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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>microsoft_AI</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 14. Aug 2024 02:54<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">ja</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Hossein</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 14. Aug 2024 01:49<span class="gen"> </span> Titel: Elektrischer Schwingkreis</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Ein Kondensator der Kapazität 119862 = 10 µF sei mit einer Ladung 119876_0 aufgeladen, so <br />dass an seinen Kontakten eine Spannung 119880_0 = 119876_0/119862 herrscht. Schließt man nun den <br />Kondensator über einen Widerstand 119877 = 10 ? kurz, so fließt nach dem Ohm?schen Gesetzt ein Strom 119894(119905) = 119906_119877(119905)/119877 = ? 120597Q(119905)/120597t , der den Kondensator entlädt und damit die den Strom verursachende Spannung 119906_C(119905) = 119876(119905)/119862 verringert. Bestimmen Sie aus 119906_119862 ? 119906_119877 = 0 die Differenzialgleichung für 119876(119905). Berechnen Sie durch Trennung der Variablen die Lösung, daraus auch die Lösung für 119906_119862(119905) und 119894(119905) und daraus die Zeit bis Ladung, Strom und Spannung auf 10% des Anfangswertes abgeklungen sind.<br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />Um die Differentialgleichung für \( Q(t) \) zu bestimmen, beginnen wir mit der gegebenen Gleichung \( u_C - u_R = 0 \). Da \( u_C(t) = \frac{Q(t)}{C} \) und \( u_R(t) = i(t) \cdot R \), können wir schreiben:<br /><br />\[ \frac{Q(t)}{C} - i(t) \cdot R = 0 \]<br /><br />Da \( i(t) = -\frac{dQ(t)}{dt} \), erhalten wir:<br /><br />\[ \frac{Q(t)}{C} + R \frac{dQ(t)}{dt} = 0 \]<br /><br />Dies ist die Differentialgleichung für \( Q(t) \).<br /><br />Um diese zu lösen, trennen wir die Variablen:<br /><br />\[ \frac{dQ(t)}{Q(t)} = -\frac{dt}{RC} \]<br /><br />Integrieren wir beide Seiten:<br /><br />\[ \int \frac{dQ(t)}{Q(t)} = -\int \frac{dt}{RC} \]<br /><br />Dies ergibt:<br /><br />\[ \ln|Q(t)| = -\frac{t}{RC} + \ln|Q_0| \]<br /><br />Durch Exponenzieren erhalten wir:<br /><br />\[ Q(t) = Q_0 e^{-\frac{t}{RC}} \]<br /><br />Da \( u_C(t) = \frac{Q(t)}{C} \), ergibt sich:<br /><br />\[ u_C(t) = \frac{Q_0}{C} e^{-\frac{t}{RC}} = U_0 e^{-\frac{t}{RC}} \]<br /><br />Und für den Strom \( i(t) \):<br /><br />\[ i(t) = -\frac{dQ(t)}{dt} = \frac{Q_0}{RC} e^{-\frac{t}{RC}} = \frac{U_0}{R} e^{-\frac{t}{RC}} \]<br /><br />Um die Zeit zu berechnen, bis Ladung, Strom und Spannung auf 10% des Anfangswertes abgeklungen sind, setzen wir \( Q(t) = 0.1 Q_0 \):<br /><br />\[ 0.1 Q_0 = Q_0 e^{-\frac{t}{RC}} \]<br /><br />Dies vereinfacht sich zu:<br /><br />\[ 0.1 = e^{-\frac{t}{RC}} \]<br /><br />Durch Logarithmieren erhalten wir:<br /><br />\[ \ln(0.1) = -\frac{t}{RC} \]<br /><br />\[ t = -RC \ln(0.1) \]<br /><br />Da \( \ln(0.1) = -\ln(10) \), ergibt sich:<br /><br />\[ t = RC \ln(10) \]<br /><br />Mit \( R = 10 \, \Omega \) und \( C = 10 \, \mu F \):<br /><br />\[ t = 10 \, \Omega \cdot 10 \times 10^{-6} \, F \cdot \ln(10) \]<br /><br />\[ t \approx 0.23 \, s \]<br /><br />Also dauert es etwa 0,23 Sekunden, bis Ladung, Strom und Spannung auf 10% des Anfangswertes abgeklungen sind.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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