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[quote="Mispel"]Vielen lieben Dank euch beiden für die (zahlreichen) Antworten! Ich glaube, ich habe es jetzt raus. Bin mal gespannt, was bei der Korrektur rumkommt. An der Aufgabe werde ich mich definitiv auch noch versuchen, ich denke, jetzt hatte ich auch das dazu notwendige Werkzeug in der Vorlesung. Man muss nur dazu kommen :D Eventuell melde ich mich dann nochmal mit meinen Lösungen, wenn ich die Korrektur zurück habe.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>RomanGa</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 19. Nov 2024 21:41<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo Mispel. Ich habe alle deine Fragen beantwortet. Du aber meine nicht. Dann steige ich aus dieser Diskussion aus, nicht wissend, ob dir jetzt alles klar ist. <br /> <br />Es wäre sehr schön, wenn ein Fragesteller mit „Danke, alles klar“ oder mit weiteren Fragen zeigen könnte, was los ist.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Nov 2024 15:48<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Für ein Vektorprodukt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{u}=\vec{v}\times\vec{w}"> <br /> <br />gilt: <br /> <br />-u steht senkrecht auf v und auf w. <br />-u=0, wenn v und w parallel sind. <br /> <br />Für den vorliegenden Fall bedeutet das: Terme der Form <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a\vec{e}_r\times b\vec{e}_r"> <br /> <br />verschwinden. Terme der Form <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a\vec{e}_r\times b\vec{e}_\phi\quad \text{oder}\quad a\vec{e}_r\times b\vec{e}_\theta"> <br /> <br />stehen senkrecht auf <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{e}_r">, tragen also nicht zum elektrischen Fluss bei. Die erwähnten Terme mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?dr/d\theta"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?dr/d\phi"> müssen deshalb nicht weiter berücksichtigt werden.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Mispel</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Nov 2024 15:24<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Nochmals vielen lieben Dank für all die Hilfe, diese Aufgabe verwirrt mich wirklich sehr... <br /> <br />Das mit dem variablen r ergibt natürlich Sinn, da das Volumen beliebig ist, muss der Abstand vom Ursprung auch je nach Winkel beliebig sein, kann ja schließlich auch eine unebene Kartoffel sein, die wir uns anschauen. <br /> <br />Die Rechnung bereitet mir nur noch immer Kopfschmerzen: <br /> <br />Also ignorieren wir <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \frac{\partial {r(\theta, \phi)}}{\partial \theta} "> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \frac{\partial {r(\theta, \phi)}}{\partial \phi} ">, weil sie mal <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{e}_r (\theta, \phi)"> genommen werden und das dann keine radial nach außen zeigende Komponente von dF ist? Aber ist das denn nicht auch ein Beitrag, der radial nach außen zeigt, <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{e}_r (\theta, \phi)"> ist doch schließlich der Einheitsvektor in r-Richtung? <br /> <br />Gibt es da eine Rechenregel für <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(a\cdot \vec{b} + c \cdot \vec{d}) \times (e \cdot \vec{b} + c \cdot \vec{f})">, sodass mir der Rechenschritt mit dem Verschwinden von a und e klarer wird? Ich weiß gerade gar nicht, wie das mit Summen bei dem Kreuzprodukt ist, vielleicht fehlt mir das einfach? Ich könnte mir vorstellen, dass es damit zusammenhängt, dass das Kreuzprodukt von zwei parallelen Vektoren = 0 ist und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a\cdot \vec{b} "> sowie <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?e \cdot \vec{b}"> sind ja parallel zueinander. <br /> <br />Stimmt, dass ich <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}"> einsetze, habe ich vergessen explizit zu erwähnen!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>RomanGa</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Nov 2024 13:08<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo Mispel. Du hattest drei Fragen gestellt: <br /> <br />Warum ist r abhängig von Theta und Phi? Sollte r nicht einfach die y-Koordinate sein? <br />Müsste dF nicht ein Vektor sein? <br />Woher kommt das r^2(Theta, Phi)? <br /> <br />Ist dir mit der Antwort von Myon geholfen? Oder möchtest du zu deiner Fragen Nr. 1 ein Bild, und zu Frage Nr. 3 eine dreiseitige handschriftliche kleinschrittige Lösung haben? <br /> <br />Übrigens ist deine letzte Rechnung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? kq \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \! \frac{1}{r^2}r^2sin(\theta) \, \dd \theta d\phi = \frac{q}{\epsilon_0}"> <br /> <br />nur korrekt, wenn man das korrekte k kennt. Oder, anders herum, man kann daraus k bestimmen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Nov 2024 11:24<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Hier beginnt wohl meine Verwirrung: Warum bzw. wie ist r abhängig von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\theta "> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\phi">?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Es soll der Rand eines beliebigen konvexen Volumens um den Ursprung parametrisiert werden, nicht eine Kugeloberfläche mit konstantem Radius. r=r(theta, phi) ist deshalb eine Funktion von theta und phi, die auf ihrem Definitionsbereich frei wählbar sind; sie wird durch das jeweilige Volumen bestimmt. Die Abbildung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(\phi, \theta)\to \begin{pmatrix}r(\phi,\theta)\sin\theta\cos\theta\\r(\phi,\theta)\sin\theta\sin\phi\\r(\phi,\theta)\cos\theta\end{pmatrix}, \quad \theta \in [0,\pi], \,\phi \in [0,2\pi)"> <br /> <br />parametrisiert die Oberfläche. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?dF = \pm \frac{\partial}{\partial \theta} (r(\theta, \phi) \cdot \vec{e}_r (\theta, \phi))d\theta \times \frac{\partial}{\partial \phi} (r(\theta, \phi) \cdot \vec{e}_r (\theta, \phi))d\phi">, wobei hier doch dF eigentlich ein Vektor sein müsste? Wahrscheinlich wurde der Pfeil einfach nur vergessen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ja, dF ist ein Vektor, der normal auf der Oberfläche steht und nach aussen zeigt. Die beiden Faktoren im Vektorprodukt liegen tangential zur Oberfläche, das Vektorprodukt somit normal zur Oberfläche. <br />Entscheidend ist nun: relevant für den Fluss durch die Oberfläche sind nur Komponenten von dF, die radial nach aussen zeigen. Deshalb ist nur das Produkt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?d\vec{F}= \left(r(\theta, \phi) \cdot \frac{\partial {\vec{e}_r (\theta, \phi)}}{\partial \theta}\right)\times \left(r(\theta, \phi) \cdot \frac{\partial {\vec{e}_r (\theta, \phi)}}{\partial \phi}\right)\,d\theta\,d\phi=r^2\sin\theta \cdot\vec{e}_r\cdot d\theta\,d\phi"> <br /> <br />für den Fluss relevant. Alle anderen Terme liefern keine Beiträge in radialer Richtung oder verschwinden. Von hier stammt auch der Faktor r^2*sin(theta).</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Mispel</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Nov 2024 22:50<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Wir haben die Lösung besprochen, allerdings blieben mir da ein paar Fragen bezüglich der Rechnung... <br /> <br />Das Ziel der Aufgabe war es, das Gaußsche Gesetz zu verifizieren. Wir sollten also das Integral mittels geeigneter Parametrisierung lösen. <br /> <br />Wir beginnen also mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\oint_{\partial{V}} \! \vec{E}(\vec{r})\cdot \, \dd \vec{F} = \oint_{\partial{V}} \! \frac{kq}{r^2}\vec{e}_r \cdot \, \dd \vec{F}">. <br /> <br />Nun parametrisieren wir die Oberfläche in Kugelkoordinaten mit den Variablen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\theta, \phi; \, r(\theta, \phi); \, \vec{r} = r(\theta, \phi) \cdot \vec{e}_r (\theta, \phi)"> Hier beginnt wohl meine Verwirrung: Warum bzw. wie ist r abhängig von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\theta "> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\phi">? Sollte in Kugelkoordinaten r nicht einfach nur die y-Koordinate von unserem Vektor <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{r}"> sein? Später in der Formel berechnen wir nämlich <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \frac{\partial r}{\partial \theta} "> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \frac{\partial r}{\partial \phi} "> Aber eben von r und nicht von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{r}">. Hier soll man doch nicht wieder auf <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{r} = \begin{pmatrix} rsin(\theta)cos(\phi) \\ rsin(\theta)sin(\phi) \\ rcos(\theta) \end{pmatrix}"> zurückgreifen. Man kann ja nicht schreiben <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{r} = \begin{pmatrix} rsin(\theta)cos(\phi) \\ rsin(\theta)sin(\phi) \\ rcos(\theta) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \\ \theta \\ \phi \end{pmatrix}">, dann wäre <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r = rsin(\theta)cos(\phi)">, was nicht stimmt. <br /> <br /> <br /> <br />Die Rechnung geht dann jedenfalls mit eben jener Parametrisierung wie folgt weiter: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?dF = \pm \frac{\partial}{\partial \theta} (r(\theta, \phi) \cdot \vec{e}_r (\theta, \phi))d\theta \times \frac{\partial }{\partial \phi} (r(\theta, \phi) \cdot \vec{e}_r (\theta, \phi))d\phi">, wobei hier doch dF eigentlich ein Vektor sein müsste? Wahrscheinlich wurde der Pfeil einfach nur vergessen. <br />Dann wird die Produktregel angewandt: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />dF = \pm (\frac{\partial {r(\theta, \phi)}}{\partial \theta} \cdot \vec{e}_r (\theta, \phi) + r(\theta, \phi) \cdot \frac{\partial {\vec{e}_r (\theta, \phi)}}{\partial \theta}) <br />\times <br /> <br />(\frac{\partial {r(\theta, \phi)}}{\partial \phi} \cdot \vec{e}_r (\theta, \phi) + r(\theta, \phi) \cdot \frac{\partial {\vec{e}_r (\theta, \phi)}}{\partial \phi}) <br /> <br />d\theta d\phi <br />"> <br /> <br />Die Ableitung von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial {\vec{e}_r (\theta, \phi)}}{\partial \phi} = sin(\theta)\vec{e}_{\phi} "> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial {\vec{e}_r (\theta, \phi)}}{\partial \theta} = \vec{e}_{\theta} ">. Das kann ich nachvollziehen. <br />Aber dann wird die Rechnung wie folgt weitergeführt und den Schritt von oben hierhin verstehe ich nicht, ich denke dass das dann an den Ableitungen von r liegt. Auf der linken Seite wurde nun doch endlich die Richtung von dF berücksichtigt, aber woher kommt das <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r^2(\theta, \phi)">? Ist r einfach gar nicht abhängig von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\theta"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\phi">, weswegen es einfach quadriert wird? Aber wozu dann der Aufriss, es immer extra als Abhängigkeit zu schreiben. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \pm \vec{e}_r \cdot d\vec{F} = \pm r^2(\theta, \phi) \vec{e}_r \cdot (\vec{e}_{\theta} \times \vec{e}_{\phi}) sin(\theta) d\theta d\phi "> <br /> <br />Was im nächsten Schritt passiert, verstehe ich wieder. <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \vec{e}_r \cdot d\vec{F} = r^2(\theta, \phi) sin(\theta) d\theta d\phi">. Hier wird dann klar, dass das positive Vorzeichen zu wählen ist. <br /> <br />Somit ergibt sich dann am Ende das erwartete <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Phi_{el} = \oint_{\partial{V}} \! \vec{E}(\vec{r})\cdot \, \dd \vec{F} = \oint_{\partial{V}} \! \frac{kq}{r^2}\vec{e}_r \cdot \, \dd \vec{F} = kq \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \! \frac{1}{r^2}r^2sin(\theta) \, \dd \theta d\phi = \frac{q}{\epsilon_0}">. <br /> <br />Sorry, das ist doch mehr geworden, als ich beabsichtigt habe. Ich hoffe, man versteht es dennoch einigermaßen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>RomanGa</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 31. Okt 2024 18:19<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo Mispel. Bitte sehr. - Ja, schreibe uns sehr gerne, was die von dir in der Aufgabe erwarten! Mein Tipp ist, wie auch dein Tipp, Q/epsilon. <br /> <br />Allerdings hatten wir nicht den originalen Wortlaut des Aufgabentextes zur Verfügung.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Mispel</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 31. Okt 2024 17:34<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Vielen lieben Dank euch beiden für die (zahlreichen) Antworten! <br /> <br />Ich glaube, ich habe es jetzt raus. Bin mal gespannt, was bei der Korrektur rumkommt. <br />An der Aufgabe werde ich mich definitiv auch noch versuchen, ich denke, jetzt hatte ich auch das dazu notwendige Werkzeug in der Vorlesung. Man muss nur dazu kommen <img src="images/smiles/biglaugh.gif" alt="Big Laugh" border="0" /> <br /> <br />Eventuell melde ich mich dann nochmal mit meinen Lösungen, wenn ich die Korrektur zurück habe.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>RomanGa</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Okt 2024 11:12<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo Mispel. <br /> <br />Zu deiner ersten Frage: Ob die Ladung im Inneren des Volumens liegt oder außerhalb. Wenn sie außerhalb liegen würde, wäre die Aufgabe trivial, das Ergebnis wäre null. <br /> <br />Zu deiner zweiten Frage: Ob … = q/epsilon gilt. Ja. <br /> <br />Zu deiner dritten Frage: Was die Aufgabe von dir will: Vielleicht will die Aufgabe prüfen, ob du die Maxwell-Gleichung div E = rho/epsilon (in differentieller Form) bzw. Integral E dA = q/epsilon (in Integralform) kennst. <br /> <br />Zu deiner vierten Frage: Ob das Ergebnis q / epsilon ist. Ja. <br /> <br />Zu deiner fünften Frage: Wie man das Gesetz Integral E dA = q/epsilon herleitet: Siehe unten. <br /> <br />Zu deiner sechsten Frage: Wie kommt es, dass hier zwei verschiedene Ergebnisse herauskommen. Dazu müsste ich deine andere Aufgabe (die mit der Kugel) kennen und den Lösungsweg sehen. <br /> <br />Zu deiner siebten Frage: Ob man die Gestalt des Volumens kennen muss: Nein. Um die Formel Integral E dA = q/epsilon anzuwenden, muss man nur die Gesamtladung im Volumen kennen. Man muss keine Kenntnis über die Form des Volumens haben. <br /> <br />Zu deiner achten Frage: Ob es eine allgemeingültige Weise gibt, den Fluss durch die Oberfläche eines Volumens zu berechnen, wenn man die eingeschlossene Ladung kennt: Ja. Man verwendet immer Integral E dA = q/epsilon. <br /> <br />Allgemein: Der Dreh- und Angelpunkt in der Elektrotechnik sind die Maxwell-Gleichungen. Diese sind nicht beweisbar. Wir verwenden <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? div \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon} \qquad (I) "> <br /> <br />Daraus lässt sich beweisen (Übung für dich): <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \iint_{\partial V} \vec{E} d \vec{A} = \iiint_V \frac{\rho}{\epsilon} dV = \frac{Q}{\epsilon} \qquad (II) "> <br /> <br />wobei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \partial V "> bedeutet: Rand von V. <br /> <br />Daraus lässt sich das E-Feld im Abstand r von einer Punktladung Q berechnen. Übung für dich. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? E = ... \qquad (III) "> <br /> <br />Wenn du fertig bist, dann siehst du, was das k in deiner allerersten Formel ist. Und deine 4 pi Frage (Frage Nummer 6) wird dann evtl. auch geklärt sein. <br /> <br />Wie du siehst, lassen sich in der Elektrotechnik viele Formeln aus den vier Maxwell-Gleichungen ableiten. Diese sind die Basis von allem.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Okt 2024 14:42<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Mispel hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Aber man bekommt ja für <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?div(\vec{E}(\vec{r})) = 0">. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das gilt aber nicht für den Ort der Punktladung selbst. Für eine Punktladung im Ursprung gilt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mathrm{div}\vec{E}=\frac{\rho(\vec{r})}{\varepsilon_0}=\frac{q\delta(\vec{r})}{\varepsilon_0}"> <br /> <br />Liegt die Ladung im Volumen, ergibt das Volumenintegral q/epsilon0.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Mispel</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 26. Okt 2024 14:17<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Oh, dankeschön für die schnelle Antwort! <br />Also ist der elektrische Fluss durch die Oberfläche einfach <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{q}{\epsilon_0} ">? <br />Das kann doch nicht die ganze Aufgabe sein? Wie würde man denn das Gaußsche Gesetz herleiten, um zu zeigen, dass die Gleichung hier gilt? <br /> <br />Wir hatten den Zusammenhang <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\oint_A \! \vec{E}(\vec{r})\cdot \, \dd \vec{A} = \int_V \! div(\vec{E}(\vec{r}))\cdot \, \dd^3 \vec{r} "> <br /> <br />Aber man bekommt ja für <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?div(\vec{E}(\vec{r})) = 0">. Uns wurde gesagt, dass dies ein Definitionsproblem der Divergenz sei: Die Ladung liegt im Ursprung des Koordinatensystems und deswegen gilt diese Gleichung hier nicht. Aber wie würde man denn dann dennoch auf <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\oint_A \! \vec{E}(\vec{r})\cdot \, \dd \vec{A} = \frac{q}{\epsilon_0} "> kommen? <br /> <br />Wir hatten an anderer Stelle dieselbe Aufgabe, aber sollten den Fluss durch eine Kugeloberfläche mit Radius R berechnen. Dabei kamen wir auf das Ergebnis <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?4\pi">. Woran liegt es, dass hier zwei verschiedene Ergebnisse herauskommen? Das muss dann ja am Volumen liegen: aber wenn das Ergebnis davon abhängig ist, dann kann man den Fluss doch nicht ausrechnen, ohne das Volumen zu kennen? <br /> <br />Sorry, das sind vielleicht etwas viele Fragen, ich bin nur sehr verwirrt. Es wirkt so, als würde jede Aufgabe anders berechnet werden müssen. Aber es muss doch eine allgemeingültige Weise geben, auf die man es berechnen kann?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Okt 2024 19:45<span class="gen"> </span> Titel: Re: Fluss des elektrischen Feldes einer Punktladung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Mispel hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Müsste nicht, sofern die Punktladung im Inneren des Volumens ist, der Gaußsche Satz gelten und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\oint_A \! \vec{E}(\vec{r})\cdot \, \dd \vec{A} = \frac{q_{eingeschlossen}}{\epsilon_0}"> sein, wobei hier <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?q_{eingeschlossen}"> einfach q wäre?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Doch, genau. Aufgrund des gegebenen E-Felds ist klar, dass sich die Ladung im Ursprung und damit innerhalb der geschlossenen Fläche befindet. <br /> <br />PS: Genauer wäre "Gausssches Gesetz".</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Mispel</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 25. Okt 2024 18:26<span class="gen"> </span> Titel: Fluss des elektrischen Feldes einer Punktladung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span> <br />Hallo, <br /> <br />wir sollen den Fluss des elektrischen Feldes einer Punktladung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{E}(\vec{r}) = kq \cdot \frac{\vec(r)}{r^3}">, mit konstante k durch die Oberfläche eines konvexen Volumens mit glatter Oberfläche, das den Ursprung des Koordinatensystems im Inneren enthält, berechnen. <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span> <br /> <br /> <br />Ich bin verwirrt, da uns die Position der Punktladung nicht genannt wurde. Ist dies nicht wichtig für die Berechnung des elektrischen Flusses? Wenn die Ladung im Inneren liegt, dann ergibt sich doch ein anderer Fluss als wenn diese außen liegt (dann heben sich die Komponenten durch die verschiedengerichteten Normalenvektoren der Oberfläche doch gegenseitig auf...)? <br />Als konvexes Volumen mit glatter Oberfläche habe ich mir nun ersteinmal ein kartoffelartiges Gebilde gedacht, in dessen Innerem der Ursprung liegt. <br />Jedenfalls würde ich mit einem geschlossenen Oberflächenintegral starten: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\oint_A \! \vec{E}(\vec{r})\cdot \, \dd \vec{A} "> <br />Allerdings fängt hiermit die Schwierigkeit des unbestimmten Volumens an: Was ist denn mein <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?d \vec{A}">? <br /> <br />Im Weltner habe ich allgemein für Oberflächenintegrale diese Rechnung gefunden: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_A \! \vec{E}(x,y,z) \, \dd \vec{A} = \int_{Ayz} \! E_x(x=g(y,z),y,z) \, \dd y dz +\int_{Axz} \! E_y(x,y=h(x,z),z) \, \dd x dz + \int_{Axy} \! E_z(x,y,z=f(x,y)) \, \dd x dy"> <br /> <br />Doch ich weiß nicht, wie genau ich das auf die folgende Aufgabe anwenden könnte bzw. ob ich das überhaupt darf. Hier sollte sich die Rechnung ja auch ein wenig anders verhalten, da es ein geschlossenes Oberflächenintegral ist. <br /> <br />Eingesetzt erhalte ich: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?kq(\int_{Ayz} \! \frac{x}{r^3} \, \dd y dz +\int_{Axz} \! \frac{y}{r^3} \, \dd x dz + \int_{Axy} \! \frac{z}{r^3} \, \dd x dy)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?= kq(\int_{Ayz} \! \frac{xy}{(x^2+z^2)r} \, \dd z +\int_{Axz} \! \frac{yx}{(z^2+y^2)r} \, \dd z + \int_{Axy} \! \frac{xz}{(z^2+y^2)r} \, \dd y)">, wobei diese Integrale dann schon sehr kompliziert werden und ich ja auch keine Grenzen zum Einsetzen habe. <br /> <br />Müsste nicht, sofern die Punktladung im Inneren des Volumens ist, der Gaußsche Satz gelten und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\oint_A \! \vec{E}(\vec{r})\cdot \, \dd \vec{A} = \frac{q_{eingeschlossen}}{\epsilon_0}"> sein, wobei hier <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?q_{eingeschlossen}"> einfach q wäre? Wenn dem nicht so ist, warum nicht? <br />Was will die Aufgabe überhaupt von mir? Es wirkt so, als sollten wir zeigen, wie man ganz allgemein ohne spezifisches Volumen geschlossene Oberflächenintegrale löst.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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