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[quote="TomS"]Berechenbarkeit muss zunächst definiert werden, insbs. welche Methoden zulässig sind. Ein Beispiel ist die Turing-Berechenbarkeit, die ein Ergebnis nach endlich vielen Schritten fordert, was unendliche nicht-periodische Dezimalzahlen ausschließt. Ein anderes Beispiel wären Algorithmen, die in immer weiteren Schritten immer weitere Ziffern liefern. So kann man z.B. Wurzeln, pi, die Eulersche Zahl u.a. definieren. Allerdings existieren nur abzählbar unendlich viele Algorithmen, jedoch überabzählbar unendlich viele reelle Zahlen. D.h. das fast alle reellen Zahlen so nicht definierbar sind, sozusagen prinzipiell unbekannt.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Steffen Bühler</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 28. Okt 2024 11:08<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Für die meisten Menschen ist das aber ein Unterschied, weil <span style="font-weight: bold">der Grenzübergang zum Unendlichen</span> einfach schwer vorstellbar ist. 0,999 mag eine Näherung für Eins sein, 0,99999 ist eine noch bessere. Aber, wie eben meine Schwiegermutter sagte (die durchaus gebildet war!): "Es bleibt doch immer noch ein Rest, egal wieviel Neunen man anhängt."</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 28. Okt 2024 10:21<span class="gen"> </span> Titel: Re: Nicht berechenbare reelle Zahl</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Steffen Bühler hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Heinrix hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">müssten dann nicht eigentlich alle unberechenbar sein, da der Algorithmus nie terminieren würde?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Reelle Zahlen werden nicht über einen Algorithmus definiert, auch nicht über einen Grenzwertprozess. Vielmehr <span style="font-weight: bold">sind</span> sie ein Grenzwert …</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ich verstehe den Unterschied nicht, auf den du hinauswillst. <br /> <br />Natürlich liegt irgendein Algorithmus zugrunde, der nach n Schritten eine Näherung liefert, und wobei der Grenzwert n gegen unendlich betrachtet wird.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Steffen Bühler</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 28. Okt 2024 09:52<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ja, natürlich. Warum sollte er auf einem 64bit-System mehr als 64 Bit berechnen?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Heinrix</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 28. Okt 2024 09:40<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ein Beispiel ist die Turing-Berechenbarkeit, die ein Ergebnis nach endlich vielen Schritten fordert, was unendliche nicht-periodische Dezimalzahlen ausschließt. <br /> <br />Ein anderes Beispiel wären Algorithmen, die in immer weiteren Schritten immer weitere Ziffern liefern. So kann man z.B. Wurzeln, pi, die Eulersche Zahl u.a. definieren. Allerdings existieren nur abzählbar unendlich viele Algorithmen, jedoch überabzählbar unendlich viele reelle Zahlen. D.h. das fast alle reellen Zahlen so nicht definierbar sind, sozusagen prinzipiell unbekannt.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ganz blöde Frage: Wie berechnet dann zb ein Computer Pi? Bricht dieser nach einer definierten Stelle einfach den Prozess ab?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Steffen Bühler</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 28. Okt 2024 09:06<span class="gen"> </span> Titel: Re: Nicht berechenbare reelle Zahl</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Heinrix hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">müssten dann nicht eigentlich alle unberechenbar sein, da der Algorithmus nie terminieren würde?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Reelle Zahlen werden nicht über einen Algorithmus definiert, auch nicht über einen Grenzwertprozess. Vielmehr <span style="font-weight: bold">sind</span> sie ein Grenzwert, beispielsweise Schranken von Mengen oder Folgen. Als das klargeworden ist, kam die Mathematik einen Riesenschritt voran. Es ist aber wirklich schwer, das zu verinnerlichen, die meisten Leute zweifeln ja schon an <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?0,\overline9 = 1"> (meine Schwiegermutter zum Beispiel).</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 28. Okt 2024 08:24<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Berechenbarkeit muss zunächst definiert werden, insbs. welche Methoden zulässig sind. <br /> <br />Ein Beispiel ist die Turing-Berechenbarkeit, die ein Ergebnis nach endlich vielen Schritten fordert, was unendliche nicht-periodische Dezimalzahlen ausschließt. <br /> <br />Ein anderes Beispiel wären Algorithmen, die in immer weiteren Schritten immer weitere Ziffern liefern. So kann man z.B. Wurzeln, pi, die Eulersche Zahl u.a. definieren. Allerdings existieren nur abzählbar unendlich viele Algorithmen, jedoch überabzählbar unendlich viele reelle Zahlen. D.h. das fast alle reellen Zahlen so nicht definierbar sind, sozusagen prinzipiell unbekannt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Heinrix</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 27. Okt 2024 21:41<span class="gen"> </span> Titel: Nicht berechenbare reelle Zahl</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Guten Tag, <br /><br />in der Hoffnung, dass ihr Physiker es auch mathematisch richtig drauf habt, hätte ich eine Frage zur Berechenbarkeit. <br /><br />Wie sieht denn eine reelle Zahl aus, die nicht berechenbar ist? Kann man dafür Beispiele nennen?<br />Und wie sieht es bei berechenbaren reellen Zahlen aus? Reelle Zahlen haben doch eigentlich unendlich viele Stellen, müssten dann nicht eigentlich alle unberechenbar sein, da der Algorithmus nie terminieren würde?<br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />Danke für hilfreiche Erklärungen!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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