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[quote="Myon"]Ich glaube, ich erhalte auch ein Verhältnis von 4/3. Ist aber gut möglich, dass die Rechnung nicht stimmt, bin nicht fit. Fall 1 - Parabolisches Geschwindigkeitsprofil: [latex]\frac{\text{kin. Energie}}{\text{Länge}}=\pi\rho\int_0^Rrv_\text{max}^2(1-(\frac{r}{R})^2)^2\,dr=\frac{\pi\rho R^2v_\text{max}^2}{6}[/latex] Fall 2 - Über dem Querschnitt konstante Strömungsgeschwindigkeit: [latex]\frac{\text{kin. Energie}}{\text{Länge}}=\frac{\pi\rho R^2v^2}{2}[/latex] Nun soll der Volumenstrom in beiden Fällen gleich sein. [latex]Q_1=2\pi\int_0^Rrv_\text{max}(1-(\frac{r}{R})^2)\,dr=\frac{\pi R^2v_\text{max}}{2}[/latex] [latex]Q_2=\pi R^2v[/latex] [latex]Q_1=Q_2\Rightarrow v_\text{max}=2v[/latex] Damit ergibt sich ein Verhältnis der kinetischen Energien von 4/3.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Jul 2024 20:41<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Gefragt war nach der Energie. <br />Betrachtet man nur die kinetische Energie, trifft Myons Rechnung zu. <br />Bezieht sich die Frage auf die Gesamtenergie muss die Reibarbeit berücksichtigt werden. <br />Ab einer bestimmten Rohrlänge überwiegt die Reibarbeit.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Jul 2024 16:46<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Betrachtet man den Energieinhalt der Strömung eines Rohrs auf einer bestimmten Länge zu einem bestimmten Zeitpunkt (Einheit Energie pro Länge), so ist das Verhältnis von parabolischem Geschwindigkeisprofil zu konstantem Geschwindigkeitsprofil gleich 4/3. <br /> <br />Geht es um die Leistung (Energie pro Zeit), die aufgebracht werden muss zur Beschleunigung auf das Strömungsprofil, muss man berücksichtigen, dass die Volumenstromstärke nicht konstant ist über dem Querschnitt; im Zentrum des Rohrs ist sie höher als am Rand. Das wird in der Gleichung aus dem Artikel <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?P_\text{kin}=\pi\rho\int_0^Rrv^3(r)\,\dd r"> <br /> <br />berücksichtigt. Daran hatte ich nicht gedacht. In der Praxis wird dieser Wert relevant sein, und hier ist das Verhältnis von parabolischem zu konstantem Geschwindigkeitsprofil gleich 2:1.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>sebi_0815</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Jul 2024 16:01<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Weiß dann jemand, warum das energetische Verhältnis sich zu dem Verhältnis der Leistungen unterscheidet? <br /> <br />Ich meine, wenn die Rechnung korrekt ist, dann müsste ich doch nicht nochmal dieselbe Energie aufbringen wie im Artikel geschrieben, sondern nur ein Drittel mehr. <br /> <br />Oder liegt das Problem darin, dass das Strömungsprofil ein zweidimensionales Konstrukt ist und die Normierung auf die Länge daher kein aussagekräftiges Ergebnis bringt <br /> <br />Aber wie kann dann die Formel für die Beschleunigungsarbeit korrekt sein die ja den Längenbezug drin hat (Gleichung 22)? <br /> <br />Oder gilt das Ganze nur für Längen auf denen sich das parabolische Profil ausbilden kann? Aber das widerspricht doch der Energie als Zustandsgröße. Sie sollte doch unabhängig sein vom Weg? <br /> <br />Ich bin verwirrt <br /> <img src="images/smiles/help.gif" alt="Hilfe" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Jul 2024 22:13<span class="gen"> </span> Titel: Re: Energetische Betrachtung eines Rohrströmung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>DrStupid hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Das habe ich auch raus bekommen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Danke!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>DrStupid</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Jul 2024 21:57<span class="gen"> </span> Titel: Re: Energetische Betrachtung eines Rohrströmung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Myon hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich glaube, ich erhalte auch ein Verhältnis von 4/3.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das habe ich auch raus bekommen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Jul 2024 19:20<span class="gen"> </span> Titel: Re: Energetische Betrachtung eines Rohrströmung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich glaube, ich erhalte auch ein Verhältnis von 4/3. Ist aber gut möglich, dass die Rechnung nicht stimmt, bin nicht fit. <br /> <br />Fall 1 - Parabolisches Geschwindigkeitsprofil: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\text{kin. Energie}}{\text{Länge}}=\pi\rho\int_0^Rrv_\text{max}^2(1-(\frac{r}{R})^2)^2\,dr=\frac{\pi\rho R^2v_\text{max}^2}{6}"> <br /> <br />Fall 2 - Über dem Querschnitt konstante Strömungsgeschwindigkeit: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\text{kin. Energie}}{\text{Länge}}=\frac{\pi\rho R^2v^2}{2}"> <br /> <br />Nun soll der Volumenstrom in beiden Fällen gleich sein. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?Q_1=2\pi\int_0^Rrv_\text{max}(1-(\frac{r}{R})^2)\,dr=\frac{\pi R^2v_\text{max}}{2}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?Q_2=\pi R^2v"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?Q_1=Q_2\Rightarrow v_\text{max}=2v"> <br /> <br />Damit ergibt sich ein Verhältnis der kinetischen Energien von 4/3.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>sebi_0815</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Jul 2024 19:15<span class="gen"> </span> Titel: Link</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hier der fehlende Link: <br /> <br /><a href="https://www.tec-science.com/de/mechanik/gase-und-fluessigkeiten/energetische-betrachtung-des-hagen-poiseuille-gesetz/" target="_blank" class="postlink">https://www.tec-science.com/de/mechanik/gase-und-fluessigkeiten/energetische-betrachtung-des-hagen-poiseuille-gesetz/</a> <br /> <br />hab ich wieder professionell gemacht <img src="images/smiles/hammer.gif" alt="Hammer" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>sebi_0815_1</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Jul 2024 19:10<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Korrekt. Ich habe mich mit diesem Artikel beschäftigt: <br /> <br /> <br />In Formel 14 - 22 ist die Integration über das parabelförmige Geschwindigkeitsprofil durchgeführt worden. <br />Im letzten Absatz wurde dann die kinetische Leistung des konstanten Profils mit der des Quadratischen verglichen und man kommt auf das erwähnte Verhältnis von 2 (oder 0.5 je nachdem wie rum). <br /> <br />Ich dachte, man sollte doch auch auf dasselbe Verhältnis kommen, wenn man die Energien der Profile vergleicht. Allerdings komme ich bei der Integration des konstanten Profils mit v(r) = 0,5*vmax auf den entscheidenden Vorfaktor von 1/8. In Gleichung 22 sieht man, dass der Vorfaktor für das quadratische Profil 1/6 ist. <br />Daher bin ich verwirrt. Kann ich den Zeitbezug nicht ohne weiteres weglassen oder habe ich mich verrechnet?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>DrStupid</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Jul 2024 18:36<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Mathefix hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Hinweis: Um die Strömung in Rohren unterschiedlichen Querschnitts zu vergleichen ist deren hydraulischer Durchmesser zu bestimmen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Es geht nicht um Rohrquerschnitte sondern um Strömungsprofile – einmal konstant und einmal quadratisch (offenbar bei laminarer Strömung in einem zylindrischen Rohr bei jeweils gleichem Volumenstrom).</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Jul 2024 18:24<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Verstehe die Aufgabenstellung nicht. Eine Skizze wäre hilfreich. <br />Hinweis: Um die Strömung in Rohren unterschiedlichen Querschnitts zu vergleichen ist deren hydraulischer Durchmesser zu bestimmen. <br />d_hydr = 4*A/U <br />Quadratischer Querschnitt d_hydr = a</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Jul 2024 18:22<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Verstehe die Aufgabenstellung nicht. Eine Skizze wäre hilfreich. <br />Hinweis: Um die Strömung in Rohren unterschiedlichen Querschnitts zu vergleichen ist deren hydraulischer Durchmesser zu bestimmen. <br />d_hydr = 4*A/U <br /> Quadratischer Querschnitt d_hydr = a</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>sebi_0815</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Jul 2024 15:15<span class="gen"> </span> Titel: Energetische Betrachtung eines Rohrströmung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Ich möchte herleiten, wie viel Energie nötig ist um eine Rohrströmung konstanter Geschwindigkeit über den Radius auf ein parabelförmiges Profil zu beschleunigen. Dafür möchte ich die kinetische Energie des konstanten Profils mit der des quadratischen Profils vergleichen.<br />Meiner Info nach sollte das Ergebnis 2 sein. Das kommt bei mir nicht raus.<br />Habe ich einen Fehler in meinem Ansatz oder in meiner Rechnung?<br /><br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />Grundidee ist: Ekin = 0.5*dm*v(r)^2=0.5*rho*2*pi*r*L*dr<br />Ich habe alle Konstanten rausgeschmissen und integriere dann die Gleichung einmal mit v(r)=0.5*vmax für das konstante Profil und einmal mit v(r)=vmax*(1-(r/R)^2). Ich komme auf ein Verhältnis von E_quadratisch zu E_konstant von 1.333.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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