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[quote="anonym332"]Danke, kannst du auch erklären, wie du im letzten Schritt vorgegangen bist, hast du hier eine Näherung angewandt? Wie kommst du auf E_gamma, kannst du dies nochmal ausführlicher erklären? (also quadrieren oder?) und dann?[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 15. Dez 2024 20:38<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich hatte das mal notiert <br /> <br />Die Darstellung von Lorentz-Transformationen zwischen verschiedenen Systemen (lab., c.o.m., Breit ...) mittels der Impulse ist manchmal ganz nützlich; man muss nicht den Umweg über die Geschwindigkeiten gehen. Mittels der Rapidität ist das dann auch recht schnell hergeleitet. <br /> <br />Übrigens ist in diesem Zusammenhang noch das hier nützlich: <br /> <br /><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Dalitz_plot" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/Dalitz_plot</a></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 15. Dez 2024 17:37<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">@TomS: Nachträglich vielen Dank! Ich glaube, ich konnte die Rechnungen sogar einigermassen nachvollziehen (den letzten Beitrag muss ich mir nochmals anschauen). <br /> <br />Länger habe ich noch daran herumüberlegt, wie Du hier <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">* um vom c.o.m.- ins lab-frame von N zu transformieren, verwendet man ausgehend von <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p^\mu = (\sqrt{M^2 + k^2}, -k)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k^\mu = k \, (1, 1)"> <br /> <br />die Transformation <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?{\Lambda^\mu}_\nu = \frac{1}{M} \begin{pmatrix} \sqrt{M^2 + k^2} & k \\ k & \sqrt{M^2 + k^2} \end{pmatrix} "> <br /> <br />mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?{\Lambda^\mu}_\nu \, k^\nu = \frac{k}{M}(\sqrt{M^2 + k^2} + k) \, (1,1) "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?{\Lambda^\mu}_\nu \, p^\nu = (M, 0)"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />so schnell auf diese Transformation gekommen bist. <br /> <br />Ich meine - man weiss, dass gelten muss <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?{\Lambda^\mu}_\nu \, p^\nu =\begin{pmatrix}M\\0\end{pmatrix}"> <br /> <br />und allgemein für eine Lorentztransformation <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\eta_{\mu\nu}{\Lambda^\mu}_\rho{\Lambda^\nu}_\sigma=\eta_{\rho\sigma}"> <br /> <br />Beides ist mit der angegebenen Transformation erfüllt. Auch sehe ich jetzt, dass es zusammenpasst damit, dass man einen Boost schreiben kann als <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?{\Lambda^\mu}_\nu=\begin{pmatrix}\cosh\lambda &-\sinh\lambda\\-\sinh\lambda &\cosh\lambda\end{pmatrix}, \quad {\left(\Lambda^{-1}\right)^\mu}_\nu=\begin{pmatrix}\cosh\lambda & \sinh\lambda\\ \sinh\lambda &\cosh\lambda\end{pmatrix}"> <br /> <br />mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\cosh=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}, \quad \sinh\lambda=\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}"> <br /> <br />Trotzdem staune ich (wie an vielen anderen Orten auch), wie Du so schnell darauf kommst. Oder gibt es hier einen Trick, dass man sieht, dass die Transformationsmatrix diese Form haben muss?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Dez 2024 17:06<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Wichtig: <span style="font-style: italic">eine</span> mögliche Lösung, da <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?s = P_\mu P^\mu"> <br /> <br />ja eine Lorentz-Invariante ist. <br /> <br />D.h. zu <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p_a^\mu = (m_a, 0)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?P^\mu = \sum_a p_a^\mu "> <br /> <br />liefert <span style="font-style: italic">jedes</span> transformierte <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\bar{P}^\mu = {\Lambda^\mu}_\nu P^\nu"> <br /> <br />das selbe s jedoch größere Energie E. <br /> <br />Man definiert letztere bzgl. des oben eingeführten Schwerpunkts- = gemeinsamen Ruhesystem mit Vierergeschwindigkeit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u^\mu = (1,0)"> <br /> <br />mittels <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E_u(P) = u_\mu P^\mu = \sum_a m_a"> <br /> <br />Damit gilt in anderen durch Lorentz-Boost definierten Systemen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\bar{u}_\mu = u_\nu {\Lambda^\nu}_\mu "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E_{\bar{u}}(P) = \bar{u}_\mu P^\mu = u_\nu {\Lambda^\nu}_\mu P^\mu = \gamma \sum_a m_a "> <br /> <br />mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E_{\bar{u}}(P) > E_u(P)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?s_{\bar{u}}(P) = s_u(P)"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Dez 2024 12:36<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Anbei nochmal eine Überlegung zum Quadrat der invarianten Masse eines beliebigen Zustandes mit a = 1...N auslaufenden Teilchen: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?P^\mu = \sum_a p_a^\mu"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?s = P_\mu P^\mu = \sum_a {p_a}_\mu p_a^\mu + 2 \sum_{a \neq b} {p_a}_\mu p_b^\mu"> <br /> <br />Ausgedrückt durch die Ruhemassen m, Dreierimpulse q sowie Winkel theta zwischen den auslaufenden Teilchen folgt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?s = \sum_a m_a^2 + 2 \sum_{a \neq b}\left( \sqrt{(m_a^2 + q_a^2)(m_b^2 + q_b^2)} - \sqrt{q_a^2 q_b^2} \cos\theta_{ab} \right)"> <br /> <br />s wird bei festgehaltenen q's minimiert, wenn der zweite Term maximiert wird, <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\cos\theta_{ab} = 1, \quad \theta_{ab} = 0 "> <br /> <br />d.h. kollinear auslaufenden Teilchen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?s = \sum_a m_a^2 + 2 \sum_{a \neq b}\left( \sqrt{(m_a^2 + q_a^2)(m_b^2 + q_b^2)} - \sqrt{q_a^2 q_b^2} \right)"> <br /> <br />Ein Extremum von s im q-Raum liegt vor, wenn <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\nabla_{\!q} s =0"> <br /> <br />Dies ist der Fall, wenn alle q's verschwinden, da jeder Ableitungsterm um q = 0 linear in q ist. <br /> <br />(Die zweite Ableitung wäre noch zu betrachten) <br /> <br />Damit ist <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?s = \sum_a m_a^2 + 2 \sum_{a \neq b} m_a m_b"> <br /> <br />mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p^\mu_a = (m_a, 0)"> <br /> <br />eine mögliche Lösung, die das Schwerpunktsystem mit darin vollständig verschwindenden Einzelimpulsen auszeichnet.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Dez 2024 17:37<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">@TomS: Vielen Dank! Ja, so stimmt es exakt. Habe zuerst auch versucht, über die invariante Masse im Schwerpunktsystem zu rechnen, aber habe dann etwas falsch überlegt. <br /> <br />Rein intuitiv finde ich übrigens noch etwas seltsam, dass sich bei der Schwellenenergie nach der Reaktion alle Teilchen zusammen bewegen. Überlegt man im Laborsystem, hätte ich gefühlsmässig gesagt, es wäre energetisch am günstigsten, wenn der schwere Kern den ganzen Impuls des Photons aufnimmt, denn im Laborsystem wäre die kinetische Energie dann doch am geringsten(?). Anderseits ist mir klar, dass das im Schwerpunktsystem nicht so ist. Irgendwo mache ich einen Überlegungsfehler... <br /> <br />@anonym332: Nein, meine obige Rechnung ging von der falschen Annahme aus, dass bei der Schwellenenergie der Kern den gesamten Impuls des Photons aufnehme. Man erhält so auch einen leicht höheren Wert für die Schwellenenergie. <br /> <br />PS: Der obige Überlegungsfehler liegt wahrscheinlich einfach darin, dass es klassisch gedacht war. Mit der rel. Gesamtenergie bzw. der rel. kin. Energie sieht es anders aus.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>anonym332</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Dez 2024 17:28<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Also ich habe Myons Weg nochmal angeschaut, und er erscheint mir plausibel, bis auf die Näherung, ob diese so gemacht werden kann?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>anonym332</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Dez 2024 16:37<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Aber Myons Rechnung ist auch möglich oder?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Dez 2024 16:25<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich hab' ein bisschen rumgerechnet. Es gibt m.E. einen essentiellen Schritt, der z.B. auf der deutschen Wikipedia nicht erklärt wird; die Argumentation dort ist falsch, das Ergebnis jedoch richtig. <br /> <br /> <br />Ich betrachte <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\gamma + N \to e^- + e^+ + N^\prime "> <br /> <br />wobei N den Nukleus mit Masse M bezeichnet. <br /> <br />k bezeichne den 4er-Impuls des Photons, p bzw. p' den des Nukleus, q den der erzeugten Teilchen (hier: Elektron und Positron). <br /> <br />Ich betrachte außerdem die invariante Masse des Anfangs- und des Endzustandes. Für ein beliebiges System mit Gesamtenergie E und Gesamtimpuls P ist deren Quadrat s definiert als <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?s = E^2 - P^2"> <br /> <br />Zuletzt setze ich im folgenden c = 1. <br /> <br />Außerdem vereinfache ist die Betrachtung dadurch, dass ich den Streuwinkel des auslaufenden Nukleus Null setze; alle drei Teilchen sind kollinear, d.h. das Problem wird auf eine Dimension reduziert. <br /> <br /> <br />Ich starte im <span style="font-weight: bold">Schwerpunktsystem</span>, d.h. der Gesamtimpuls ist vor und nach der Reaktion Null. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k^\mu = (k,k)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p^\mu = (\sqrt{M^2 + p^2}, -k)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?q^\mu = (\sqrt{m^2 + q^2}, q)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?{p^\prime}^\mu = (\sqrt{M^2 + (2q)^2}, -2q)"> <br /> <br />Dann gilt für die invariante Masse <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?s = k_\mu k^\mu + p_\mu p^\mu + 2 k_\mu p^\mu = M^2 + 2 k_\mu p^\mu = M^2 + 2k \left( \sqrt{M^2 + k^2} + k \right)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?s^\prime = (2q_\mu)(2q^\mu) + {p^\prime}_\mu {p^\prime}^\mu + 2 (2q_\mu){p^\prime}^\mu = 4m^2 + M^2 + 2 (2q_\mu){p^\prime}^\mu = 4m^2 + M^2 + 4 \left(\sqrt{m^2 + q^2} \sqrt{M^2 + (2q)^2} + 2q^2 \right)"> <br /> <br />Der Nukleus trägt aufgrund der Impulserhaltung den räumlichen Impuls -2q. Die beiden erzeugten Teilchen tragen identischen Impuls, daher 2q. <br /> <br />Die invariante Masse des Ausgangszustandes ist eine streng monotone Funktion von q². Damit ist <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\text{min} \, s(q^2) = s^\prime(q^2 = 0) = 4m^2 + M^2 + 4 mM = (2m + M)^2 "> <br /> <br />Dies entspricht einem System mit der invarianten Masse 2m+M, d.h. alle drei Teilchen haben verschwindenden Impuls und damit kinetische Energie, sie befinden sich also in Ruhe. Dies ist die Schwelle dieser Reaktion. <br /> <br />Man könnte nun ausgehend von diesem Zwischenergebnis die Schwellenenergie <span style="font-weight: bold">im Schwerpunksystem</span> berechnen und <span style="font-weight: bold">mittels Lorentz-Transformation</span>* ins Laborsystem = ins Ruhesystem des Nukleus transformieren. <br /> <br /> <br />Ich verwende im folgenden jedoch direkt das <span style="font-weight: bold">Laborsystem</span>. Dabei spare ich mir eine entsprechende Kennzeichnung der Größen. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k^\mu = (k,k)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p^\mu = (M, 0)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?q^\mu = (\sqrt{m^2 + q^2}, q)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?{p^\prime}^\mu = (\sqrt{M^2 + (k-2q)^2}, (k-2q))"> <br /> <br />Der Ausdruck für s' ist etwas kompliziert. <br /> <br />An der Stelle behauptet die Wikipedia, man könne eine Näherung durchführen, in der der Impuls des Nukleus = k - 2q = 0 verschwindet. Diese Näherung wird aber weder gerechtfertigt, noch ist sie notwendig. Verwendet man sie, so folgt zunächst <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?s^\prime(q^2) = 4m^2 + M^2 + 4 \sqrt{m^2 + q^2} M "> <br /> <br />Dies ist wieder eine streng monotone Funktion von q², also setzt man q² = 0 und erhält korrekterweise <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?s^\prime(q^2 = 0) = 4m^2 + M^2 + 4 mM = (2m + M)^2 "> <br /> <br />Betrachtet man s' jedoch allgemein, so gilt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?s^\prime(q^2) = 4m^2 + M^2 + 4 \left( \sqrt{m^2 + q^2} \sqrt{M^2 + (k-2q)^2} - q(k-2q) \right) "> <br /> <br />Diese Funktion ist nicht offensichtlich streng monoton in q; man müsste also zunächst dasjenige q bestimmen, das diesen Ausdruck minimiert. <br /> <br />Dies ist jedoch nicht notwendig, denn wir kennen s' bereits von oben; da nämlich s = s' eine <span style="font-weight: bold">Lorentz-invariante Größe</span> ist, dürfen wir den oben im Schwerpunktsystem berechneten minimalen Wert auch im Laborsystem verwenden. <br /> <br />Für die invariante Messe des einlaufenden Zustandes erhalten wir <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?s = k_\mu k^\mu + p_\mu p^\mu + 2 k_\mu p^\mu = M^2 + 2 k_\mu p^\mu = M^2 + 2kM "> <br /> <br />woraus für s = s' die Gleichung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?M^2 + 2kM = 4m^2 + M^2 + 4 mM "> <br /> <br />folgt. <br /> <br />Die Lösung lautet <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\text{min} \, k(q^2) = k(0) = 2m \left( 1 + \frac{m}{M} \right)"> <br /> <br />Diese Gleichung ist exakt, was so aus der Wikipedia nicht ersichtlich wird (ich müsste streng genommen noch zeigen, dass nicht kollineare Impulse zum selben Ergebnis führen). <br /> <br />Wäre nett, wenn jemand diese Argumentation überprüfen könnte. <br /> <br /> <br />* um vom c.o.m.- ins lab-frame von N zu transformieren, verwendet man ausgehend von <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p^\mu = (\sqrt{M^2 + k^2}, -k)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k^\mu = k \, (1, 1)"> <br /> <br />die Transformation <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?{\Lambda^\mu}_\nu = \frac{1}{M} \begin{pmatrix} \sqrt{M^2 + k^2} & k \\ k & \sqrt{M^2 + k^2} \end{pmatrix} "> <br /> <br />mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?{\Lambda^\mu}_\nu \, k^\nu = \frac{k}{M}(\sqrt{M^2 + k^2} + k) \, (1,1) "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?{\Lambda^\mu}_\nu \, p^\nu = (M, 0)"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Dez 2024 14:36<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Im ersten Beitrag hätte p_M' statt p_M stehen sollen, hab das noch korrigiert. Im letzten Beitrag wurde dann p_gamma=p_M' (Impulserhaltung) verwendet.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>anonym332</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Dez 2024 14:27<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Du hast beim 1.Mal unter der Wurzel p_M geschrieben und beim zweiten Mal p_gamma, was ist richtig?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>anonym332</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Dez 2024 14:21<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Es steht, dass der Rückstoßpartner vor und nach dem Paarbildungsprozess in Ruhe sein soll, also keine Rückstoßenergie berücksichtigen. Also die minimale Energie für Paarproduktion möglich in Abhängigkeit von M soll gegeben werden.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Dez 2024 14:11<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Aus der Impuls- und Energieerhaltung folgt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p_\gamma c+Mc^2=2m_\mathrm{e}c^2+\sqrt{(Mc^2)^2+p_\gamma^2c^2}"> <br /> <br />Die Wurzel auf eine Seite nehmen und quadrieren. Dann zuerst auflösen und erst am Schluss eine Näherung machen: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p_\gamma c=\frac{4Mm_\mathrm{e}c^4-4m_\mathrm{e}^2c^4}{2Mc^2-4m_\mathrm{e}c^2}=\frac{4Mm_\mathrm{e}c^4-8m_\mathrm{e}^2c^4+4m_\mathrm{e}^2c^4}{2Mc^2-4m_\mathrm{e}c^2}\approx 2m_\mathrm{e}c^2+\frac{2m_\mathrm{e}^2c^2}{M}"> <br /> <br />Bin allerdings nicht 100% sicher, ob wirklich so gerechnet werden soll.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>anonym332</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Dez 2024 11:28<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Danke, kannst du auch erklären, wie du im letzten Schritt vorgegangen bist, hast du hier eine Näherung angewandt? Wie kommst du auf E_gamma, kannst du dies nochmal ausführlicher erklären? (also quadrieren oder?) und dann?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Dez 2024 11:08<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich bin hier nicht sicher. Doch ich sehe nicht, wie man von Beginn weg die kinetische Energie des "Stosspartners" vernachlässigen soll und dann doch auf die zu zeigende Schwellenenergie kommt. <br /> <br />Nimmt man an, dass das Elektron und das Positron nach der Paarbildung im Laborsystem ruhen und der Stosspartner, die Masse M, den ganzen Impuls des Photons aufnimmt, gilt für die Impuls- und Energieerhaltung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p_\gamma=p_\mathrm{M}'"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p_\gamma c+Mc^2=2m_\mathrm{e}c^2+\sqrt{(Mc^2)^2+p_\mathrm{M}'^2c^2}"> <br /> <br />Das führt auf <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E_\gamma\approx 2m_\mathrm{e}c^2\left(1+\frac{m_\mathrm{e}}{M}\right)"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>anonym332</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Dez 2024 07:38<span class="gen"> </span> Titel: Paarbildung Rückstoßpartner Schwellenergie</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Es braucht einen Rückstoßpartner bei der Paarbildung, um E- und p-Erhaltung zu ermöglichen. Wie lautet die Schwellenenergie, sie ist größer als 2x m_e. Sei M die Masse des Partners, die Rückstoßenergie wird vernachlässigt (also Partner vor und danach in Ruhe)<br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />Aufstellen der Energieerhaltung und Impulserhaltung, bei der Energieerhaltung tritt kein Term bzgl. des Rückstoßpartners auf, weil die Rückstoßenergie vernachlässigt wird. Es müsste also über die Impulserhaltung gehen. Oder muss man irgendwie einsetzen. Laut Wikipedia müsste <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? E_{\gamma,min}=2m_e\left(1+\frac{m_e}{M} \right)"> rauskommen. Also eine Korrektur von 2x m_ec^2.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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