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[quote="TomS"]Hier die Ergebnisse mit der Anzahl der Ladungen, der Energie sowie dem Fehler ggü. dem Wert aus der Literatur. [code]sequential quadratic programming 2 0.4999999999196275 -1.6074497288798284e-10 3 1.7320505356788578 -1.5722468482692875e-07 4 3.6742344122201382 -5.491752241848502e-08 5 6.474691368764962 -1.949668770873103e-08 6 9.985281085710307 -2.8871464108348732e-08 7 14.452977346598626 -4.663494035384019e-09 8 19.67528770698988 -7.827591685938273e-09 9 25.75998637229105 -6.161064991516696e-09 10 32.716949252880525 -6.3306475617253e-09 11 40.59645008742303 -1.0409209716399914e-08 12 49.165252957932005 -2.035339785599888e-09 simulated annealing 2 0.5000000565167957 1.1303359137571078e-07 3 1.7320511364612905 1.8963721437614822e-07 4 3.6742376599662734 8.290070159233665e-07 5 6.474692922488261 2.2047201198027722e-07 6 9.985283953365865 2.5831679351107084e-07 7 14.453187247277631 1.4518342596137046e-05 8 19.675348543026338 3.084174766021519e-06 9 25.759996354403338 3.8134349678031754e-07 10 32.71912348329233 6.644944984812717e-05 11 40.596578666085996 3.156829830874841e-06 12 49.17180655717802 0.00013329534112838104[/code][/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>DrStupid</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 09. Jan 2025 22:01<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Es gibt noch eine einfachere Möglichkeit, die Identität zweier Körper zu testen. Man nimmt die seltenste Kante und dreht den Körper so, dass sie mit einem der Gegenstücke übereinstimmt. Bei identischen Körpern üssen dann wenigstens einmal alle Punkte übereinstimmen. Wenn die Kante n mal vorkommt, braucht man dafür maximal 2*n Tests.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 09. Jan 2025 14:54<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ok, ich mach das jetzt anders. <br /> <br />Rotationen und Permutationen sind "teuer", daher implementiere ich stattdessen Tests basierend auf Invarianten: <br />- Energie (bereits implementiert) <br />- Volumen <br />- Schwerpunkt (bereits implementiert) <br />- Multipole der Ladungsverteilung und deren Eigenwerte <br />- Abstandsmatrix und deren Eigenwerte (ersteres bereits implementiert) <br />- Zentralwinkelmatrix und deren Eigenwerte (ersteres bereits implementiert) <br />- Matrix der Winkel zwischen Kanten * und deren Eigenwerte (ersteres bereits implementiert) <br /> <br />*alle N(N-1)/2 im Sinne eines vollständigen Graphen, nicht nur Kanten im geometrischen Sinne <br /> <br />Ich bin noch auf der Suche nach chiral-sensitiven Invarianten.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>DrStupid</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Jan 2025 22:22<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Also du würdest das nicht tun, wie du oben schriebst, sondern du tust das 😉</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Wo glaubst Du da einen Unterschied zu sehen? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Minimierst du erst für i=1, hältst dann den Punkt fest, minimierst dann für i=2 …? Damit läufst du in lokale Minima, das kann nicht funktionieren. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Wie ich oben schon sagte, muss ich wegen der lokalen Minima ein Raster von Startwerten absuchen, um auch das globakle Minimum zu erwischen. Es sollte genügen, wenn das Raster eine Größenordung enger als die kleinsten Kante des Polyeders ist.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Jan 2025 18:43<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DrStupid hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Für eine automatische Prüfung würde ich den Körper spiegeln und dann so drehen, dass die Summe der minimalen Abstände zwischen originalen und gespiegelten Punkten minimal wird. Weil es da lokale Minima gibt, müsste ich systematisch verschiedene Startwerte durchprobieren. Die Manschenbreite des Suchrasters hängt dabei von der minimalen Kantenlänge des Polyeders ab. Deshalb sollte der Aufwand nur linear mit der Anzahl der Punkte wachsen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DrStupid hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Wie ich oben schon sagte, minimiere ich die Summe der minimalen Abstände - also der Abstände zum jeweils nächsten Nachbarn. Dazu berechne ich erst einmal für jeden Punkt des einen Musters den Abstand zu jedem Punkt des anderen. Davon wähle ich den kleinsten aus und berechne eine dazu proportionale Kraft und ein entsprechendes Drehmoment. Das wird alles aufsummiert und das Muster anschließend in Richtung von Gesamtkraft und -drehmoment verschoben und gedreht.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Also du würdest das nicht tun, wie du oben schriebst, sondern du tust das 😉 <br /> <br />Der Ansatz klingt sehr gut. <br /> <br />Gibt es einen Konvergenzbeweis in dem Sinne, dass äquivalente Polyeder P, Q sicher zur Deckung gebracht werden? D.h. umgekehrt, dass Polyeder P, Q, die nicht zur Deckung gebracht werden, sicher Spiegelbilder voneinander sind? <br /> <br />Ist das folgende korrekt? <br /> <br />Minimiert wird der Abstand D der Polyeder P,Q über alle Bewegungen g (am einfachsten nur Rotationen) <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\text{min}_g \, D(P, gQ)"> <br /> <br />Der aktuelle Abstand ist definiert als die Summe der euklidischen Abstände. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?D(P, Q) = \sum_{i=1}^N |p_i - q_{\pi(i)}|"> <br /> <br />Die Permution pi der Indizes (1, 2 … N) ist so definiert, dass <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?|p_1 - q_{\pi(1)}| \le |p_2 - q_{\pi(2)}| \le \ldots"> <br /> <br />Minimierst du erst für i=1, hältst dann den Punkt fest, minimierst dann für i=2 …? Damit läufst du in lokale Minima, das kann nicht funktionieren. <br /> <br />Irgendwas verstehe ich noch nicht.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>DrStupid</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Jan 2025 17:58<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Kannst du den Algorithmus erklären?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Wie ich oben schon sagte, minimiere ich die Summe der minimalen Abstände - also der Abstände zum jeweils nächsten Nachbarn. Dazu berechne ich erst einmal für jeden Punkt des einen Musters den Abstand zu jedem Punkt des anderen. Davon wähle ich den kleinsten aus und berechne eine dazu proportionale Kraft und ein entsprechendes Drehmoment. Das wird alles aufsummiert und das Muster anschließend in Richtung von Gesamtkraft und -drehmoment verschoben und gedreht. <br /> <br />Unten ist ein Beispiel mit drei Teilmustern. Die Linien zeigen dabei die bei jedem Schritt verwendeten Paarungen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Jan 2025 17:28<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Kannst du den Algorithmus erklären?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>DrStupid</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Jan 2025 17:26<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"><span style="font-weight: bold">Du</span> erkennst die Äquivalenz, die Software <span style="font-weight: bold">nicht</span>.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Doch, das tut sie. Ich hab das schon mal gemacht. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">In der Software stelle sich dies dar als <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p = (({\color{blue}-1,-1}), ({\color{red}-1,+1}), (+1,-1), (+1, +1))"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?q = (({\color{red}-1,+1}), ({\color{blue}-1,-1}), (+1,-1), (+1, +1))"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das ist meinem Algorithmus egal. Die Reihenfolge der Punkte spielt keine Rolle. Nicht einmal die Anzahl muss übereinstimmen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Jan 2025 17:09<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Aber du kannst i.A. P nicht in Q rotiert, wenn eine Permution vorliegt. Einfaches Beispiel für N=4 in der 2-dim. Ebene, wobei P, Q' gegeneinander rotierte Quadrate seien. Rotation von Q' nach Q führe zu P = Q <span style="font-style: italic">modulo Permutationen</span>. <br /> <br />In der Software stelle sich dies dar als <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p = (({\color{blue}-1,-1}), ({\color{red}-1,+1}), (+1,-1), (+1, +1))"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?q = (({\color{red}-1,+1}), ({\color{blue}-1,-1}), (+1,-1), (+1, +1))"> <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Du</span> erkennst die Äquivalenz, die Software <span style="font-weight: bold">nicht</span>. <br /> <br />Wenn wir uns auf Äquivalenz modulo Permutationen und Rotationen festlegen und damit Reflexionen ausschließen, um chirale Isomere zu erkennen, dann müssen wie folgt argumentieren: <br /> <br />P und Q sind Spiegelbilder zueinander genau dann, wenn für alle Permutationen und Rotationen p und q nicht ineinander überführt werden können. Im o.g. Beispiel ist das nicht der Fall. <br /> <br />Wollen wir also eine Software schreiben, um chirale Isomere identifizieren zu können, dann muss die Software für jede Permution zeigen, dass keine Rotation zur Identität von p und q führt. Ohne Berücksichtigung von Permutationen findet der Algorithmus zu viele Varianten.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>DrStupid</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Jan 2025 16:22<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Das funktioniert alleine nicht, man muss auch die Permutationen berücksichtigen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Wozu? Die Ladungen sind doch alle gleich.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Jan 2025 15:44<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DrStupid hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Das mache ich manuell. Ich berechne für eine Lösung das Bild eines Polyeders, bei dem Kanten gleicher Länge die gleiche Farbe haben. Dann sehe ich mir das Ding an und prüfe, ob es eine Spiegelebene hat oder ob es irgendwelche Vorzugsrichtungen gibt.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Irgendwann wünscht man sich dann einen Automatismus, oder? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DrStupid hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Für eine automatische Prüfung würde ich den Körper spiegeln und dann so drehen, dass die Summe der minimalen Abstände zwischen originalen und gespiegelten Punkten minimal wird. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das funktioniert alleine nicht, man muss auch die Permutationen berücksichtigen. <br /> <br />Berechne mal einen Polyeder mit Ecken <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?Q = (E_{\color{blue} 1}, E_{\color{red} 2}, E_3 \ldots E_n)"> <br /> <br />vertausche die ersten beiden, also <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?Q = (E_{\color{red} 2}, E_{\color{blue} 1}, E_3 \ldots E_n)"> <br /> <br />und berechne den Abstand durch Summation über alle Eckenpaare zu <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?D(P,Q) = d(E_1,E_2) + d(E_2,E_1)"> <br /> <br />Das kriegst du durch drehen und spiegeln i.A. nicht hin. Und genau <span style="font-weight: bold">das</span> ist mein Problem; die Gruppe der Permutationen ist wegen N! zu groß. <br /> <br />Für die Rotation alleine gibt es den <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Kabsch_algorithm" target="_blank" class="postlink">Kabsch-Algorithmus</a>, das sind nur ein paar Zeilen Code. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DrStupid hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">2. Meinst du, dass mein Ansatz, ausgehend von den gefundenen Minima (1) für V(r) = 1/r zu Maxima für andere Potentiale W(r) führen könnte? Das ist sicher eine spannende Frage.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Könnten ja, müssen nein. Ich bin noch nicht einmal sicher, ob ein globales Minimum bei Änderung des Potentials wenigstens ein lokales Minimum bleibt. Das könnte man aber prüfen, indem man sich die zweiten Ableitungen des Potentials nach den Koordinaten ansieht. Im Potentialminimum müssen die alle positiv sein.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Schon klar. <br /> <br />Ich wollte weg von der ewigen Numerik hin zu handfester Mathematik; deswegen fand ich meine Vermutung ganz spannend, auch wenn ich auf Unterscheidungen wie "global" vs. "nur lokal" und "Minimum" vs. "nur Extremum" erstmal verzichten muss. Immerhin kommt ja was Vernünftiges dabei raus.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>DrStupid</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Jan 2025 14:20<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">1. Wie identifizierst du zwei Lösungen, die energetisch entartet jedoch chiral zueinander sind?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das mache ich manuell. Ich berechne für eine Lösung das Bild eines Polyeders, bei dem Kanten gleicher Länge die gleiche Farbe haben. Dann sehe ich mir das Ding an und prüfe, ob es eine Spiegelebene hat oder ob es irgendwelche Vorzugsrichtungen gibt. <br /> <br />Für eine automatische Prüfung würde ich den Körper spiegeln und dann so drehen, dass die Summe der minimalen Abstände zwischen originalen und gespiegelten Punkten minimal wird. Weil es da lokale Minima gibt, müsste ich systematisch verschiedene Startwerte durchprobieren. Die Manschenbreite des Suchrasters hängt dabei von der minimalen Kantenlänge des Polyeders ab. Deshalb sollte der Aufwand nur linear mit der Anzahl der Punkte wachsen. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">2. Meinst du, dass mein Ansatz, ausgehend von den gefundenen Minima (1) für V(r) = 1/r zu Maxima für andere Potentiale W(r) führen könnte? Das ist sicher eine spannende Frage.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Könnten ja, müssen nein. Ich bin noch nicht einmal sicher, ob ein globales Minimum bei Änderung des Potentials wenigstens ein lokales Minimum bleibt. Das könnte man aber prüfen, indem man sich die zweiten Ableitungen des Potentials nach den Koordinaten ansieht. Im Potentialminimum müssen die alle positiv sein.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Jan 2025 12:05<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DrStupid hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">N=32 (Pentakisdodekaeder oder die Geodesic Sphere {3,5+}1,1). Bei N=32 bin ich mir nicht sicher, welche der beiden energetisch sehr nahe beieinander liegenden Lösungen ich finde.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Es ist der Pentakisdodekaeder.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Stimmt, danke! <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DrStupid hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Bei N=72 finde ich nichts</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ich auch nicht. Aber dafür ist es mit dem Coulomb-Potential wieder ein Beispiel für eine chirale Lösung. Die hatte ich bisher für N=15, 16, 23 und 24 gefunden.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Wie identifizierst du die? <br /> <br />Ich habe immer noch keinen effektiven Algorithmus, der eine Lösung in eine andere permutiert, rotiert und reflektiert, wobei ich dann die Chiralität prüfen könnte. Wie das prinzipiell funktioniert, ist klar, aber ab ca. N = 10 explodiert die Rechenzeit. <br /> <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DrStupid hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Für diese Werte von N minimieren die für das Coulomb-Potential gefundenen Polyeder auch andere repulsive Potentiale.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ja, aber das ist leider nicht hinreichend für das globale Minimum. Das hast Du ja schon an Gegenbeispielen wie dem Würfel oder dem Dodekaeder gesehen. Die erfüllen zwar obige Bedingung für das Kräftegleichgewicht, aber sie sind offensichtlich nicht stabil.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das ist schon klar. <br /> <br />Oder doch nicht? <br /> <br />Mein Ansatz funktioniert wir folgt: <br /> <br />1) Ich berechne für ein N ein (hoffentlich) globales Minimum, d.h. die N Koordinatenvektoren des Polyeders. Dazu lasse ich die Optimierung mehrfach laufen. Für dokumentierte globale Lösungen finde ich diese auch, es könnte aber natürlich sein. dass ein globales Minimum ein sehr kleines <span style="font-style: italic">Basin of Attraction</span> hat, das man im Konfigurationsraum leicht verfehlt. <br /> <br />2) Insgs. habe ich die Koordinaten der Ecken, sowie Paare von Abständen d und Winkeln. Dabei umfassen die Paare nicht nur die Kanten der Oberfläche des Polyeders sondern alle (N²-N)/2. <br /> <br />3) Außerdem habe ich Gruppen von Längen im Sinne der o.g. Formel mit Summen über Graphen. Für N = 7 sind das 4 Gruppen, z.B. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">{ <br /> 1.18: [(0, 3), (0, 4), (1, 4), (1, 6), (3, 0), (3, 6), (4, 0), (4, 1), (6, 1), (6, 3)], <br /> 1.41: [(0, 2), (0, 5), (1, 2), (1, 5), (2, 0), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 6), (3, 2), (3, 5), (4, 2), (4, 5), (5, 0), (5, 1), (5, 3), (5, 4), (5, 6), (6, 2), (6, 5)], <br /> 1.9: [(0, 1), (0, 6), (1, 0), (1, 3), (3, 1), (3, 4), (4, 3), (4, 6), (6, 0), (6, 4)], <br /> 2.0: [(2, 5), (5, 2)] <br />}</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Die Paare (m,n) sind die Indizes der Ecken, die den davorstehenden Abstand d = 1.18, 1.41, 1.9, 2.0 haben. <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Fragen </span> <br />1. Wie identifizierst du zwei Lösungen, die energetisch entartet jedoch chiral zueinander sind? <br />2. Meinst du, dass mein Ansatz, ausgehend von den gefundenen Minima (1) für V(r) = 1/r zu Maxima für andere Potentiale W(r) führen könnte? Das ist sicher eine spannende Frage.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>DrStupid</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Jan 2025 11:23<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">N=32 (Pentakisdodekaeder oder die Geodesic Sphere {3,5+}1,1). Bei N=32 bin ich mir nicht sicher, welche der beiden energetisch sehr nahe beieinander liegenden Lösungen ich finde.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Es ist der Pentakisdodekaeder. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Bei N=72 finde ich nichts</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich auch nicht. Aber dafür ist es mit dem Coulomb-Potential wieder ein Beispiel für eine chirale Lösung. Die hatte ich bisher für N=15, 16, 23 und 24 gefunden. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Für diese Werte von N minimieren die für das Coulomb-Potential gefundenen Polyeder auch andere repulsive Potentiale.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ja, aber das ist leider nicht hinreichend für das globale Minimum. Das hast Du ja schon an Gegenbeispielen wie dem Würfel oder dem Dodekaeder gesehen. Die erfüllen zwar obige Bedingung für das Kräftegleichgewicht, aber sie sind offensichtlich nicht stabil.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Jan 2025 00:23<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich habe die Frage, unter welchen Bedingungen können für <span style="font-style: italic">unterschiedliche</span> Potentiale<span style="font-style: italic"> die selben Polyeder</span> folgen, nochmal aufgegriffen. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich formuliere das Extremalproblem auf der Sphäre S² zunächst als <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\forall n : \; \nabla^{S^2}_n V = 0"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\forall n : \; E^{S^2} \nabla^{\mathbb{R}^3}_n V = 0"> <br /> <br />Ersteres verwendet direkt den sphärischen Gradienten, letzteres besagt, dass für den Gradienten im 3-dim. euklidischen Raum noch eine Projektion E auf die S² erforderlich ist. <br /> <br />Dies entspricht für jedes n einem Kräftegleichgewicht <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\forall n : \; E^{S^2} \sum_m F_{mn} \, e_{mn} = 0"> <br /> <br />wobei F die Beträge der Kräfte und e die normierten Richtungsvektoren zwischen m und n bezeichnet. <br /> <br />Für Polyeder mit endlich vielen Ecken – damit endlich vielen verschiedenen paarweisen Abständen d und Beträgen von Kräften F – zerfällt dies je Punkt n in eine Summe über die Kanten (mn) von Graphen G(d) mit jeweils identischen Kantenlängen d: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sum_m F_{mn} \, e_{mn} = \sum_{d} F(d) \sum_{(mn) \in G_n(d)} e_{mn}"> <br /> <br />Die Normierung der Richtungsvektoren definiert mittels der Polyederpunkte <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?e_{mn} = f^{-1}_{mn} \, (e_m - e_n)"> <br /> <br />packe ich in eine Funktion f(d). <br /> <br />Damit folgt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sum_{d} F(d) \sum_{(mn) \in G_n(d)} e_{mn} = \sum_d F(d) \, f^{-1}(d) \sum_{(mn) \in G_n(d)} (e_m - e_n) "> <br /> <br />Mittels Projektion auf die Tangentialflächen je n erhält man <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\forall n : \; \sum_d F(d) \, f^{-1}(d) \, E_n \, s_n(d) = 0 "> <br /> <br />mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?s_n(d) = \sum_{(mn) \in G_n(d)} e_m"> <br /> <br /><span style="font-style: italic">Identische</span> Polyeder liefern zu <span style="font-style: italic">verschiedenen</span> Kräften bzw. Potentialen im Allgemeinen nur dann Kräftegleichgewicht, wenn dies <span style="font-style: italic">je Graph</span> zu Abstand d und Punkt n gilt. <br /> <br />Daraus folgt die rein geometrische und sehr allgemeine Bedingung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\forall d,n : \; E_n \, s_n(d) = 0"> <br /> <br />Wenn diese Bedingung für erfüllt ist, dann liefert das Extremalproblem für eine große Klasse verschiedener Potentiale immer den selben Polyeder als Lösung. <br /> <br />Das umfasst auch den Fall des sphärischen Gradienten auf der S² mit c = 0, sowie verschiedene Abstandsbegriffe wie z.B. den 3-dim. euklidischen Abstand oder den Abstand entlang von Großkreisen auf der S². </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />In der Software berechne ich zu einer Lösung zu jedem d und jedem <br />n die Summe über den jeweiligen Graphen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?s_n(d) = \sum_{(mn) \in G_n(d)} e_m"> <br /> <br />sowie die Größe <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\text{res}\,s_n(d) = s_n(d) - \left[e_n \cdot s_n(d) \right] \, e_n "> <br /> <br />die im Idealfall exakt Null sein sollte. <br /> <br />Für viele N enthält der Polyeder diverse Abstände d nur ein einziges Mal, d.h. die Summe läuft nur über einen Term und kann nicht verschwinden. <br /> <br />Einige erwartete Lösungen treten nicht auf. Für N=4 folgt nicht der Würfel, für N=20 nicht der Dodekaeder; die stattdessen auftretenden Polyeder erfüllen die Vermutung nicht. Dies gilt auch für den abgeschrägte Hexaeder für N=24. <br /> <br />Dreieck und Tetraeder für N=3,4 (trivial), der Oktaeder für N=6 sowie der Ikosader für N=12 erfüllen die Vermutung. Dies gilt außerdem für N=5 (triangulare Bipyramide), N=7 (pentagonale Bipyramide) und N=32 (Pentakisdodekaeder oder die Geodesic Sphere {3,5+}1,1). Bei N=32 bin ich mir nicht sicher, welche der beiden energetisch sehr nahe beieinander liegenden Lösungen ich finde. <br /> <br />Bei N=72 finde ich nichts, aber das kann auch an der Numerik liegen. Es ist insbs. schwierig, die verschiedenen Abstände in den Graphen eindeutig zu bestimmen; oft liegen unterschiedliche Werte sehr nahe beieinander. <br /> <br />Die Lösungen für N=3,4 sind trivial, da es hier nur einen Abstand und daher nur einen Graphen gibt, der mit dem Polyeder identisch ist. Ab N=5 liegen 2 oder mehr Abstände vor. <br /> <br />Hier die Lösungen für N Ecken mit der Anzahl #d unterschiedlicher Abstände bzw. Graphen G(d) <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Code:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="code">N #d <br />3 1 <br />4 1 <br />5 3 <br />6 2 <br />7 4 <br />12 3 <br />32 11</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Für diese Werte von N minimieren die für das Coulomb-Potential gefundenen Polyeder auch andere repulsive Potentiale. <br /> <br />Die Frage ist natürlich, ob weitere Werte für N existieren.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Dez 2024 18:52<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DrStupid hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Mich interessiert aktuell die Frage nach identischen Polyedern für verschiedene Potentiale, und dabei ist die Chiralität völlig irrelevant.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ich bin davon ausgegangen, dass wir noch über das Thema dieser Diskussion reden. Das war dann wohl ein Irrtum meinerseits.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Nein, das ist kein Irrtum, aber auch dabei interessiert mich das nicht, der Rest ist schon schwer genug. <br /> <br />Wie gesagt <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Sei X die Lösungsmenge aller Konfigurationen x für Minima des Potentials V <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?X = \{x : V(x) = \text{min} \, V \}"> <br /> <br />Dann meine ich mit "bis auf Symmetrie" immer die Äquivalenzklassen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?[X] = X / G"> <br /> <br />mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?G = S_N \times O(n)"> <br /> <br />für N identische Ladungen in n Dimensionen </td> </tr></table><span class="postbody"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>DrStupid</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Dez 2024 18:49<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Mich interessiert aktuell die Frage nach identischen Polyedern für verschiedene Potentiale, und dabei ist die Chiralität völlig irrelevant.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich bin davon ausgegangen, dass wir noch über das Thema dieser Diskussion reden. Das war dann wohl ein Irrtum meinerseits.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Dez 2024 13:19<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DrStupid hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich unterscheide das und nur das, was unterscheidbar ist. Was ist daran nicht zu verstehen? </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ich verstehe das sehr wohl. <br /> <br />Aber … <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">… da gibt es kein richtig oder falsch, lediglich ein geeignet oder ungeeignet, je nach Fragestellung.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Mich interessiert aktuell die Frage nach identischen Polyedern für verschiedene Potentiale, und dabei ist die Chiralität völlig irrelevant. <br /> <br />Dich interessiert die Chiralität selbst, auch dagegen spricht nichts.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>DrStupid</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Dez 2024 22:48<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Einerseits bestehst du darauf, deine zwei Lösungen zu unterscheiden, andererseits meinst du, die 15! sicher nicht unterscheiden zu müssen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich unterscheide das und nur das, was unterscheidbar ist. Was ist daran nicht zu verstehen? Meine beiden Lösungen muss man nur ansehen um zu wissen, dass die verschieden sind. Deine 15! Permutationen gleicher Ladungen sehen identisch aus und verhalten sich identisch. Versuch doch mal zu erklären, wie Du die unterscheiden willst.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Dez 2024 19:33<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Deine Argumentation ist nicht schlüssig. Einerseits bestehst du darauf, deine zwei Lösungen zu unterscheiden, andererseits meinst du, die 15! sicher nicht unterscheiden zu müssen. <br /> <br />Von vorne: Ich weiß nicht, ob dein Fall für N = 15 so zutrifft, aber nehmen wir das mal an. Dann gibt es dafür <br />i. <span style="font-weight: bold">unendlich</span> viele Lösungen <br />ii. <span style="font-weight: bold">2 • 15!</span> Lösungen mod Rotationen SO(3) <br />iii. <span style="font-weight: bold">15!</span> mod Rotationen und Spiegelungen O(3) <br />iv. <span style="font-weight: bold">2</span> mod Rotationen und Permutationen SO(3) × S(5) <br />v. <span style="font-weight: bold">1</span> mod Rotationen und Spiegelungen sowie Permutationen O(3) × S(5) <br /> <br />Die Zählung ist doch nur sinnvoll, wenn man die Zählweise explizit benennt, bzw. die Symmetriegruppe, mittels derer man Äquivalenzklassen definiert also Lösungen identifiziert. Und das – die Wahl zwischen i. bis v. – ist abhängig von der jeweiligen Problemstellung. <br /> <br />Wenn du explizit Chiralität betrachten möchtest, dann verwendest du iv. Interessiert mich das nicht, nutze ich v. Meine Software dagegen folgt zunächst leider i.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>DrStupid</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Dez 2024 18:28<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Du sprichst von zwei verschiedenen Lösungen für 15 Ladungen, tatsächlich sind es aber 2 • 15! =1307674368000.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Erstens habe ich nur geschrieben, dass ich bei 15 gleichen Ladungen zwei verschiedene Konfigurationen gefunden habe. Ich habe nirgends behauptet, dass es keine weiteren geben kann. <br /> <br />Zweitens musst Du erklären, wie 2*15! verschiedene Konfigurationen zustande kommen. Da wir uns darüber einig sind, dass gleiche Ladungen nicht unterscheidbar sind, erscheint mir diese Zahl etwas zu hoch gegriffen..</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Dez 2024 17:35<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DrStupid hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Wenn Du offensichtlich unterschiedliche Lösungen nicht unterscheiden willst … </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das tust du doch auch. <br /> <br />Du sprichst von zwei verschiedenen Lösungen für 15 Ladungen, tatsächlich sind es aber 2 • 15! =1307674368000. Warum darfst du diese Lösungen identifizieren, aber ich deine zwei nicht? 😉 <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DrStupid hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">… aber das heißt nicht, dass das jeder so sehen <span style="font-weight: bold">muss</span> </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Stimmt, deswegen habe ich das auch nicht geschrieben.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>DrStupid</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Dez 2024 13:10<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Es gibt kein Problem, wir verwenden nur eine unterschiedliche Klassifizierung der selben Lösungen. <br /> <br />Du meinst, man müsse Lösungen, die durch eine Spiegelung auseinander hervorgehen, explizit unterscheiden. Mir ist das egal, ich unterscheide diese Lösungen nicht.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ziehst Du Dir dann auch mal zwei linke Schuhe an oder versuchst eine Schraube mit Rechtsgewinde in ein Linksgewinde zu drehen? Wenn Du offensichtlich unterschiedliche Lösungen nicht unterscheiden willst, dann ist das natürlich Deine Sache, aber das heißt nicht, dass das jeder so sehen muss und hier lesen auch noch andere mit.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Dez 2024 23:16<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Es gibt kein Problem, wir verwenden nur eine unterschiedliche Klassifizierung der selben Lösungen. <br /> <br />Du meinst, man müsse Lösungen, die durch eine Spiegelung auseinander hervorgehen, explizit unterscheiden. Mir ist das egal, ich unterscheide diese Lösungen nicht. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Sei X die Lösungsmenge aller Konfigurationen x für <span style="font-style: italic">globale</span> Minima des Potentials V <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?X = \{x : V(x) = \text{min} \, V \}"> <br /> <br />Dann meine ich mit "bis auf Symmetrie" immer die Äquivalenzklassen, d.h. X modulo der Symmetriegruppe <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?G = S_N \times O(n)"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ich verwende also die O(n) und spreche von einer Äquivalenzklasse, du verwendest die SO(3) und unterscheidest zwei Äquivalenzklassen. <br /> <br />Da gibt es kein richtig oder falsch, lediglich ein geeignet oder ungeeignet, je nach Fragestellung.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>DrStupid</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Dez 2024 22:45<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">In diesem Sinne hast du genau eine Lösung d.h. eine Äquivalenzklasse bzgl. der Symmetriegruppe <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?G = S_{15} \times O(3)"> <br /> <br />konstruiert.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Es sind zwei objektiv unterscheidbare Konfigurationen, die nicht identisch werden, nur weil Du sie einer gemeinsamen Kategorie zuordnest. Damit bleibt die Frage bestehen, in welchem dieser beiden Endzustände das System von einem bestimmten Anfangszustand aus landet. Oben hast Du versuchst, die Diskussion auf gleiche Ladungen zu begrenzen. Mein Beispiel zeigt, dass das Problem auch damit nicht vom Tisch ist.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Dez 2024 18:28<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DrStupid hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Vier gleiche Ladungen liefern <span style="font-style: italic">eine</span> Lösung, <span style="font-style: italic">einen</span> Tetraeder.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das lässt sich offenbar nicht auf beliebig viele Ladungen verallgemeinern. Mit 15 gleichen Ladungen habe ich eine chirale Lösung erhalten … <br /> <br />Es gibt eine spiegelbildliche Konfiguration, in der sie um den gleichen Winkel nach links verdreht sind. Beide Gleichgewichte haben die gleiche Energie, aber sie sind trotzdem eindeutg unterscheidbar und lassen sich nicht durch Rotation ineinander überführen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das alles habe ich doch gar nicht bestritten. <br /> <br />Genau deswegen steht hier <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">… sei X die Lösungsmenge … <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?X = \{x : V(x) = \text{min} \, V \}"> <br /> <br />Dann meine ich mit "bis auf Symmetrie" immer die Äquivalenzklassen, d.h. X modulo der Symmetriegruppe <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?G = S_N \times O(n)"> <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /><span style="color: red">nicht</span> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?G = S_N \times {\color{red}S}O(n)"> <br /> <br />In diesem Sinne hast du genau eine Lösung d.h. eine Äquivalenzklasse bzgl. der Symmetriegruppe <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?G = S_{15} \times O(3)"> <br /> <br />konstruiert.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>DrStupid</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Dez 2024 13:41<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Vier gleiche Ladungen liefern <span style="font-style: italic">eine</span> Lösung, <span style="font-style: italic">einen</span> Tetraeder.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das lässt sich offenbar nicht auf beliebig viele Ladungen verallgemeinern. Mit 15 gleichen Ladungen habe ich eine chirale Lösung erhalten: <br /> <br /><0.0395642604326893,0.933521178947358,-0.356332538162246> <br /><0.277773411757278,0.658962125902073,0.699007044562029> <br /><0.861373259735718,-0.20265734219585,-0.465796209802503> <br /><-0.448515899838698,-0.852955031449255,0.267022849054689> <br /><0.142132953025497,-0.727081816579792,-0.671677196027438> <br /><-0.647205967643376,-0.471103370918254,-0.599321323962579> <br /><-0.983522315290978,-0.0871169771546263,0.158412397292995> <br /><0.483218984659048,-0.864323636805311,0.139441972607676> <br /><0.868148121329735,-0.0439679997787819,0.494353774565446> <br /><-0.670916164461642,0.419049440668,-0.611775339924646> <br /><0.169913583608763,-0.436576692555847,0.883476182826807> <br /><-0.558301885971882,0.779016515266569,0.285363405261032> <br /><-0.480373186754638,0.0838410545430434,0.873047695730482> <br /><0.17074248808142,0.193992905547182,-0.966029893616718> <br /><0.775968357331064,0.617399646563492,-0.129192820405025> <br /> <br />In der folgenden Abbildung ist gut zu erkennen, wie zwei gegenüberliegende Seitenflächen nach rechts gegeneinander verdreht sind (Kanten gleicher Farbe haben die gleiche Länge). Es gibt eine spiegelbildliche Konfiguration, in der sie um den gleichen Winkel nach links verdreht sind. Beide Gleichgewichte haben die gleiche Energie, aber sie sind trotzdem eindeutg unterscheidbar und lassen sich nicht durch Rotation ineinander überführen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Dez 2024 07:34<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DrStupid hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">In vielen Fällen liefern die unterschiedlichen Potentiale sehr ähnliche optimale Polyeder P und Q, die bzgl. einer geeigneten Norm <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\|P - Q\| \le \epsilon"> <br /> <br />mit kleinem epsilon genügen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das könnte daran liegen, dass die Potentiale ähnlich sind. Nimm doch mal ein Lennard-Jones-Potential mit rm<<r. Dabei kommt sicher etwas ganz anderes heraus.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Du hast für die meisten Fälle natürlich recht. <br /> <br />Die interessante Frage ist dann: Unter welchen Bedingungen können für <span style="font-style: italic">unterschiedliche</span> Potentiale<span style="font-style: italic"> die selben Polyeder</span> folgen? <br /> <br />Ich formuliere das Extremalproblem auf der Sphäre S² zunächst als <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\forall n : \; \nabla^{S^2}_n V = 0"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\forall n : \; E^{S^2} \nabla^{\mathbb{R}^3}_n V = 0"> <br /> <br />Ersteres verwendet direkt den sphärischen Gradienten, letzteres besagt, dass für den Gradienten im 3-dim. euklidischen Raum noch eine Projektion E auf die S² erforderlich ist. <br /> <br />Dies entspricht für jedes n einem Kräftegleichgewicht <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\forall n : \; E^{S^2} \sum_m F_{mn} \, e_{mn} = 0"> <br /> <br />wobei F die Beträge der Kräfte und e die normierten Richtungsvektoren zwischen m und n bezeichnet. <br /> <br />Für Polyeder mit endlich vielen Ecken – damit endlich vielen verschiedenen paarweisen Abständen d und Beträgen von Kräften F – zerfällt dies je Punkt n in eine Summe über die Kanten (mn) von Graphen G(d) mit jeweils identischen Kantenlängen d: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sum_m F_{mn} \, e_{mn} = \sum_{d} F(d) \sum_{(mn) \in G_n(d)} e_{mn}"> <br /> <br />Die Normierung der Richtungsvektoren definiert mittels der Polyederpunkte <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?e_{mn} = f^{-1}_{mn} \, (e_m - e_n)"> <br /> <br />packe ich in eine Funktion f(d). <br /> <br />Damit folgt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sum_{d} F(d) \sum_{(mn) \in G_n(d)} e_{mn} = \sum_d F(d) \, f^{-1}(d) \sum_{(mn) \in G_n(d)} (e_m - e_n) "> <br /> <br />Mittels Projektion auf die Tangentialflächen je n erhält man <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\forall n : \; \sum_d F(d) \, f^{-1}(d) \, E_n \, s_n(d) = 0 "> <br /> <br />mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?s_n(d) = \sum_{(mn) \in G_n(d)} e_m"> <br /> <br /><span style="font-style: italic">Identische</span> Polyeder liefern zu <span style="font-style: italic">verschiedenen</span> Kräften bzw. Potentialen im Allgemeinen nur dann Kräftegleichgewicht, wenn dies <span style="font-style: italic">je Graph</span> zu Abstand d und Punkt n gilt. <br /> <br />Daraus folgt die rein geometrische und sehr allgemeine Bedingung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\forall d,n : \; E_n \, s_n(d) = 0"> <br /> <br />Wenn diese Bedingung für erfüllt ist, dann liefert das Extremalproblem für eine große Klasse verschiedener Potentiale immer den selben Polyeder als Lösung. <br /> <br />Das umfasst auch den Fall des sphärischen Gradienten auf der S² mit c = 0, sowie verschiedene Abstandsbegriffe wie z.B. den 3-dim. euklidischen Abstand oder den Abstand entlang von Großkreisen auf der S². <br /> <br /> <br />Ich schaue mir als nächstes derartige Graphen in verschiedenen Polyedern an.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Dez 2024 23:14<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>MBastieK hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Das Coulomb-Potential verhält sich dabei immer gemäß <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V_{D=1}(r) \sim r"> <br />... <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V_{D\ge 3}(r) \sim r^{-(D-2)}"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ist die untere Formel korrekt? <br />Sie erzeugt ja auch die obere für D=1; diese Redundanz erzeugt etwas Skepsis.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ich wollte nur die Spezialfälle D = 1,2 hervorheben.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>MBastieK</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Dez 2024 22:32<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Wenn ich 5 oder 7 Teilchen auf <span style="font-style: italic">einer</span> Kugel nehme, dann bekomme ich für <a href="https://www.physikerboard.de/ptopic,405300.html#405300" target="_blank" class="postlink">Kraft-Weg 1 oder Kraft-Weg 2</a> die selben Abstands-Ergebnisse. Bei 9 Teilchen gibt es gewisse Gleichheiten, aber auch Unterschiedlichkeiten. <br /> <br />Nette Grüsse</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>MBastieK</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Dez 2024 16:17<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Man hat zwei unabhängige Wahlmöglichkeiten: <br />1) die Dimension D des euklidischen Raumes, in den man <br />2) eine Sphäre der Dimension d einbettet. <br /> <br />Das Coulomb-Potential verhält sich dabei immer gemäß <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V_{D=1}(r) \sim r"> <br />... <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?V_{D\ge 3}(r) \sim r^{-(D-2)}"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ist die untere Formel korrekt? <br />Sie erzeugt ja auch die obere für D=1; diese Redundanz erzeugt etwas Skepsis. <br /> <br />Nette Grüsse</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>MBastieK</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Dez 2024 00:35<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Wenn ich 12 Teilchen auf einer Kugel-Ebene mit <a href="https://www.physikerboard.de/ptopic,405300.html#405300" target="_blank" class="postlink">Kraft-Weg 1</a> berechne, d.h. wo die Distanz und der natürlich tangentiale Kraft-Vektor der Raumkrümmungs-Geodäte auf der Kugel genutzt wird, dann erhalte ich auch ein Ikoaeder mit den typischen Werten: <br />1.05 <br />1.70 <br />2.0 <br /> <br />Aber nur auf 2 Stellen nach dem Komma. Kraft-Weg 2 ist auf 5 Stellen nach dem Komma genau. <br /> <br />Nette Grüsse</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 22. Dez 2024 17:11<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DrStupid hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">In vielen Fällen liefern die unterschiedlichen Potentiale sehr ähnliche optimale Polyeder P und Q, die bzgl. einer geeigneten Norm <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\|P - Q\| \le \epsilon"> <br /> <br />mit kleinem epsilon genügen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das könnte daran liegen, dass die Potentiale ähnlich sind. Nimm doch mal ein Lennard-Jones-Potential mit rm<<r. Dabei kommt sicher etwas ganz anderes heraus.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das kann schon sein, aber so ähnlich sind die Potentiale ~ r und ~ 1/r nicht. <br /> <br />Ich bin noch dabei, das zu implementieren – werde aber aktuell auch beim Weihnachtsbaum etc. gebraucht.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>MBastieK</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 22. Dez 2024 16:53<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Folge-Beitrag</span> <br />Wenn ich bei Ihren <a href="https://www.physikerboard.de/ptopic,405411.html#405411" target="_blank" class="postlink">geposteten</a> Anfangs-Koordinaten die Teilchen von der unteren Ebene auf die obere projeziere und die oberen auf die untere Ebene und dann ausführe, findet eine minimale Bewegung statt, aber die End-Positionen sind fast gleich. <br /> <br />Nette Grüsse</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>MBastieK</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 22. Dez 2024 16:35<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DrStupid hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Gleichgewichtspositionen in kartesischen Koordinaten:</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ihre <a href="https://www.physikerboard.de/ptopic,405411.html#405411" target="_blank" class="postlink">geposteten</a> Anfangs-Koordinaten führen bei mir keine Bewegung aus. <br /> <br />Das scheinen aber andere Koordinaten zu sein, als in Ihrem Gif. Die 4 Teilchen auf der unteren Ebene bei den geposteten Anfangs-Koordinaten scheinen fast auf dem Äquator. <br /> <br />Nette Grüsse</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>DrStupid</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 22. Dez 2024 15:41<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">In der Animation sieht man sehr gut, was bei der asymmetrischen Konfiguration auf zwei Kugeln passiert. Die Ladungen auf der äußeren Kugel hängen alle auf einer Seite fest. Um ins globale Minimum zu kommen, müsste eine davon auf die andere Seite. Aber dazwischen liegt ein Potentialwall, der von drei der inneren Ladungen gebildet wird.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>DrStupid</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 22. Dez 2024 13:42<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">In vielen Fällen liefern die unterschiedlichen Potentiale sehr ähnliche optimale Polyeder P und Q, die bzgl. einer geeigneten Norm <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\|P - Q\| \le \epsilon"> <br /> <br />mit kleinem epsilon genügen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das könnte daran liegen, dass die Potentiale ähnlich sind. Nimm doch mal ein Lennard-Jones-Potential mit rm<<r. Dabei kommt sicher etwas ganz anderes heraus.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>DrStupid</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 22. Dez 2024 13:30<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>MBastieK hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Sie könnten mir ja mal hier Ihre End-Positions-Daten in sphärisch oder kartesisch (egal) posten.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Gleichgewichtspositionen in kartesischen Koordinaten: <br /> <br />Particle 0: (0.661941572794902, -0.392351776225047, -0.638665356739241) <br />Particle 1: (0.73064352006529, 0.66178980830995, 0.167911572572237) <br />Particle 2: (-0.785972513937296, -0.181790889540631, -0.590930858743316) <br />Particle 3: (-0.514883394256225, 0.586148494091974, 0.625559775875095) <br />Particle 4: (1.2124247566711, -0.494900335594715, 1.5116546785689) <br />Particle 5: (-0.191151035607303, 1.48429786306048, -1.32677094304192) <br />Particle 6: (-1.37182531679979, -0.798801128663407, 1.21655746145969) <br />Particle 7: (0.0441792619569695, -1.97617321191853, -0.304610619165758)</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 22. Dez 2024 13:08<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">👍</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>MBastieK</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 22. Dez 2024 13:02<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hier nochmal das Ikosaeder in schick und unbugged. Die einzigen und markanten drei Abstandswerte sind bei mir auch <br />1.05146 <br />1.7013 <br />2.0 <br /> <br />Nette Grüsse</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 22. Dez 2024 12:19<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich schaue mir z.Zt. optimale Polyeder bzgl. verschiedener Potentiale an. Die Polyeder P mit Ecken p bezeichne ich als <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?P = (p_n); \; n = 1 \ldots N "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p_n \in \mathbb{R}^3"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?P \in \mathbb{R}^{3N}"> <br /> <br />Q analog. <br /> <br />Die Optimierung für zwei verschiedenen Potentiale ausgehend von derselben Ausgangskonfiguration bezeichne ich als M, N <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?P = M P_0"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?Q = N P_0"> <br /> <br />Dabei ist <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?M = \prod_{i=1}^I m^i = \prod_{i=1}^I (m_n^i) = \left( \prod_{i=1}^I m_n^i \right) = \left( M_n \right) "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?P^i = (p^i_n) \to P^i = (p_n^{i+1}) = (m_n^i p_n^i)"> <br /> <br />N analog. <br /> <br />Für die einzelnen Optimierungsschritte bzw. die gesamte Transformation eines Punktes n gilt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m_n^i \in SO(3)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?M_n = \prod_{i=1}^I m_n^i \in SO(3)"> <br /> <br />und somit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?M \in SO(3)^N"> <br /> <br />In vielen Fällen liefern die unterschiedlichen Potentiale sehr ähnliche optimale Polyeder P und Q, die bzgl. einer geeigneten Norm <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\|P - Q\| \le \epsilon"> <br /> <br />mit kleinem epsilon genügen. <br /> <br />Das gilt jedoch nicht für eine <span style="font-style: italic">Darstellung</span> am Computer, <span style="font-style: italic">bei der verschiedene Nummerierungen der Ecken unterschieden werden</span>. Die Darstellung der Polyeder P und Q unterscheiden sich ggf. um eine beliebige Permutation <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\pi \in S_N"> <br /> <br />der Ecken sowie um eine globale Rotation der Polyeder als ganzem. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Omega \in SO(3)"> <br /> <br />D.h. man müsste die Norm dadurch minimieren, dass man pi und Omega geeignet bestimmt d.h. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\|P - \Omega \pi Q \| = \| (M - \Omega \pi N) \, P_0 \| \le \epsilon"> <br /> <br />betrachtet. <br /> <br />Prinzipiell ist das möglich, praktisch scheitert es jedoch für große N und damit N! <span style="font-style: italic">Man findet pi nicht</span>. <br /> <br />Omega würde man anschließend mittels <br /> <br /><a href="https://en.m.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_Procrustes_problem" target="_blank">https://en.m.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_Procrustes_problem</a> <br /> <br />bestimmen. <br /> <br />Deswegen implementiere ich statt der o.g. Vorgehensweise für P, Q <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?M = \left( \prod_{i=1}^I m_n^i \right) "> <br /> <br />für Q zusätzlich je Schritt i eine Rotation <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?N = \left( \prod_{i=1}^I \omega^i n_n^i \right) "> <br /> <br />wobei ich – nach der unabhängigen Optimierung für P, Q mittels m und n – mittels geeignetem kleinen omega die Norm <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\|P^i - \omega^i Q^i \| \le \epsilon"> <br /> <br />minimiere, um zu verhindern, dass P und Q auseinanderlaufen. <br /> <br />Man muss sich das so vorstellen, dass je Schritt i in m, n jeweils eine beliebige kleine globale Rotation omega(P), omega(Q) enthalten sein kann, so dass die Darstellungen der Polyeder auseinanderlaufen, obwohl sie modulo dieser globalen Symmetrie tatsächlich eng beieinanderbleiben. <br /> <br />Für bestimmte Optimierungsverfahren könnte dies je Schritt auch für Permutationen gelten; ich betrachte jedoch speziell das Gradientenverfahren, da sollte dies nicht der Fall sein. <br /> <br />Mal sehen, was dabei herauskommt …</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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