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[quote="\alphaund\Omega"]hier noch Kurz zum [latex]N![/latex] I.A. gilt [latex]N! = \int_0^\infty x^N e^{-x} \, dx[/latex] Es gilt [latex]x=Nz[/latex] und damit kommt es zu [latex]N! = \int_0^\infty (Nz)^N e^{-Nz}N \, dz[/latex] [latex]N! =N^{N+1} \int_0^\infty e^{N*(ln(z)-z)} \, dz[/latex] mit [latex]f(z)=ln(z)-z[/latex] und [latex]f'(z)=\frac{1}{z}-1[/latex] und [latex]f''(z)=-\frac{1}{z^2}[/latex] und noch das das Maxiumum bei [latex]z_{0}=1[/latex] ist folgt mit der Sattelpunktnährung: [latex]N! \approx \sqrt{2*\pi*N} (\frac{N}{e})^{N}[/latex][/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>\alphaund\Omega</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 17. Aug 2024 16:06<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">hier noch Kurz zum <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?N!"> <br />I.A. gilt <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?N! = \int_0^\infty x^N e^{-x} \, dx"> <br />Es gilt <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x=Nz"> und damit kommt es zu <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?N! = \int_0^\infty (Nz)^N e^{-Nz}N \, dz"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?N! =N^{N+1} \int_0^\infty e^{N*(ln(z)-z)} \, dz"> <br />mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f(z)=ln(z)-z"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f'(z)=\frac{1}{z}-1"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f''(z)=-\frac{1}{z^2}"> und noch das das Maxiumum bei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?z_{0}=1"> ist folgt mit der Sattelpunktnährung: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?N! \approx \sqrt{2*\pi*N} (\frac{N}{e})^{N}"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 16. Aug 2024 20:51<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hier findest du auch Korrekturen höherer Ordnung. Du brauchst du, wenn z.B. Differenzen Null oder Quotienten Eins ergeben.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>\alphaund\Omega</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 16. Aug 2024 19:55<span class="gen"> </span> Titel: Herleitung der Stirlingformel</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Guten Tag, <br /> <br />ich bewege mich grade in einem Skript wo die Rede von der Herleitung der Stirling Formel ist: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?ln(N')\approx N*ln(N)-N+\frac{1}{2}ln(2*\pi*N)+rest"> <br /> <br />Kann ich wirklich einfach nur den Ansatz: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?N!\approx \sqrt{2*\pi*N}*(\frac{N}{e})^{N}"> <br />und dann umformen. <br />Den Ansatz habe ich von Wiki und dieser beschreibt ein ! von einer großen Zahl N. <br /> <br /> <br />Kontext: <br />Betrachtung der Besetzungszahl in Abhängikeit der Temperatur. Dies an einem 2 level Sytsem wobei es sich um N wechselwirkungsfreie Spin-1/2 Teilchen handelt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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