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[quote="Petanque"]Danke für die formale Herleitung. Welche physikalische Relevanz hat nun diese Normierung auf -c^2 ? Passiert dies wirklich, daß z.B. eine Ruhemasse in einem Inertialsystem mit v=c durch die Zeit reist ? oder einen Impuls in positiver Zeitrichtung hat ?[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Sep 2024 19:58<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Petanque hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Danke Tom, zwei Fragen dazu: <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Diese besagt, dass die Vierergeschwindigkeit eines Objektes (mit Ruhemasse m > 0) gerade der Tangenten-Einheitsvektor a der Weltlinie des Objektes ist. D.h., dass sich alle derartigen Objekte immer mit konstantem Betrag der Vierergeschwindigkeit durch die Raumzeit bewegen </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />welches ist der konstante Betrag der Vierergeschwindigkeit eines Objektes mit m > 0 im Falle, daß die Ortskomponenten der Vierergeschwindgkeit x, y, z jeweils = 0 sind ?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Immer minus Eins. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} = \left( \frac{dx^0}{d\tau}, \frac{dx^i}{d\tau} \right) = \frac{dx^0}{d\tau} \left( 1 , \frac{d\tau}{dx^0} \frac{dx^i}{d\tau} \right) = \gamma \left( 1 , \frac{dx^i}{dx^0} \right) = \gamma (1, v^i)"> <br /> <br />Dabei verwende ich, dass die Dreiergeschwindigkeit v durch Ableitung nach der Koordinatenzeit x° gebildet wird. <br /> <br />Dann folgt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u_\mu u^\mu = \gamma^2 \left( -1 + v^2 \right) = -1"> <br /> <br />weil <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\gamma^2 = \frac{1}{1 - v^2}"> <br /> <br />D.h. ein ruhendes Objekt bewegt sich ausschließlich entlang der Zeitachse. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Petanque hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> Der Wert von c ist reine Konvention. Genauer, es ist eine Frage des Einheitensystems.(...) Daher dürfen wir c = 1 setzen, ohne dass sich die physikalische Bedeutung ändert. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />was hat es dann für eine Aussage, wenn da als zeitliche Komponente des Vierervektors eine 1 steht anstelle c? Klar kann ich die Lichtgeschwindigkeit in natürlichen Einheiten mit 1 normieren. Aber wenn ich die Geschwindigkeit von Photonen im Vakuum messe, erhalte ich doch einen konkreten Wert der Ortsveränderung in Relation zur Zeit, und der ist in ISO Einheiten eben nahezu 300k Kilometer in der Sekunde, und nicht 1. Das Photon hat messbar in einer Sekunde 300k Kilometer seine räumliche Position verändert.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das ist korrekt, aber das liefert keine physikalische Beschreibung, was diese Geschwindigkeit bedeutet, sondern läuft auf eine Erklärung der SI-Einheiten hinaus. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Petanque hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Wenn ich also die Vierervektoren über c normiere, und damit alle möglichen Berechnungen anstelle die relevante Ergebnisse liefern, ist es dann nicht inkonsequent, wenn man die zeitliche Komponente "wörtlich" nimmt, zu sagen, "c steht da nur aufgrund der Normierung und hat eigentlich keine physikalische Relevanz" ?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Du meinst, du möchtest explizit herausstellen, dass Raum etwas anderes ist als Zeit, und deswegen unterschiedliche Einheiten verwenden. <br /> <br />Ja, das kann man natürlich so sehen. <br /> <br />Aber der geometrische Kern der Argumentation ist ja, dass man Raum und Zeit zunächst in den selben Einheiten ausdrücken <span style="font-style: italic">kann</span>, um erst bei einer Messung in ein vertrautes Einheitensystem umzurechnen. Alleine die Tatsache, dass das <span style="font-style: italic">möglich</span> ist, zeigt doch, dass dem Einheitensystem keine fundamentale Bedeutung zukommt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Petanque</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Sep 2024 17:14<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Danke Tom, zwei Fragen dazu: <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Diese besagt, dass die Vierergeschwindigkeit eines Objektes (mit Ruhemasse m > 0) gerade der Tangenten-Einheitsvektor a der Weltlinie des Objektes ist. D.h., dass sich alle derartigen Objekte immer mit konstantem Betrag der Vierergeschwindigkeit durch die Raumzeit bewegen </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />welches ist der konstante Betrag der Vierergeschwindigkeit eines Objektes mit m > 0 im Falle, daß die Ortskomponenten der Vierergeschwindgkeit x, y, z jeweils = 0 sind ? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> Der Wert von c ist reine Konvention. Genauer, es ist eine Frage des Einheitensystems.(...) Daher dürfen wir c = 1 setzen, ohne dass sich die physikalische Bedeutung ändert. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />was hat es dann für eine Aussage, wenn da als zeitliche Komponente des Vierervektors eine 1 steht anstelle c? Klar kann ich die Lichtgeschwindigkeit in natürlichen Einheiten mit 1 normieren. Aber wenn ich die Geschwindigkeit von Photonen im Vakuum messe, erhalte ich doch einen konkreten Wert der Ortsveränderung in Relation zur Zeit, und der ist in ISO Einheiten eben nahezu 300k Kilometer in der Sekunde, und nicht 1. Das Photon hat messbar in einer Sekunde 300k Kilometer seine räumliche Position verändert. <br /> <br />Wenn ich also die Vierervektoren über c normiere, und damit alle möglichen Berechnungen anstelle die relevante Ergebnisse liefern, ist es dann nicht inkonsequent, wenn man die zeitliche Komponente "wörtlich" nimmt, zu sagen, "c steht da nur aufgrund der Normierung und hat eigentlich keine physikalische Relevanz" ?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Sep 2024 16:23<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Der Wert von c ist reine Konvention. Genauer, es ist eine Frage des Einheitensystems: <br /> <br /><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Einheiten" target="_blank">https://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Einheiten</a> <br /> <br />Daher dürfen wir c = 1 setzen, ohne dass sich die physikalische Bedeutung ändert. <br /> <br /> <br />Energie und Impuls hängen eng damit zusammen: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p^\mu = m u^\mu = (E, p^i)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p_\mu p^\mu = - m^2"> <br /> <br />Allerdings sind alle Größen bzw. deren Werte mit Koordinaten-Index mu auch abhängig vom Koordinatensystem. <br /> <br /> <br />Die wirklich invariante = vom Koordinatensystem unabhängige geometrische Größe ist das Betragsquadrat <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u^2 = - 1"> <br /> <br />Diese besagt, dass die Vierergeschwindigkeit eines Objektes (mit Ruhemasse m > 0) gerade der Tangenten-Einheitsvektor a die Weltlinie des Objektes ist. D.h., dass sich <span style="font-weight: bold">alle</span> derartigen Objekte <span style="font-weight: bold">immer</span> mit konstantem Betrag der Vierergeschwindigkeit durch die Raumzeit bewegen. Das gilt auch unter dem Einfluss beliebiger Kräfte, und es gilt sogar noch in der allgemeinen Relativitätstheorie. <br /> <br />Ich bin nicht absolut sicher, aber ich denke, dass <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u^2 =\left\{ \begin{array}{cc} 0 & \quad m = 0 \\ -1 & \quad m > 0 \end{array} \right."> <br /> <br />letztlich die gesamte Geometrie und Kinematik der SRT beinhaltet.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Petanque</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Sep 2024 16:06<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">this, wie Du es geschrieben hast, und direkt daraus: <br /> <br />- für die Vierergeschwindigkeit ist die Zeitkomponente "c", was als "Geschwindigkeit in Zeitrichtung" interpretiert werden kann, <br />- und für den Viererimpuls ist die Zeitkomponente entsprechend "E/c", was als "Impuls in Zeitrichtung" gedeutet werden kann.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Sep 2024 15:06<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich bin hier leider überfragt. Aber irgendwie muss man die Weltlinie ja parametrisieren, und durch die Normierung des Tangentenvektors wird die Parametrisierung festgelegt. Dass das physikalisch relevant ist, glaube ich nicht. Ich sehe aber auch nicht, inwiefern eine Masse "mit c durch die Zeit reist"? Oder siehst Du das in dem Zusammenhang, dass die Zeitkoordinate als <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x^0=ct"> <br /> <br />geschrieben wird? Auch das ist m.E. nur eine Definition.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Petanque</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Sep 2024 13:47<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Danke für die formale Herleitung. <br /> <br />Welche physikalische Relevanz hat nun diese Normierung auf -c^2 ? <br /> <br />Passiert dies wirklich, daß z.B. eine Ruhemasse in einem Inertialsystem mit v=c durch die Zeit reist ? oder einen Impuls in positiver Zeitrichtung hat ?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Sep 2024 13:54<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Durch die Normierung wird die Eigenzeit definiert. Mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\eta_{\mu\nu}\frac{dx^\mu(\tau)}{d\tau}\frac{dx^\nu(\tau)}{d\tau}=-c^2"> <br /> <br />wird ein bestimmter Parameter ausgewählt für die Parametrisierung der Weltlinie. Man könnte die Weltlinie auch anders parametrisieren, ohne dass die Bewegung ändern würde. <br /> <br />Mit der Festlegung gilt im momentanen Ruhesystem wegen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{dx^i(\tau_0)}{d\tau}=0\quad \text{für }i=1, 2, 3"> <br /> <br />die Beziehung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mu_{00}\frac{dx^0(\tau_0)}{d\tau}\frac{dx^0(\tau_0)}{d\tau}=-c^2\left(\frac{dt}{d\tau}(\tau_0)\right)^2=-c^2"> <br /> <br />und damit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{dt}{d\tau}(\tau_0)=1"> <br /> <br />Während eines genügend kleinen Zeitintervalls stimmen also im momentanen Ruhesystem der so definierte Parameter (Eigenzeit) und die Koordinatenzeit beliebig gut überein (vgl. Skript Volker Perlick - General Relativity). <br /> <br />Aber andere können sicher mehr und fundierter etwas dazu sagen;-)</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Petanque</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Sep 2024 12:12<span class="gen"> </span> Titel: Lichtgeschwindigkeit als Norm</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">gemini schreibt: <br /> <br />Lichtgeschwindigkeit als Norm: Die Norm der Vierergeschwindigkeit ist immer gleich der Lichtgeschwindigkeit. Dies führt zu der Interpretation, dass sich jedes Objekt, unabhängig von seiner Geschwindigkeit im Raum, mit der Lichtgeschwindigkeit entlang seiner Weltlinie bewegt. <br /> <br />Zeit als vierte Dimension: Die Minkowski-Raumzeit betrachtet die Zeit als eine vierte Dimension, die auf dieselbe Weise behandelt wird wie die räumlichen Dimensionen. <br /> <br />Frage: <br /> <br />Ist dies ein "Nebeneffekt" der Normierung oder würde ein höherdimensionaler Beobachter real feststellen können, daß sich ein ruhendes Objekt mit v=c entlang der Weltlinie bewegt? Und könnte man die Vierergeschwindigkeit auch anders sinnvoll normieren als mit c?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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