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[quote="Myon"]Die eine Skizze ist wahrscheinlich entscheidend für die Lösung. Damit lässt sich das Verhältnis der Radien genau berechnen. Da mich vor einiger Zeit einmal jemand nach einem Lösungsweg gefragt hatte, schrieb ich meine Lösung ausführlich mit Erklärungen auf. Natürlich ohne Garantie für Richtigkeit.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>ML</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Sep 2024 21:56<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Myon hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>ML hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Die beiden Tangentialwinkel betragen jeweils <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\alpha=90^\circ">. Zusätzlich sind zwei gleich lange Seiten mit den Seitenlängen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r"> (<img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r">: Bahnradius des inneren Planeten) vorgegeben. Daraus folgt, dass das blau-rote Viereck ein Quadrat mit dem Radius <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r"> ist.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ist dies wirklich so? Der Winkel zwischen den beiden roten Radien ist ja nicht bekannt? Und das Verhältnis von zwei beliebigen Bahnradien müsste dann immer gleich Wurzel(2) sein.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ja, Du hast recht. <br /> <br />Man muss hier noch einen Vergleich der Dauer des Anstiegs und des Abstiegs im Winkeldiagramm durchführen. Das hatte ich damals auch so argumentiert, jetzt aber übesehen. <br /> <br />Die Zeit, in der der Winkel von einem negativen Wert zum positiven Wert ansteigt beträgt (mit einer gewissen Ablesegenauigkeit) ein Viertel der Periodendauer des Winkeldiagramms. Das bedeutet, dass die beiden gestrichelten blauen Linien einen Winkel von 90° zueinander haben (1/4 von 360°). Dann haben wir im Viereck drei rechte Winkel und zwei gleich lange Seiten und kommen zum Quadrat. Mit anderen Ablesewinkeln kommt man zu leicht anderen Ergebnissen. <br /> <br /> <br />Viele Grüße <br />Michael</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Sep 2024 13:03<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>ML hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Die beiden Tangentialwinkel betragen jeweils <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\alpha=90^\circ">. Zusätzlich sind zwei gleich lange Seiten mit den Seitenlängen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r"> (<img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r">: Bahnradius des inneren Planeten) vorgegeben. Daraus folgt, dass das blau-rote Viereck ein Quadrat mit dem Radius <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r"> ist.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ist dies wirklich so? Der Winkel zwischen den beiden roten Radien ist ja nicht bekannt? Und das Verhältnis von zwei beliebigen Bahnradien müsste dann immer gleich Wurzel(2) sein.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Sep 2024 12:49<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Die eine Skizze ist wahrscheinlich entscheidend für die Lösung. Damit lässt sich das Verhältnis der Radien genau berechnen. <br /> <br />Da mich vor einiger Zeit einmal jemand nach einem Lösungsweg gefragt hatte, schrieb ich meine Lösung ausführlich mit Erklärungen auf. Natürlich ohne Garantie für Richtigkeit.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>ML</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Sep 2024 12:22<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo, <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Myon hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Diese Aufgabe fand ich sehr schön! Sie setzt keine besonderen Kenntnisse voraus, und trotzdem braucht man wahrscheinlich einige Zeit, bis man auf den Lösungsweg kommt - bei mir war es jedenfalls so. <br />Auch die Aufgabe mit dem Eiffelturm fand ich schön, wobei man hier vielleicht etwas unterschiedlich vorgehen kann. Wäre bei beiden Aufgaben an einer Diskussion interessiert.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Wir können ja mal bei den Planeten schauen, ob wir uns einig sind. Wenn ich die Lösung so sehe, verstehe ich gar nicht mehr, weshalb ich dafür so lange gebraucht habe. <br /> <br />a) Da in dem <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varphi(t)">-Diagramm keine <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?2\pi">-Sprünge enthalten sind, muss man sich auf dem äußeren Planeten befinden. <br />Wir versetzen uns in das Bezugssystem, in dem der äußere Planet auf 6:00 Uhr ruht. Die betragsmäßig größten Winkel des <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varphi(t)">-Diagramms ergeben sich, wenn die Verbindungslinie zwischen dem äußeren und dem inneren Planeten tangential zur Bahn des inneren Planeten verläuft (Skizze). Die beiden Tangentialwinkel betragen jeweils <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\alpha=90^\circ">. Zusätzlich sind zwei gleich lange Seiten mit den Seitenlängen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r"> (<img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r">: Bahnradius des inneren Planeten) vorgegeben. <span style="color: green">Im Winkeldiagramm liest man ab, dass die Zeitdauer des Anstiegs einem Viertel der Periodendauer des Winkeldiagramms entspricht. </span>Daraus folgt, dass das blau-rote Viereck ein Quadrat mit dem Radius <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r"> ist. Der Radius <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?R"> der äußeren Bahn entspricht der Diagonalen des Quadrates. Somit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?R=\sqrt{2} r \approx 1{,}4 \cdot r">. <br /> <br />b) Es gilt <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varphi \in [-\pi/4 ...\pi/4]">. Jede Längeneinheit entspricht knapp 14,5°. <br /> <br /><span style="color: red">Kepler wieder rausgenommen. Der Zusammenhang geht über die anderen Gleichungen ebenfalls ein.</span> <br /> <br /><span style="color: blue">[... to be continued] <br /></span> <br /> <br />c) Wir setzen für den inneren Planeten die Zentripetalkraft mit der Gravitationskraft gleich und gehen davon aus, dass der Stern viel massereicher ist als die Planeten, so dass die Drehung um den Schwerpunkt des Sterns erfolgt. <br /> <br />mi: Masse des inneren Planeten <br />ma: Masse des äußeren Planeten <br />M: Masse des Sterns <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m_\mathrm{i} \cdot \omega_\mathrm{i}^2 \cdot r = \gamma \cdot \frac{M \cdot m_\mathrm{i}}{r^2}"> <br /> <br />Es folgt <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega_\mathrm{i}^2 = \gamma \cdot \frac{M}{r^3}"> (*) <br /> <br />Analog gilt für den äußeren Planeten mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?R=\sqrt{2} \cdot r">: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega_\mathrm{a}^2 = \gamma \cdot \frac{M}{R^3} = \gamma \cdot \frac{M}{\sqrt{2}^3 r^3}"> (**) <br /> <br />Nach dem Vier-Jahreszyklus (<img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?T_\mathrm{Z}=4\,\mathrm{a}">) aus dem Diagramm hat der äußere Planet irgendeinen Winkel <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varphi"> überstrichen, wohingegen der innere Planet den Winkel <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varphi+2\pi"> überstrichen hat; schließlich holt der innere den äußeren Planeten wieder ein. <br />Es gilt: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega_\mathrm{a} = \frac{\varphi}{T_\mathrm{Z}}"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega_\mathrm{i} = \frac{\varphi+2\pi}{T_\mathrm{Z}}"> <br /> <br />Folglich gilt: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega_\mathrm{i} - \omega_\mathrm{a} = \frac{2\pi}{T_\mathrm{Z}} = \frac{2\pi}{4\,\mathrm{a}}"> (***) <br /> <br />Das Gleichungssystem aus (*), (**) und (***) liefert die Lösung. Eine Lösungsmöglichkeit besteht darin, von (*) und (**) die Wurzel zu ziehen und in (***) einzusetzen. <br /> <br />Das war -- aus dem Gedächtnis -- die Lösung. Die Zahlenwerte habe ich nicht mehr im Kopf. Ich würde sie mal bei Gelegenheit in Wolfram Alpha eingeben, dann können wir die Zahlenwerte vergleichen. <br /> <br /> <br />Viele Grüße <br />Michael</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Sep 2024 13:40<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Diese Aufgabe fand ich sehr schön! Sie setzt keine besonderen Kenntnisse voraus, und trotzdem braucht man wahrscheinlich einige Zeit, bis man auf den Lösungsweg kommt - bei mir war es jedenfalls so. <br />Auch die Aufgabe mit dem Eiffelturm fand ich schön, wobei man hier vielleicht etwas unterschiedlich vorgehen kann. Wäre bei beiden Aufgaben an einer Diskussion interessiert.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>ML</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Sep 2024 13:09<span class="gen"> </span> Titel: Planetenbewegung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Besteht noch Interesse an der Diskussion der Planetenbewegung: <br /><a href="https://www.physikerboard.de/topic,70530,-planetenbewegung.html" target="_blank">https://www.physikerboard.de/topic,70530,-planetenbewegung.html</a> <br /> <br />Diese Frage wurde vor ca. 5 Wochen gesperrt, weil sie Teil der laufenden Internationalen Physikolympiade war. Inzwischen ist der Abgabeschluss verstricihen. Wenn der Fragesteller jetzt noch Interesse hat, würde ich mich an der Diskussion beteiligen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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