, (dx^k + N^k \, dt)"> <br /> <br />Diese Darstellung funktioniert nur, wenn die o.g. Voraussetzung – die Mannigfaltigkeit M ist stabil kausal – erfüllt ist. Dann kann man geeignete Lapse- und Shift-Funktionen finden, für die diese Darstellung zutrifft. Unabhängige von der Idee, dies mittels T und n abzuleiten, liegt also eine spezielle Menge von Raumzeiten M vor, für die man wiederum diese spezielle Darstellung finden kann. <br /> <br />Zwei Zitate: <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">The scalar N is called a lapse function, and the vector on the hypersurface N^i is known as the shift vector. These, together with the metric h_ik constitute the so called ADM variables … the names of the new variables N and N^i … makes sense: the lapse function gives information of the time lapse between the events p and p ′ (for an observer it would be the proper time elapsed), since the direction normal to the hypersurface is in some sense the temporal direction …; the shift vector represents how much the point p on the same hypersurface is displaced and therefore, (as seen globally) how much it deforms. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">While the latter [h_ik] describes the intrinsic geometry of each hypersurface, lapse and shift determine how these hypersurfaces are connected to each other. More precisely, the shift vector field measures how much a given trajectory at constant spatial coordinates is non-orthogonal to the hypersurface and the lapse denotes the proper time per unit coordinate time measured by an observer moving orthogonal to the slices.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Siehst du den Unterschied? <br /> <br />Im ersten Zitat wird klar, dass Lapse und Shift Eigenschaften der Raumzeit beschreiben, außerdem wird erwähnt, was dies für einen Beobachter bedeutet. Im zweiten Zitat wird für die räumliche Metrik die intrinsische Bedeutung hervorgehoben, für Lapse und Shift wird dagegen nur die Bedeutung für einen Beobachter erklärt. Diese ist natürlich korrekt, die Formulierung – und andere, die man in der Literatur findet – suggerieren jedoch, Lapse und Shift hätten <span style="font-weight: bold">ausschließlich</span> eine Bedeutung für den Beobachter, und hätten <span style="font-weight: bold">nichts</span> mit der Raumzeit selbst zu tun. Und das ist falsch! <br /> <br />Wäre es zutreffend, so könnte man uneingeschränkt auf folgende triviale Form verwenden: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?N = 1, \qquad N^i = 0"> <br /> <br />Das ist jedoch nur <br />a) für spezielle Raumzeiten möglich, wobei die Voraussetzungen m.E. bereits mit der Einführung von T erfüllt sind. Und <br />b) nicht von vornherein, da man damit essentielle Eigenschaften der Theorie zerstört. Daher kodieren die Funktionen tatsächlich nicht nur Eigenschaften des Beobachterfeldes. Das ist sehr technisch, ich schreibe evtl. später mehr dazu.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 02. Feb 2025 22:57<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />T repräsentiert damit keine Gleichzeitigkeit im Sinne einer Gleichzeitigkeitshyperfläche?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Wenn eine stetige Funktion T auf einer Menge von Zahlen den selben Wert t hat, dann liegt eine Niveaufläche oder Isofläche vor. Wenn es sich dann um eine Niveaufläche in einer Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit handelt, und wenn wir den Rest der Konstruktion durchziehen, dann dürfen wir sie auch Gleichzeitigkeitshyperfläche nennen. Wäre z.B. T so geartete, dass n auf diesen Flächen raumartig ist, dann wäre es zwar eine Niveaufläche jedoch keine Gleichzeitigkeitshyperfläche.[/quote] <br /> <br />Ok, danke. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Was hast du wie verstanden?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Folgendes: <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Daraus könnte man ablesen, dass Lapse und Shift nur die Beobachter charakterisieren. Das ist aber falsch. <span style="font-weight: bold">Sie charakterisieren die Mannigfaltigkeit, was wir anhand der Beobachter veranschaulichen.</span></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Also <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\nabla \times v \neq 0 \; \implies \; \nexists \phi : \, v = \nabla \phi "></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ok, wenn das für das weitere Verständnis erstmal nicht so wichtig ist, dann würde ich es nach hinten stellen. <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Dann muss man es wohl umrechnen. <br /> <br /><a href="https://arxiv.org/pdf/0904.4184" target="_blank">https://arxiv.org/pdf/0904.4184</a></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ok, passt schon aber das paper habe ich abgespeichert. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ja, ich muss noch eine anderen Buchstaben für t einführen (erledigt).</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />👍</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 02. Feb 2025 14:46<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">für [nicht-euklidischen Raum] haben wir noch keine Definition von "krumm" = "nicht gerade", weil wir noch keine von "gerade" haben. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Hmm...ok! <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Weil es zunächst mal darum geht, dass diese Fläche dadurch definiert ist, dass T auf ihr einen festen Wert hat. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?T=t=const"> für jedes <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Sigma_{t+\Delta_t}"> <br /> <br />T repräsentiert damit keine Gleichzeitigkeit im Sinne einer Gleichzeitigkeitshyperfläche?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Wenn eine stetige Funktion T auf einer Menge von Zahlen den selben Wert t hat, dann liegt eine Niveaufläche oder Isofläche vor. Wenn es sich dann um eine Niveaufläche in einer Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit handelt, und wenn wir den Rest der Konstruktion durchziehen, dann dürfen wir sie auch Gleichzeitigkeitshyperfläche nennen. Wäre z.B. T so geartete, dass n auf diesen Flächen raumartig ist, dann wäre es zwar eine Niveaufläche jedoch keine Gleichzeitigkeitshyperfläche. <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich kenne diese Darstellung, halte sie jedoch für etwas irreführend, denn man könnte meinen, dass die Funktionen ausschließlich für diesen Beobachter eingeführt werden und ihn beschreiben. Das ist falsch! Tatsächlich handelt es sich um die Beschreibung der Deformationen der Mannigfaltigkeit selbst. Ich habe das ergänzt. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ja so habe ich es verstanden. <br />Der Shift-Vektor gibt an, wie die räumlichen Koordinaten einer Bahn eines hypothetischen Beobachters, von Sigma zu Sigma, von der Othogonalität zu den Niveau- bzw. Hyperfläche abweichen (und damit wie die Mannigfaltigkeit deformiert wird). Die Lapse-Funktion weist dem gleichen Beobachter das Eigenzeitintervall, im Bezug zum Koordinatenzeitintervall <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta t"> zu. Von diesen Beobachtern gibt es unendlich viele, auf jedem Sigma.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Was hast du wie verstanden? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Der Shift-Vektor gibt an, wie die räumlichen Koordinaten einer Bahn eines hypothetischen Beobachters, von Sigma zu Sigma, von der Othogonalität zu den Niveau- bzw. Hyperfläche abweichen (und damit wie die Mannigfaltigkeit deformiert wird). Die Lapse-Funktion weist dem gleichen Beobachter das Eigenzeitintervall, im Bezug zum Koordinatenzeitintervall <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta t"> zu.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Daraus könnte man ablesen, dass Lapse und Shift nur die Beobachter charakterisieren. Das ist aber falsch. Sie charakterisieren die Mannigfaltigkeit, was wir anhand der Beobachter veranschaulichen. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Kannst du bitte kurz erläutern, was damit gemeint ist (FAQ, 3. Beitrag)? <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Integrabilitätsbedingung des Verschwindens der Rotation </td> </tr></table><span class="postbody"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das ist eine Verallgemeinerung des aus drei Dimensionen und für euklidische Räume bekannten Theorems, dass ein Vektorfeld nur dann als Gradient darstellbar ist, wenn seine Rotation verschwindet. <br /> <br /><a href="https://en.m.wikipedia.org/wiki/Vector_calculus_identities" target="_blank">https://en.m.wikipedia.org/wiki/Vector_calculus_identities</a> <br /><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Helmholtz_decomposition" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/Helmholtz_decomposition</a> <br /> <br />Aus <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v = \nabla \phi"> <br /> <br />folgt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\nabla \times v = \nabla \times ( \nabla \phi ) = 0"> <br /> <br />Ist nun <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\nabla \times v \neq 0"> <br /> <br />so kann nicht zugleich <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v = \nabla \phi"> <br /> <br />gelten. <br /> <br />Also <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\nabla \times v \neq 0 \; \implies \; \nexists \phi : \, v = \nabla \phi "> <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Die Koordinatenzeiten [GP-Koordinaten] entsprechen den Eigenzeiten der (aus dem unendlichen) frei fallenden Beobachter.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das verstehe ich nicht. Bei Wiki sieht das Linienelement bei den GP-Koordinaten anders aus. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Dann muss man es wohl umrechnen. <br /> <br /><a href="https://arxiv.org/pdf/0904.4184" target="_blank">https://arxiv.org/pdf/0904.4184</a> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Es wird dort auch eine Zeitkoordinate <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t_r"> definiert.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ja, ich muss noch eine anderen Buchstaben für t einführen (erledigt).</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 02. Feb 2025 13:40<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">für [nicht-euklidischen Raum] haben wir noch keine Definition von "krumm" = "nicht gerade", weil wir noch keine von "gerade" haben. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Hmm...ok! <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Weil es zunächst mal darum geht, dass diese Fläche dadurch definiert ist, dass T auf ihr einen festen Wert hat. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?T=t=const"> für jedes <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Sigma_{t+\Delta_t}"> <br /> <br />T repräsentiert damit keine Gleichzeitigkeit im Sinne einer Gleichzeitigkeitshyperfläche? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich kenne diese Darstellung, halte sie jedoch für etwas irreführend, denn man könnte meinen, dass die Funktionen ausschließlich für diesen Beobachter eingeführt werden und ihn beschreiben. Das ist falsch! Tatsächlich handelt es sich um die Beschreibung der Deformationen der Mannigfaltigkeit selbst. Ich habe das ergänzt. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ja so habe ich es verstanden. <br />Der Shift-Vektor gibt an, wie die räumlichen Koordinaten einer Bahn eines hypothetischen Beobachters, von Sigma zu Sigma, von der Othogonalität zu den Niveau- bzw. Hyperfläche abweichen (und damit wie die Mannigfaltigkeit deformiert wird). Die Lapse-Funktion weist dem gleichen Beobachter das Eigenzeitintervall, im Bezug zum Koordinatenzeitintervall <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta t"> zu. Von diesen Beobachtern gibt es unendlich viele, auf jedem Sigma. <br /> <br /> <br />Kannst du bitte kurz erläutern, was damit gemeint ist (FAQ, 3. Beitrag)? <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Integrabilitätsbedingung des Verschwindens der Rotation </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Die Koordinatenzeiten [GP-Koordinaten] entsprechen den Eigenzeiten der (aus dem unendlichen) frei fallenden Beobachter.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das verstehe ich nicht. Bei Wiki sieht das Linienelement bei den GP-Koordinaten anders aus. Es wird dort auch eine Zeitkoordinate <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t_r"> definiert. <br /><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Gullstrand%E2%80%93Painlev%C3%A9_coordinates#GP_coordinates" target="_blank" class="postlink">https://en.wikipedia.org/wiki/Gullstrand%E2%80%93Painlev%C3%A9_coordinates#GP_coordinates</a></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 02. Feb 2025 10:14<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Krummlinig im Sinne von Kurven? In Wiki wird zwischen recht- und schiefwinklige, sowie krummlinige Koordinaten unterschieden. Letzteres bezieht sich auf gekrümmte Koordinatenlinien.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Die Intuition ist schon klar, allerdings geht es in dem Beitrag zunächst mal darum, krummlinige Koordinaten in einem euklidischen Raum einzuführen, während in der ART Koordinaten in einem nicht-euklidischen Raum betrachtet werden; für letzteres haben wir noch keine Definition von "krumm" = "nicht gerade", weil wir noch keine von "gerade" haben. <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Im FAQ 3. Beitrag in <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t^\mu = N n^\mu + N^i e_{i}^{\mu} "> <br /> <br />ist <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?N"> die Lapse-Funktion und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?N^i"> ist der Shift-Vektor? Erstere bezieht sich im Linienelement auf die zeitliche und letztere auf die räumliche Entwicklung zwischen den Sigmas? Letztendlich sind aber im allgemeinen beide "Elemente" einer Zeitfunktion <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?T">? <br />Warum "Niveau-" und nicht mehr Hyperfläche?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Weil es zunächst mal darum geht, dass diese Fläche dadurch definiert ist, dass T auf ihr einen festen Wert hat. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"><a href="https://arxiv.org/pdf/2007.03261" target="_blank" class="postlink">https://arxiv.org/pdf/2007.03261</a> <br />unter Gleichung 11: <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">...where <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?N"> denotes the lapse function, <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?N_i"> the shift vector field, and <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\gamma_{ij}"> the three dimensional spatial metric <br />induced on <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Sigma_t">. While the latter describes the intrinsic geometry of each hypersurface, lapse and shift determine how these hypersurfaces are connected to each other. More precisely, the shift vector field measures how much a given trajectory at constant spatial coordinates <br />is non-orthogonal to the hypersurface and the lapse denotes the proper time per unit coordinate time measured by an observer moving orthogonal to the slices. </td> </tr></table><span class="postbody"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ich kenne diese Darstellung, halte sie jedoch für etwas irreführend, denn man könnte meinen, dass die Funktionen ausschließlich für diesen Beobachter eingeführt werden und ihn beschreiben. Das ist falsch! Tatsächlich handelt es sich um die Beschreibung der Deformationen der Mannigfaltigkeit selbst. Ich habe das ergänzt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 01. Feb 2025 23:25<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Krummlinig im Sinne von Kurven? In Wiki wird zwischen recht- und schiefwinklige, sowie krummlinige Koordinaten unterschieden. Letzteres bezieht sich auf gekrümmte Koordinatenlinien. <br /> <br /> <br /> <br />Im FAQ 3. Beitrag in <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?t^\mu = N n^\mu + N^i e_{i}^{\mu} "> <br /> <br />ist <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?N"> die Lapse-Funktion und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?N^i"> ist der Shift-Vektor? Erstere bezieht sich im Linienelement auf die zeitliche und letztere auf die räumliche Entwicklung zwischen den Sigmas? Letztendlich sind aber im allgemeinen beide "Elemente" einer Zeitfunktion <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?T">? <br />Warum "Niveau-" und nicht mehr Hyperfläche? <br /> <br /><a href="https://arxiv.org/pdf/2007.03261" target="_blank" class="postlink">https://arxiv.org/pdf/2007.03261</a> <br />unter Gleichung 11: <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">...where <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?N"> denotes the lapse function, <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?N_i"> the shift vector field, and <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\gamma_{ij}"> the three dimensional spatial metric <br />induced on <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Sigma_t">. While the latter describes the intrinsic geometry of each hypersurface, lapse and shift determine how these hypersurfaces are connected to each other. More precisely, the shift vector field measures how much a given trajectory at constant spatial coordinates <br />is non-orthogonal to the hypersurface and the lapse denotes the proper time per unit coordinate time measured by an observer moving orthogonal to the slices. </td> </tr></table><span class="postbody"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 01. Feb 2025 12:52<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Bezieht sich der Index mu <span style="font-weight: bold">immer(?)</span> <span style="text-decoration: underline">auf eine</span> Koordinate und nu <span style="text-decoration: underline">auf alle anderen</span> aber festgehaltenen Koordinaten?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Nein. <br /> <br />Die Indizes bezeichnen immer alle Koordinaten bzw. allgemein Komponenten. Die Formeln sind immer zu lesen als "für alle mu, nu … = 0…3" oder bei doppelten Indizes "zu summieren über alle mu = 0…3". <br /> <br />Dass alle bis auf eine Koordinate festgehalten werden, ist die Ausnahme, deswegen steht es explizit dabei. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Die Koordinaten sind in der ART alle krummlinig? <br /><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Krummlinige_Koordinaten" target="_blank" class="postlink">https://de.wikipedia.org/wiki/Krummlinige_Koordinaten</a></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ja. <br /> <br />Wobei der Begriff irreführend ist. Wir haben noch gar nicht definiert, was gerade oder krumm überhaupt bedeutet.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 01. Feb 2025 10:19<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Bezieht sich der Index mu <span style="font-weight: bold">immer(?)</span> <span style="text-decoration: underline">auf eine</span> Koordinate und nu <span style="text-decoration: underline">auf alle anderen</span> aber festgehaltenen Koordinaten? <br /> <br />Die Koordinaten sind in der ART alle krummlinig? <br /><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Krummlinige_Koordinaten" target="_blank" class="postlink">https://de.wikipedia.org/wiki/Krummlinige_Koordinaten</a></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 01. Feb 2025 08:22<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ja.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 31. Jan 2025 18:12<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Betrachten wir eine Kurve in einer Koordinate mu, alle anderen fest, also <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\pmb{x}(x_\mu; x_{{\nu \neq \mu} \, \text{fixed}})"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Meinst du mit Kurven Koordinatenlinien, wie auf Wiki beschrieben? <br /><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Koordinatenlinie" target="_blank" class="postlink">https://de.wikipedia.org/wiki/Koordinatenlinie</a> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Eine Koordinatenlinie in einem Koordinatensystem ist eine Kurve, auf der alle Koordinaten bis auf eine konstant sind. In krummlinigen Koordinatensystemen sind die lokalen Basisvektoren tangential zu den Koordinatenlinien gerichtet und können auf Grund dieser Eigenschaft berechnet werden. Stehen diese Basisvektoren stets paarweise aufeinander senkrecht, wie z. B. Nord-Süd-, Ost-West- und Lotrichtung, so handelt es sich um ein orthogonales Koordinatensystem. </td> </tr></table><span class="postbody"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 31. Jan 2025 09:51<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ein paar Präzisierungen: <br /> <br />Betrachten wir Raumzeit-Koordinaten x, y von Punkten <span style="font-weight: bold">x</span>, <span style="font-weight: bold">y</span> auf der Mannigfaltigkeit M. <br /> <br />(fette Symbole funktionieren hier in LaTeX nicht richtig) <br /> <br /> <br />Betrachten wir eine Kurve in einer Koordinate mu, alle anderen fest, also <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\pmb{x}(x_\mu; x_{{\nu \neq \mu} \, \text{fixed}})"> <br /> <br />und definieren die <span style="font-weight: bold">Basisvektoren</span> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \pmb{e}_\mu = \left. \frac{\partial \pmb{x}}{\partial x^\mu} \right|_{\nu \neq \mu \, \text{fixed}} = \left. \partial_\mu \pmb{x} \right|_{\nu \neq \mu \, \text{fixed}} "> <br /> <br />Dann gilt für die <span style="font-weight: bold">bilineare Abbildung</span> dieser Vektoren in jedem Punkt <span style="font-weight: bold">x</span> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?g_{\mu\nu} = \langle \pmb{e}_\mu, \pmb{e}_\nu \rangle = \pmb{e}_\mu \pmb{e}_\nu"> <br /> <br />wobei die Mathematiker gerne ersteres schreiben, die Physiker zumeist letzteres bevorzugen. <br /> <br /> <br />Für eine allgemeine Kurve, parametrisiert durch einen Parameter tau, gilt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{d\pmb{x}}{d\tau} = \frac{\partial \pmb{x}}{\partial x^\mu} \frac{d x^\mu}{d\tau} = \pmb{e}_\mu \dot{x}^\mu "> <br /> <br />Für das Quadrat der Bogenlänge folgt dann <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\left( \frac{d\pmb{x}}{d\tau} \right)^2 = (\pmb{e}_\mu \dot{x}^\mu) (\pmb{e}_\nu \dot{x}^\nu) = ( \pmb{e}_\mu \pmb{e}_\nu) \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu = g_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu "> <br /> <br />Eliminierung des Kurvenparameters liefert die bekannte Darstellung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu "> <br /> <br />die die Physiker gerne als verwenden. <br /> <br /> <br />Definieren wir die <span style="font-weight: bold">duale Basis</span> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\pmb{e}^\mu = g^{\mu\nu} \pmb{e}_\nu "> <br /> <br />so erhalten wir <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?g^{\mu\nu} = \pmb{e}^\mu \pmb{e}^\nu"> <br /> <br />In diesem Sinne sind die Basisvektoren i.A. nicht orthonormiert; wir erhalten gerade die Komponenten der Metrik als Ergebnis dieses Skalarproduktes. <br /> <br /> <br />Zwischen den beiden Basen besteht der Zusammenhang <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\pmb{e}^\mu \pmb{e}_\nu =(g^{\mu\kappa} \pmb{e}_\kappa) \pmb{e}_\nu = g^{\mu\kappa} (\pmb{e}_\kappa \pmb{e}_\nu) = g^{\mu\kappa} g_{\kappa\nu} = \delta^\mu_\nu "> <br /> <br />In diesem Sinne sind Basis und duale Basis "relativ zueinander" orthonormiert. <br /> <br /> <br />Nun betrachten wir Vektoren bzw. Vektorfelder <span style="font-weight: bold">v</span> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\pmb{v} = v^\mu \pmb{e}_\mu"> <br /> <br />Ihre Komponenten bzgl. einer Basis erhält man gerade mittels Projektion auf dieselbe <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\pmb{e}^\mu \pmb{v} = \pmb{e}^\mu (v^\nu \pmb{e}_\nu) = v^\nu \, (\pmb{e}^\mu \pmb{e}_\nu) = v^\nu \, \delta^\mu_\nu = v^\mu"> <br /> <br />Für die oben eingeführte bilineare Abbildung für allgemeine Vektoren <span style="font-weight: bold">v</span>, <span style="font-weight: bold">w</span> erhält man <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\langle \pmb{v}, \pmb{w} \rangle = \langle v^\mu \pmb{e}_\mu, w^\nu \pmb{e}_\nu \rangle = \langle \pmb{e}_\mu, \pmb{e}_\nu \rangle \; v^\mu w^\nu = g_{\mu\nu} v^\mu w^\nu "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\langle \pmb{v}, \pmb{w} \rangle = \langle v_\mu \pmb{e}^\mu, w^\nu \pmb{e}_\nu \rangle = \langle \pmb{e}^\mu, \pmb{e}_\nu \rangle \; v_\mu w^\nu = \delta^\mu_\nu v^\mu w^\nu = v^\mu w_\mu "> <br /> <br /> <br />Zuletzt noch eine Anmerkung: In der speziellen Relativitätstheorie gilt die <span style="font-weight: bold">globale</span> Poincare-Invarianz, insbs. kann man Punkte der Raumzeit mittels Poincare-Transformationen zueinander in Beziehung setzen, d.h. die Koordinaten (t,x) eines Punktes <span style="font-weight: bold">P</span> bzgl. eines Punktes <span style="font-weight: bold">O</span>, sowie die Transformation zu neuen Koordinaten (t', x') bzgl. eines anderen Punktes <span style="font-weight: bold">O'</span> – also Translationen – sowie Rotationen und Boost. Diese globale Symmetrie gilt in der allgemeinen Relativitätstheorie nicht, dann man statt eines einzigen Vektorraumes – des Minkowski-Raumes – eine gekrümmte Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit vorliegen hat, in der die Vektorräume, deren Basen sowie die Vektoren <span style="font-weight: bold">je Punkt der Mannigfaltigkeit</span> definiert werden müssen. Zwischen Vektoren in unterschiedlichen Punkten, d.h. in unterschiedlichen Vektorräumen, besteht zunächst keine offensichtliche Verbindung – kommt aber noch. Was jedoch gegeben ist, ist eine <span style="font-weight: bold">lokale Lorentz-Invarianz</span>, d.h. die Möglichkeit die oben eingeführten Basisvektoren je Punkt der Raumzeit unterschiedlich zu transformieren – das nur als Ausblick.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Aruna_Gast</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 31. Jan 2025 08:12<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? {\color{blue}x} \circ {\color{blue}y} = x_\mu y^\mu = x^\mu y_\mu "></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />hattest Du schon irgendwo die einsteinsche Summenkonvention erwähnt?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Aruna_Gast</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 31. Jan 2025 07:58<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Qubit hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Du wählst kovariante Basisvektoren als Einheitsvektoren und bekommst eine duale Basis, die i.a. keine Einheitsvektoren sind. Da steckt eben noch ein cos-Faktor drinnen. Diese "reziproken" Basisvektoren sollen ja im Skalarprodukt mit den kovarianten Basisvektoren <span style="font-weight: bold">ein Kronecker-Delta liefern</span>. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Und in <span style="font-weight: bold">diesem</span> Sinne sind es Einheitsvektoren. Oder wie definierst du den Begriff?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich versuche das gerade mit der von mir im letzten Beitrag zitierten Aussage Susskinds zusammen zu bringen: <br /> <br />Er hat Einheitsbasisvektoren <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?e_i"> <br />Nun zeigt er zwei Möglichkeiten, die Darstellung eines beliebigen Vektors bezüglich dieser Einheitsbasisvektoren zu berechnen: <br /> <br />1.) Kontravariant: Die Komponenten sind die Zahlen, mit denen diese Basisvektoren multipliziert werden. <br /> <br />2.) Kovariant: Die Komponenten sind die Projektionen des Vektores auf den jeweiligen Basisvektor. <br /> <br />Diese Komponenten eines beliebigen Vektors sind im allgemeinen natürlich nicht von der gleichen "Länge" (Norm) wie die Einheitsvektoren, mit dessen Hilfe sie gebildet werden. <br /> <br />=> Frage: <br /> <br />@Qubit: <br /> <br />1.) wenn Du von kovarianten <span style="font-weight: bold">Basisvektoren</span> sprichst, meinst Du die <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?e_i">? und nicht die kovarianten Komponenten eines beliebigen Vektors <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V">, also <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V_i ">? <br /> <br />2.) die kontravarianten Basisvektoren wären dann <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?e^i"> oder die Komponenten <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V^i"> ?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Aruna_Gast</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Jan 2025 23:09<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Ich bin nicht so ein Video Fan aber schaue heute Abend rein.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br /><span style="font-style: italic">"Contravariant indices are the things that you use to construct a vector out of the basis vectors. <br />Covariant indices are the dot products with the basis vectors. <br />They are different geometric things but they would be the <br />same if we were talking about ordinary cartesian coordinates."</span></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Jan 2025 11:25<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Aruna_Gast hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Du hast doch schon das theoretische Minimum zur QM erworben?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ja habe es da aber da nun mit anderen Themen beschäftigt hab ich es erstmal noch beiseite gelegt. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">wie findest Du diese Darstellung aus der gleichen Reihe? <br /> <br />youtu.be/5VKyRVLMMQ4?si=BpT6nx-kLKcFROKl&t=842</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich bin nicht so ein Video Fan aber schaue heute Abend rein. <br />Vielleicht kaufe ich mir auch das erste Buch, denn im zweiten wird auch darauf verwiesen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Aruna_Gast</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Jan 2025 23:48<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Die folgende Beschreibung der kovarianten und kontravarianten Komponenten finde ich gut verständlich. Taugt sie was? <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Du hast doch schon das theoretische Minimum zur QM erworben? <br />wie findest Du diese Darstellung aus der gleichen Reihe? <br /> <br />youtu.be/5VKyRVLMMQ4?si=BpT6nx-kLKcFROKl&t=842</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Qubit</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Jan 2025 21:08<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Qubit hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Qubit hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Qubit hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Du wählst kovariante Basisvektoren als Einheitsvektoren und bekommst eine duale Basis, die i.a. keine Einheitsvektoren sind. Da steckt eben noch ein cos-Faktor drinnen. Diese "reziproken" Basisvektoren sollen ja im Skalarprodukt mit den kovarianten Basisvektoren <span style="font-weight: bold">ein Kronecker-Delta liefern</span>. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Und in <span style="font-weight: bold">diesen</span> Sinne sind es Einheitsvektoren. Oder wie definierst du den Begriff?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich weiss nicht, ob ich dich jetzt richtig verstehe.. <br />Einheitsvektoren haben die Norm 1. <br />Das Kronecker-Delta zur Definition der Dualvektoren liefern aber i.a. keine Einheitsvektoren der Dualbasis..</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />PS: deswegen nennt man die Vektoren der Dualbasis auch "reziprok"..</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />PPS: man darf im übrigen auch "duale Basis" nicht mit "Dualraum" verwechseln, welch letzteres ja ein Raum linearer Funktionale ist, und somit in einen Körper abbildet, meistens C (komplex). So lässt sich ja zB. die Schrödinger-Gleichung in Ortsdarstellung "repräsentieren", die in die komplexen Zahlen abbildet (in Dirac-Notation davon unabhängig formuliert mit "Kets")</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Qubit</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Jan 2025 20:45<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Qubit hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Qubit hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Du wählst kovariante Basisvektoren als Einheitsvektoren und bekommst eine duale Basis, die i.a. keine Einheitsvektoren sind. Da steckt eben noch ein cos-Faktor drinnen. Diese "reziproken" Basisvektoren sollen ja im Skalarprodukt mit den kovarianten Basisvektoren <span style="font-weight: bold">ein Kronecker-Delta liefern</span>. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Und in <span style="font-weight: bold">diesen</span> Sinne sind es Einheitsvektoren. Oder wie definierst du den Begriff?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich weiss nicht, ob ich dich jetzt richtig verstehe.. <br />Einheitsvektoren haben die Norm 1. <br />Das Kronecker-Delta zur Definition der Dualvektoren liefern aber i.a. keine Einheitsvektoren der Dualbasis..</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />PS: deswegen nennt man die Vektoren der Dualbasis auch "reziprok"..</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Qubit</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Jan 2025 20:42<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Qubit hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Du wählst kovariante Basisvektoren als Einheitsvektoren und bekommst eine duale Basis, die i.a. keine Einheitsvektoren sind. Da steckt eben noch ein cos-Faktor drinnen. Diese "reziproken" Basisvektoren sollen ja im Skalarprodukt mit den kovarianten Basisvektoren <span style="font-weight: bold">ein Kronecker-Delta liefern</span>. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Und in <span style="font-weight: bold">diesen</span> Sinne sind es Einheitsvektoren. Oder wie definierst du den Begriff?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich weiss nicht, ob ich dich jetzt richtig verstehe.. <br />Einheitsvektoren haben die Norm 1. <br />Das Kronecker-Delta zur Definition der Dualvektoren liefern aber i.a. keine Einheitsvektoren der Dualbasis..</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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