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[quote="Mathefix"][quote="Myon"] [latex]dE=-m\mu\frac{u^2}{r_\kappa}ds=-m\mu\frac{u^2}{r_\kappa}r_\kappa\,d\psi=-m\mu u^2\,d\psi[/latex] (steht natürlich schon oben) sieht man bereits, dass der gesamte Energieverlust unabhängig von der Krümmung bzw. vom Krümmungsverlauf ist, solange die Bahnkurve durchgehend konvex ist.[/quote] @Myon Ich hatte geschrieben [latex]dE = m\cdot g\cdot \cos(\varphi )\cdot \mu \cdot \dd s + \frac{ v^{2}}{ \varrho } \cdot m\cdot \mu \cdot\dd s[/latex] [latex]ds = \varrho \cdot \dd \varphi [/latex] [latex]v = \varrho \cdot \dot{\varphi }[/latex] [latex]\varrho = \varrho (\varphi )[/latex] [latex] \dd E = m\cdot g\cdot \cos(\varphi )\cdot \mu \cdot \varrho(\varphi ) \cdot \dd \varphi + \varrho ^{2} (\varphi ) \cdot \dot{\varphi ^{2}} \cdot m\cdot \mu \cdot\dd \varphi [/latex] Danach hängt die Reibarbeit vom Krümmungsverlauf ab. Liege ich falsch? Oder hast Du angenommen, dass v auf dem infinitesimalen Wegstück ds konstant ist?[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 13. Jul 2024 07:52<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>VeryApe hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">… und ich dachte wiederum man müsse das unter Gravitation und Haftreibung rechnen, damit da die Kurve überhaupt eine Rolle spielt.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />In Abwesenheit von Gravitation sowie bei Roll- oder Gleitreibung spielt die Krümmung eine Rolle, da sie in die Normalkraft eingeht. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>VeryApe hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Wahrscheinlich gilt sowieso je enger desto besser.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Nicht im beschriebenen Fall. Es geht ausschließlich um die Totalkrümmung also den erreichten Umlenkwinkel am Ende der Kurve. <br /> <br />Bei Anwesenheit von Gravitation tragen mehrere Effekte unterschiedlich bei; man müsste wohl wirklich durch diese ekligen Rechnungen durch.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>VeryApe</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Jul 2024 10:44<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">@TOMS achso und ich dachte wiederum man müsse das unter Gravitation und Haftreibung rechnen, damit da die Kurve überhaupt eine Rolle spielt. Wahrscheinlich gilt sowieso je enger desto besser. <br /> <br />@mathefix <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>mathefix hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Oder hast Du angenommen, dass v auf dem infinitesimalen Wegstück ds konstant ist?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Vermutlich meinst du hier etwas anderes. Man nimmt die Grössen über ein infinitesimalen Abschnitt immer als konstant an, weil der Fehler unendlich klein zum Quadrat ist. <br /> <br />angenommen v erhöht sich über ds auf v'=v+dv <br /> <br />ds=v*dt +dv*dt/2 <br /> <br />v*dt is bereits unendlich klein.-... dv*dt ist unendlich klein zum Quadrat. <br /> <br />bei der Aufsummierung über n Teile(wobei n unendlich groß) wird unendlichklein zu endlich -> Summe aller v*dt über n gleich s, aber unendlich klein zum Quadrat wird zu unendlich klein -> n*dv*dt ----> n*dv wird endlich zu v -> v*dt ist noch immer unendlich klein. <br />Also unendlich kleiner Fehler -> in die Tonne <br /> <br />es reicht ds=v*dt. oder hier <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v*dv+\frac{dv²}{2}=...."> dv²/2 in die Tonne, es reicht <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v*dv=..."> <br />siehe bei meinen Geschreibsel vorher im Thread. <br /> <br />Was meintest du eigentlich mit dieser Frage?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Jul 2024 09:51<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>VeryApe hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Was muß ich da dann noch viel herumrechnen?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Gefragt war nach der optimalen Kurve. <br /> <br />Zumindest mir war vorher nicht klar, dass dies auf die Totalkrümmung führt und damit die Details der Kurve irrelevant werden.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>VeryApe</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Jul 2024 09:28<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TOMS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ohne Gravitation ist das Problem analytisch lösbar </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ohne Gravitation verstehe ich ehrlich gesagt die ganze Herumrechnerei nicht <img src="images/smiles/kopfkratz.gif" alt="grübelnd" border="0" /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Veryape hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac {dv}{d\alpha}=-\mu_{g}*(v+\frac {g*sin \alpha*\varrho}{v})+\frac{g*cos \alpha*\varrho}{v}"></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ohne Gravitation müsste ja das gelten. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac {dv}{d\alpha}=-\mu_{g}*v"> <br /> <br />dann hängt alles nur von der Anfangsgeschwindigkeit und den Gleitreibungskoeffizienten ab. Was muß ich da dann noch viel herumrechnen <img src="images/smiles/kopfkratz.gif" alt="grübelnd" border="0" /> <br /> <br />Ich dachte mit Gravitation bekommt das Ganze erst einen Sinn. <img src="images/smiles/trink4.gif" alt="Prost" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Jul 2024 22:10<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Mathefix hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">1.Wenn v nicht konstant ist, wovon hängt v dann ab?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Im Fall ohne Grenzgeschwindigkeit wird eine Anfangsgeschwindigkeit benötigt. v hängt ab von dieser und vom "zurückgelegten" (Tangenten-)winkel. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">2. Wenn die infinitesimale Änderung von v klein d.h. vernachlässigbar ist, dann ist v als konstant anzunehmen, oder?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Du hast oben gefragt, ob v als auf dem Wegelement ds konstant angenommen wurde. Da war die Antwort (genaugenommen) nein, v nimmt entsprechend dE ab. Für den Grenzfall ds gegen null strebt v gegen einen Grenzwert. <br />Natürlich nimmt v über eine ausgedehnte, gekrümmte Strecke infolge der Gleitreibung ab. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">3. E ist zu minimieren. Min: E = Int dE <br />Wie lautet dann die Stammfunktion?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Betrachtet man E in Abhängigkeit von psi (Tangentenwinkel oder Winkel des Krümmungsradius), ohne Gravitation und Kurve durchwegs konvex, s.o. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{dE}{d\psi}=-m\mu v^2=-2\mu E,\quad E=E_0e^{-2\mu\Delta\psi}"> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">@Myon & Mathefix – <br /> <br />hatten wir das nicht schon geklärt?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Doch, eigentlich schon;)</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Jul 2024 20:43<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">@Myon & Mathefix – <br /> <br />hatten wir das nicht schon geklärt?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Jul 2024 20:31<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>VeryApe hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">@TomS hast du mal den Computerdrüber rechnen lassen …</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Nein. <br /> <br />Ohne Gravitation ist das Problem analytisch lösbar – s.o. Und mit Gravitation wird's eklig kompliziert, ohne dass man was lernt. Ich habe noch keinen Ansatz, der einfach genug ist, um ihn schnell auf den Computer setzen zu können. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>VeryApe hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">…ob es überhaupt zur Haftreibung kommt</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Wieso Haftreibung? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>VeryApe hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">bzw die Sinnhaftigkeit der Lösung überprüft? </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Die haben hier mehrere Leute unabhängig voneinander gefunden. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>VeryApe hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Und Gravitation einfach weglassen, wieso sollte dann irgendetwas vom Hochhaus fallen ohne Gravitation oder vom Berg? </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />In der Praxis leistet die Gravitation zweierlei: sie liefert die Anfangsgeschwindigkeit nach freiem Fall, und sie liefert eine ausgezeichnete Richtung mit zusätzlicher Beschleunigung d.h. Tangential- sowie zusätzlicher Normalkraft. Ersteres kann man auch durch eine Anfangsbedingung ersetzen, dazu braucht's keine Gravitation. <br /> <br />Die Bedingung für die Vernachlässigung der Gravitation habe ich oben abgeschätzt. Alles andere tue ich mir erst dann an, wenn ich vom Architekten des neuen Vergnügungsparks in Dubai den Vertrag vorliegen habe.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Jul 2024 18:36<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">@ Myon <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Myon hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Nein, das ist alles richtig, wobei die Energie natürlich abnimmt. v bleibt nicht konstant, aber die Änderung ist infinitesimal klein. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />1.Wenn v nicht konstant ist, wovon hängt v dann ab? <br />2. Wenn die infinitesimale Änderung von v klein d.h. vernachlässigbar ist, <br />dann ist v als konstant anzunehmen, oder? <br />3. E ist zu minimieren. Min: E = Int dE <br />Wie lautet dann die Stammfunktion?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>VeryApe</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Jul 2024 17:53<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">@TomS hast du mal den Computerdrüber rechnen lassen, ob es überhaupt zur Haftreibung kommt, bzw die Sinnhaftigkeit der Lösung überprüft? Da wird wohl die größere Zeit Gleitreibung vorliegen. Und Gravitation einfach weglassen, wieso sollte dann irgendetwas vom Hochhaus fallen ohne Gravitation oder vom Berg? klingt für mich alles nach > in die Tonne</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Jul 2024 22:29<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Man muss aufpassen, was welcher Winkel bedeutet. <br /> <br />Bei mir ist phi der Winkel für den Ortsvektor in Polarkoordinaten, psi dagegen der Winkel für den Geschwindigkeitsvektor, ebenfalls in Polarkoordinaten.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Jul 2024 21:39<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Nein, das ist alles richtig, wobei die Energie natürlich abnimmt. v bleibt nicht konstant, aber die Änderung ist infinitesimal klein. <br />Bei der Rechnung von TomS kam halt schön heraus, dass -ohne Gravitation- die Energieabnahme nur abhängt vom zurückgelegten Winkel und der Anfangsgeschwindigkeit, nicht von der Form der Kurve. Nachträglich leuchtet das relativ einfach ein, aber ich wäre nicht draufgekommen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 08. Jul 2024 11:17<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Myon hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?dE=-m\mu\frac{u^2}{r_\kappa}ds=-m\mu\frac{u^2}{r_\kappa}r_\kappa\,d\psi=-m\mu u^2\,d\psi"> <br /> <br />(steht natürlich schon oben) sieht man bereits, dass der gesamte Energieverlust unabhängig von der Krümmung bzw. vom Krümmungsverlauf ist, solange die Bahnkurve durchgehend konvex ist.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />@Myon <br />Ich hatte geschrieben <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?dE = m\cdot g\cdot \cos(\varphi )\cdot \mu \cdot \dd s + \frac{ v^{2}}{ \varrho } \cdot m\cdot \mu \cdot\dd s"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?ds = \varrho \cdot \dd \varphi "> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v = \varrho \cdot \dot{\varphi }"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varrho = \varrho (\varphi )"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \dd E = m\cdot g\cdot \cos(\varphi )\cdot \mu \cdot \varrho(\varphi ) \cdot \dd \varphi + \varrho ^{2} (\varphi ) \cdot \dot{\varphi ^{2}} \cdot m\cdot \mu \cdot\dd \varphi "> <br /> <br />Danach hängt die Reibarbeit vom Krümmungsverlauf ab. <br />Liege ich falsch? <br />Oder hast Du angenommen, dass v auf dem infinitesimalen Wegstück ds konstant ist?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Jul 2024 19:34<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Danke für den Einzeiler 🫣 <br /> <br />Ich habe ewig gebraucht, um zu erkennen, dass <br />- man es über s und kappa formulieren muss <br />- man es ohne g formulieren muss, weil damit der Constraint trivial wird <br />- ich daran die meiste Zeit verschwendet habe <br />- meine erste Idee die beste war, die aber nur ohne den Constraint funktioniert <br /> <br />Ich dachte, die Kugel fällt senkrecht und wird erst in Bodennähe umgelenkt. Ohne Gravitation sind Details aber eh egal. <br /> <br />Mit Gravitation muss ich mir überlegen, ob man Störungstheorie anwenden kann.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Jul 2024 19:17<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ja, das ist schön. Und es sollte auch richtig sein, denn aus <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?dE=-m\mu\frac{u^2}{r_\kappa}ds=-m\mu\frac{u^2}{r_\kappa}r_\kappa\,d\psi=-m\mu u^2\,d\psi"> <br /> <br />(steht natürlich schon oben) sieht man bereits, dass der gesamte Energieverlust unabhängig von der Krümmung bzw. vom Krümmungsverlauf ist, solange die Bahnkurve durchgehend konvex ist. <br /> <br />Im ersten Beitrag wurde ein Gebäude mit 828m Höhe erwähnt. Rein theoretisch müsste die Bahn von Beginn weg möglichst stark gekrümmt sein, denn je grösser die Höhendifferenz, umso grösser die Geschwindigkeit und damit die Normalkraft. Aber das ist natürlich praxisfremd, und die Frage war wahrscheinlich auch nicht so gemeint. Wobei ich diesbezüglich ohnehin nicht sicher bin - war die Frage etwa so gemeint, dass die Kugel den Boden berühren soll? Das wäre wahrscheinlich noch ein schwieriges Optimierungsproblem.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Jul 2024 09:11<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich lasse im Folgenden die Gravitation weg. Dadurch vereinfacht sich das Problem erheblich, da nur Kräfte entlang der Kurve vorliegen. <br /> <br />Der Energieverlust lautet <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?- dE = F \cdot ds = \mu m \, A \cdot ds"> <br /> <br />Ich setze <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u = \dot{s}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{r} = u \, \hat{e}_t"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\ddot{r} = \dot{u} \, \hat{e}_t + u^2 \kappa \, \hat{e}_n"> <br /> <br />Dabei ist kappa die Krümmung entlang der Kurve. <br /> <br /><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Frenet%E2%80%93Serret_formulas" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/Frenet%E2%80%93Serret_formulas</a> <br /> <br />Für die Radialbeschleunigung gilt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A = (\hat{e}_n , \ddot{r}) = u^2 \kappa"> <br /> <br />Mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E = \frac{m}{2} u^2"> <br /> <br />folgt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{E} = - \mu m \, A u = - \mu m \, u^3 \kappa "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{u} = - \mu A = - \mu \, u^2 \kappa "> <br /> <br />Ich möchte das aber mittels der Bogenlänge s ausdrücken, also <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E^\prime = - \mu m \, u^2 \kappa"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u^\prime = - \mu \, u \kappa"> <br /> <br />Die letzte Gleichung kann ich exakt integrieren. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u(s) = u_0 \, \exp\left( - \mu \int_0^s d\sigma \, \kappa \right)"> <br /> <br />Zu minimieren ist der Energieverlust entlang der Kurve, d.h. zu maximieren ist die Endgeschwindigkeit nach Durchlaufen der Kurve. <br /> <br />Ich verwende die Parametrisierung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r = (x, y) = \int_0^s d\sigma \, (\cos\psi, \sin\psi) = \int_0^\phi d\psi \, \frac{d\sigma}{d\psi} \, (\cos\psi, \sin\psi) "> <br /> <br /><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Whewell_equation" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/Whewell_equation</a> <br /> <br />Dabei ist wieder s bzw. sigma <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sigma = \sigma(\psi)"> <br /> <br />die Bogenlänge der Kurve als Funktion des Winkels psi. <br /> <br />Das Integral lautet dann <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int d\sigma \, \kappa = \int d\psi \, \frac{d\sigma}{d\psi} \, \kappa = \int d\psi "> <br /> <br />da <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{d\sigma}{d\psi} = \kappa^{-1}"> <br /> <br />Die Nebenbedingungen an die Kurve C seien, <br />1. dass sie konvex *) ist, d.h. dass überall positive Krümmung vorliegt, und <br />2. dass ein fester Umlenkwinkel vorgegeben ist. <br />Ausgedrückt durch diesen erhalten wir <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \int_C d\sigma \, \kappa = \int_0^{\psi_0} d\psi = \psi_0"> <br /> <br />und damit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u[C] = u_0 \, e^{- \mu \psi_0} "> <br /> <br />Das Integral ist übrigens die sogenannte Totalkrümmung <br /> <br /><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Total_curvature" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/Total_curvature</a> <br /> <br />Alle konvexen *) Kurven mit gegebenen Umlenkwinkel liefern die selbe Endgeschwindigkeit, die weitere Form der Kurven ist irrelevant! Dieses Ergebnis hängt außerdem nicht von der Anfangsgeschwindigkeiten oder dem Reibungskoeffizienten ab. <br /> <br />Schönes Ergebnis – also bitte nachprüfen. <br /> <br /> <br />Was sagt das für die ursprüngliche Fragestellung? Wenig – es sei denn, es gilt entlang der Kurve <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A = u^2 \kappa \gg g"> <br /> <br />Für eine grobe Näherung setzen wir <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u^2 \sim 2gh"> <br /> <br />Damit folgt für den Krümmungsradius <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r_\kappa = \kappa^{-1}"> <br /> <br />die Bedingung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r_\kappa \ll 2h"> <br /> <br />d.h. für Kurven mit wenigen Metern Durchmesser ist deren genaue Form irrelevant; für eine Umlenkung von 180° gilt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u_\pi = u_0 \, e^{-\pi \mu}"> <br /> <br />Die exakte Einbeziehung der Gravitation macht das Ganze deutlich komplizierter, da die Differentialgleichung für u(s) nicht mehr exakt integrierbar ist. Weiter verkompliziert wird das ganze durch die Betrachtung realer Kugeln mit Rotationsenergie. <br /> <br /> <br />*) die Beschränkung auf konvexe Kurven ist rein technisch; wenn man abschnittsweise wechselnde Krümmung geeignet betrachtet, funktioniert das für beliebige genügend oft differenzierbare Kurven</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Jul 2024 15:15<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich habe wenig Zeit, mich dem Thema zu widmen. Trotzdem mal eine kurze Zusammenfassung meiner Ideen. <br /> <br />Ich starte mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?L^\ast = L + m \lambda C"> <br /> <br />wobei C einen Constraint bezeichnen, der den Körper auf eine 1-dim. Kurve zwingt. In unserem Fall für eine konvexe Kurve wäre das z.B. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?C = r^2 - c^2(\phi)"> <br /> <br />mit einer gegebenen Funktion c; (hier und m folgenden bezeichnet r immer den Ortsvektor) <br /> <br />Das brauchen wir aber erst mal nicht. <br /> <br />Die bekannte Lagrangefunktion lautet <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?L = \frac{m}{2} \dot{r}^2 + mgz"> <br /> <br />Daraus folgen die beiden Euler-Langrange-Gleichungen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m\ddot{r} + mge_z + m \lambda \nabla C = 0"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?C = 0"> <br /> <br />Der Gradient des Constraints liefert die Zwangskräfte, um den Körper auf der Kurve zu halten. <br /> <br />Nun erweitern wir das Problem um einen Reibungsterm <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m\ddot{r} + mge_z + m \lambda \nabla C + m \mu A e_t = 0"> <br /> <br />mu ist der Reibungskoeffizient. <br /> <br />A ist die lokale Normalbeschleunigung mit zwei Beiträgen, von der Krümmung der Kurve sowie von der Gravitation <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A_\kappa = \kappa v^2"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A_g = (e_z, e_n )"> <br /> <br />wobei ich in der letzten Formel die z-Richtung auf den lokalen Normalen-Einheitsvektor projiziere; (,) bezeichnet das Skalaprodukt. <br /> <br />Die m.M.n. einfachste Konstruktion folgt aus dem Tangenten-Einheitsvektor <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?e_t = v^{-1} \dot{r}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?e_n = \Omega e_t"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(e_z, e_n) = (e_z, \Omega e_t)"> <br /> <br />Omega bezeichnet eine 90°-Rotation. <br /> <br />Für die Beschleunigung gilt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\ddot{r} = \dot{v} e_t + \kappa v^2 e_n"> <br /> <br />Damit folgt für die skalare Krümmung kappa (proportional zu 1 / Krümmungsradius) <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A_\kappa = \kappa v^2 = (\ddot{r}, e_n) = v^{-1}(\ddot{r}, \Omega \dot{r})"> <br /> <br />und somit letztlich <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A = A_\kappa + A_g = v^{-1}(\ddot{r} + g e_z, \Omega \dot{r})"> <br /> <br />Die beiden Euler-Langrange-Gleichungen lauten <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m\ddot{r} + mge_z + m \lambda \nabla C + m \mu v^{-2} (\ddot{r} + g e_z, \Omega \dot{r}) \dot{r} = 0"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?C = 0"> <br /> <br />Mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(\nabla C, \dot{r}) = 0"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m\ddot{r}\dot{r} + mg e_z \dot{r} = \frac{d}{dt} \left( \frac{m}{2} + mgz \right) = \dot{E} "> <br /> <br /><span style="font-weight: bold"><span style="color: darkred">liefert die Projektion auf die Geschwindigkeit sowie auf die Normale</span></span> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{E} + m \mu (\ddot{r} + g e_z, \Omega \dot{r}) = 0"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m (\ddot{r} + g e_z, \Omega \dot{r}) + m \lambda (\nabla C, \Omega \dot{r})= 0"> <br /> <br />Bei gegebener Kurve wären nur diese Gleichungen zu lösen. <br /> <br />Nun wollen wir jedoch die Kurve bestimmen, die den Energieverlust minimiert, d.h. zu minimieren ist <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta E[C] = \int_C ds \, F = \int_0^T dt \, \dot{E} = - m\mu \int_0^T dt \, (\ddot{r} + g e_z, \Omega \dot{r}) = m\mu \int_0^T dt \, \lambda (\nabla C, \Omega \dot{r}) "> <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Da die Zwangskräfte orthogonal zur gesuchten Kurve und damit parallel zum Gradienten sind, <span style="color: darkred">folgt</span> </span> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta E[C] = m\mu \int_0^T dt \, v \lambda \left| \nabla C \right| "> <br /> <br />Außerdem gilt in Polarkoordinaten <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r(\phi) = c(\phi) \, e_r(\phi) "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{r} = c^\prime \dot{\phi} e_r + c \dot{\phi} e_\phi"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v = \sqrt{c^2 + {c^\prime}^2} \, \dot{\phi}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?dt = d\phi \, \dot{\phi}^{-1}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta E[C] = m\mu \int_{\pi}^{2\pi} d\phi \, \lambda \, \sqrt{c^2 + {c^\prime}^2} \, \left| \nabla (r^2 - c^2) \right| "> <br /> <br />wobei c eine konvexe Kurve beschreibt, die einen nach oben geöffneten, konvex deformierten Halbkreis beschreibt. <br /> <br />An der Stelle bin ich mir nicht sicher, ob alle Rechnungen korrekt sind, ob ich nicht doch irgendwelche Bedingungen verloren habe, und ob ich den Lagrange-Multiplikator lambda doch noch loswerden kann oder muss. Letzterer kommt ins Spiel, da ich die zweite Bewegungsgleichung nutze, um zweite Ableitung von r zu eliminieren. <br /> <br />M.a.W., es wäre schön, wenn mal jemand drüberschauen würde.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /><span style="font-weight: bold">Das</span> ist zwar richtig, aber <span style="font-weight: bold"><span style="color: darkred">das folgende</span></span> evtl. nicht mehr, da <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{r} \, \nabla C \neq 0"> <br /> <br />sondern lediglich <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{r} \, \nabla C \Big|_{C=0} = 0"> <br /> <br />d.h. nur wenn C=0 erfüllt ist. Man darf den Constraint nicht zu früh Null setzen. Ich verliere Bedingungen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Jul 2024 21:58<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>VeryApe hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Mathefix hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>VeryApe hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{N}=\frac {m*v²}{\varrho}+m*g*sin \alpha "> <br /> <br />je kleiner der Krümmungsradius umso besser. Aber Grenzgeschwindigkeit durch Luftwiderstand gibts in dem Beispiel wohl nicht.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Muss es nicht heissen? <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{N}=\frac {m*v²}{\varrho}+m*g*cos \alpha "> <br /> <br />Je grösser der Krümmungsradius, desto geringer die Zentripetalkraft und desto grösser der Anteil der Gewichtskraft.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />wahrscheinlich hast du den Winkel anders im Kopf. Ich hatte das vor Augen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />ok, kann man machen. Üblicherweise wird aber der Steigungswinkel zur Horizontalen genommen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>VeryApe</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Jul 2024 16:16<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Mathefix hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>VeryApe hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{N}=\frac {m*v²}{\varrho}+m*g*sin \alpha "> <br /> <br />je kleiner der Krümmungsradius umso besser. Aber Grenzgeschwindigkeit durch Luftwiderstand gibts in dem Beispiel wohl nicht.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Muss es nicht heissen? <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{N}=\frac {m*v²}{\varrho}+m*g*cos \alpha "> <br /> <br />Je grösser der Krümmungsradius, desto geringer die Zentripetalkraft und desto grösser der Anteil der Gewichtskraft.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />wahrscheinlich hast du den Winkel anders im Kopf. Ich hatte das vor Augen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Jul 2024 13:18<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Mathefix hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Sieht m.E. gut aus. "g" ist irgendwo verschwunden.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />g verschwindet, wenn man die Normalbeschleunigung mittels der Zwangskraft ausdrückt. Ich bin mir aber unsicher, ob das vollständig ist.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Jul 2024 12:06<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"><img src="images/smiles/rock2.gif" alt="Rock" border="0" /> <br /> <br />Und sonst?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Sieht m.E. gut aus. "g" ist irgendwo verschwunden. <br /> <br />Das die Kurve konkav sein muss ist klar, auch das sie kein Halbkreis ist. <br />Welcher bekannten Funktion ist sie ähnlich?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Jul 2024 22:42<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><img src="images/smiles/rock2.gif" alt="Rock" border="0" /> <br /> <br />Und sonst?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Jul 2024 22:30<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">@TomS <br />Die Bahnkurve ist konkav. <br />"Ist das Mädchen brav, ist der Bauch konkav. Ist der Bauch konvex, hatte das Mädchen Sex" <img src="images/smiles/biglaugh.gif" alt="Big Laugh" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 03. Jul 2024 17:44<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich habe wenig Zeit, mich dem Thema zu widmen. Trotzdem mal eine kurze Zusammenfassung meiner Ideen. <br /> <br />Ich starte mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?L^\ast = L + m \lambda C"> <br /> <br />wobei C einen Constraint bezeichnen, der den Körper auf eine 1-dim. Kurve zwingt. In unserem Fall für eine konvexe Kurve wäre das z.B. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?C = r^2 - c^2(\phi)"> <br /> <br />mit einer gegebenen Funktion c; (hier und m folgenden bezeichnet r immer den Ortsvektor) <br /> <br />Das brauchen wir aber erst mal nicht. <br /> <br />Die bekannte Lagrangefunktion lautet <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?L = \frac{m}{2} \dot{r}^2 + mgz"> <br /> <br />Daraus folgen die beiden Euler-Langrange-Gleichungen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m\ddot{r} + mge_z + m \lambda \nabla C = 0"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?C = 0"> <br /> <br />Der Gradient des Constraints liefert die Zwangskräfte, um den Körper auf der Kurve zu halten. <br /> <br />Nun erweitern wir das Problem um einen Reibungsterm <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m\ddot{r} + mge_z + m \lambda \nabla C + m \mu A e_t = 0"> <br /> <br />mu ist der Reibungskoeffizient. <br /> <br />A ist die lokale Normalbeschleunigung mit zwei Beiträgen, von der Krümmung der Kurve sowie von der Gravitation <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A_\kappa = \kappa v^2"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A_g = (e_z, e_n )"> <br /> <br />wobei ich in der letzten Formel die z-Richtung auf den lokalen Normalen-Einheitsvektor projiziere; (,) bezeichnet das Skalaprodukt. <br /> <br />Die m.M.n. einfachste Konstruktion folgt aus dem Tangenten-Einheitsvektor <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?e_t = v^{-1} \dot{r}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?e_n = \Omega e_t"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(e_z, e_n) = (e_z, \Omega e_t)"> <br /> <br />Omega bezeichnet eine 90°-Rotation. <br /> <br />Für die Beschleunigung gilt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\ddot{r} = \dot{v} e_t + \kappa v^2 e_n"> <br /> <br />Damit folgt für die skalare Krümmung kappa (proportional zu 1 / Krümmungsradius) <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A_\kappa = \kappa v^2 = (\ddot{r}, e_n) = v^{-1}(\ddot{r}, \Omega \dot{r})"> <br /> <br />und somit letztlich <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?A = A_\kappa + A_g = v^{-1}(\ddot{r} + g e_z, \Omega \dot{r})"> <br /> <br />Die beiden Euler-Langrange-Gleichungen lauten <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m\ddot{r} + mge_z + m \lambda \nabla C + m \mu v^{-2} (\ddot{r} + g e_z, \Omega \dot{r}) \dot{r} = 0"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?C = 0"> <br /> <br />Mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(\nabla C, \dot{r}) = 0"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m\ddot{r}\dot{r} + mg e_z \dot{r} = \frac{d}{dt} \left( \frac{m}{2} + mgz \right) = \dot{E} "> <br /> <br />liefert die Projektion auf die Geschwindigkeit sowie auf die Normale <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{E} + m \mu (\ddot{r} + g e_z, \Omega \dot{r}) = 0"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m (\ddot{r} + g e_z, \Omega \dot{r}) + m \lambda (\nabla C, \Omega \dot{r})= 0"> <br /> <br />Bei gegebener Kurve wären nur diese Gleichungen zu lösen. <br /> <br />Nun wollen wir jedoch die Kurve bestimmen, die den Energieverlust minimiert, d.h. zu minimieren ist <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta E[C] = \int_C ds \, F = \int_0^T dt \, \dot{E} = - m\mu \int_0^T dt \, (\ddot{r} + g e_z, \Omega \dot{r}) = m\mu \int_0^T dt \, \lambda (\nabla C, \Omega \dot{r}) "> <br /> <br />Da die Zwangskräfte orthogonal zur gesuchten Kurve und damit parallel zum Gradienten sind, folgt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta E[C] = m\mu \int_0^T dt \, v \lambda \left| \nabla C \right| "> <br /> <br />Außerdem gilt in Polarkoordinaten <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r(\phi) = c(\phi) \, e_r(\phi) "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{r} = c^\prime \dot{\phi} e_r + c \dot{\phi} e_\phi"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v = \sqrt{c^2 + {c^\prime}^2} \, \dot{\phi}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?dt = d\phi \, \dot{\phi}^{-1}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta E[C] = m\mu \int_{\pi}^{2\pi} d\phi \, \lambda \, \sqrt{c^2 + {c^\prime}^2} \, \left| \nabla (r^2 - c^2) \right| "> <br /> <br />wobei c eine konvexe Kurve beschreibt, die einen nach oben geöffneten, konvex deformierten Halbkreis beschreibt. <br /> <br />An der Stelle bin ich mir nicht sicher, ob alle Rechnungen korrekt sind, ob ich nicht doch irgendwelche Bedingungen verloren habe, und ob ich den Lagrange-Multiplikator lambda doch noch loswerden kann oder muss. Letzterer kommt ins Spiel, da ich die zweite Bewegungsgleichung nutze, um zweite Ableitung von r zu eliminieren. <br /> <br />M.a.W., es wäre schön, wenn mal jemand drüberschauen würde.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 02. Jul 2024 15:15<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Warum eine Brachistochrone? <br /> <br /> <br />Hier wollen wir aber <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta E[C] = \int_0^T dt \, \dot{E} = \int_C ds \, \mu \left| F_n \right| "> <br /> <br />minimieren, wobei Energieerhaltung gerade nicht gilt.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich weiss nicht, ob man den Reibungsterm isoliert betrachten kann. Ich folge aber Deinem Vorschlag: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E_R =m \cdot \mu \cdot \int (g\cdot \cos(\alpha) +\frac{v^{2} }{\varrho } ) \cdot \dd s"> <br /> <br />mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v^{2} = 2\cdot g\cdot y"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\cos(\alpha), \varrho, \dd s"> s.o. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?Min: E_R = m\cdot g\cdot \mu \cdot (x + 2\cdot \int\frac{y\cdot \frac{\dd_2 y}{\dd x^{2}} }{1+(\frac{\dd y}{\dd x} )^{2} } \cdot \dd x )"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 02. Jul 2024 13:22<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Warum eine Brachistochrone? <br /> <br />Diese minimiert <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?T[C] = \int_0^T dt = \int_C ds \, \dot{s}^{-1}"> <br /> <br />wobei Energieerhaltung verwendet wird. <br /> <br />Hier wollen wir aber <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta E[C] = \int_0^T dt \, \dot{E} = \int_C ds \, \mu \left| F_n \right| "> <br /> <br />minimieren, wobei Energieerhaltung gerade nicht gilt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 02. Jul 2024 12:25<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>VeryApe hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{N}=\frac {m*v²}{\varrho}+m*g*sin \alpha "> <br /> <br />je kleiner der Krümmungsradius umso besser. Aber Grenzgeschwindigkeit durch Luftwiderstand gibts in dem Beispiel wohl nicht.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Muss es nicht heissen? <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{N}=\frac {m*v²}{\varrho}+m*g*cos \alpha "> <br /> <br />Je grösser der Krümmungsradius, desto geringer die Zentripetalkraft und desto grösser der Anteil der Gewichtskraft.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 02. Jul 2024 11:46<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Meine Überlegung: <br />Da Rotation und Reibung die Geschwindigkeit der Masse reduzieren und v_0 eine Konstante ist, hat die Bahnkurve die geringsten "Energieverluste", bei der die Bewegungszeit der Masse minimal ist. <br /> <br />M.E. Ist die Bahnkurve einer Brachistochrone (v_0=0, I=0, mü=0) ähnlich <br /> <br />Grundgleichung (m der Übersicht halber gekürzt) <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{1}{2}\cdot v_0^{2} - g\cdot y = \frac{1}{2}\cdot (1+\frac{I}{m\cdot r^{2} })\cdot v^{2} +\mu \cdot \int (g\cdot \cos(\alpha) +\frac{v^{2} }{\varrho } ) \cdot \dd s"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v^{2} = v_x^{2}+ v_y^{2} = \left(\frac{\dd x}{\dd t}\right)^{2} + \left( \frac{\dd y}{\dd t}\cdot \frac{\dd x}{\dd x}\right)^{2} = \left(\frac{\dd x}{\dd t}\right)^{2}\cdot \left(1+\left(\frac{\dd y}{\dd x}\right) ^{2}\right)"> <br /> <br />Homogene Kugel <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \frac{1}{2}\cdot (1+\frac{I}{m\cdot r^{2} }) = 0,7"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\cos(\alpha ) = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{\dd y}{\dd x}\right)^{2} } } "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varrho =\frac{\left(\left(1+(\frac{\dd y}{\dd x}\right )^{2}\right) ^{\frac{3}{2} } }{\frac{\dd_2 y}{\dd x} } "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?ds = \sqrt{1+ \left (\frac{\dd y}{\dd x} \right )^{2} } \cdot \dd x "> <br /> <br />Einsetzen und nach <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\dd t}{\dd x} = \sqrt{...} "> <br />umstellen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?T_{min =}"> <br /> <br />Die Herleitung tue ich mir nicht an.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 01. Jul 2024 15:43<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Das ist zu einfach gedacht, fürchte ich. <br /> <br />Ich grüble aber selbst noch daran.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>VeryApe</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 01. Jul 2024 13:23<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Wenn man das mit Gleitreibung betrachten würde, was bei der Geschwindigkeit und überhaupt keiner Rotation zu Beginn mal plausibel wäre, macht das ganze überhaupt keinen Sinn. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{N}=\frac {m*v²}{\varrho}+m*g*sin \alpha "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{R}=\mu_{g}*F_{N}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac {m (*v'²-v²)}{2}=-\mu_{g}*m(\frac{v²}{\varrho}+g*sin \alpha)d\alpha*\varrho+g*cos \alpha*\varrho*d\alpha"> <br /> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v*dv+\frac{dv²}{2}=-\mu_{g}*(v²+g*sin \alpha*\varrho)*d\alpha+g*cos \alpha*\varrho*d\alpha"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac {dv}{d\alpha}=-\mu_{g}*(v+\frac {g*sin \alpha*\varrho}{v})+\frac{g*cos \alpha*\varrho}{v}"> <br /> <br />je kleiner der Krümmungsradius umso besser. Aber Grenzgeschwindigkeit durch Luftwiderstand gibts in dem Beispiel wohl nicht.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Jun 2024 14:27<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Du hast recht, die Rotation muss aus dem von dir genannten Grund berücksichtigt werden. <br /> <br />Damit haben wir mehrere Parameter, nämlich den (fue) Reibungskoeffizienten, den Radius und die Masse, sowie natürlich die Anfangsgeschwindigkeit.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Jun 2024 12:43<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Hier meine Idee, noch unfertig, zunächst ohne Rotationsenergie und Gravitation. <br />... <br />Die Rollbedingung und die Rotationsenergie benötigt man m.E. nicht, da ja nur der Energieverlust gesucht ist, und in den geht ausschließlich die Reibungskraft ein. Diese kann man zunächst unabhängig von der Geschwindigkeit ansetzen. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Die Rotationsenergie muss beachtet werden, da sie die Translationsgeschwindigkeit reduziert, welche wiederum Bestandteil der Zentripetalkraft ist. Diese wiederum bestimmt die Reibkraft bzw. Reibarbeit. <br /> <br />Translatorische Anfangsenergie der Kugel <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E_0 = \frac{1}{2} \cdot m\cdot v_0^{2} "> <br /> <br />G = Gleiten <br />R = Rollen <br /> <br />Kugel gleitet <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v_G =\sqrt{\frac{2\cdot E_0}{m} }= v_0"> <br /> <br />Kugel rollt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v_R = \sqrt{\frac{2\cdot E_0}{m +\frac{I}{r^{2} } } } = \frac{v_0}{\sqrt{1+\frac{I}{m \cdot r^{2} } } } "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? v_R < v_G"> <br /> <br />Zentripetalkraft <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{z_G} = \frac{m\cdot v_G^{2} }{r} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{z_R} = \frac{m\cdot v_R^{2} }{r}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{z_R} < F_{z_G} \rightarrow W_R < W_G"> <br /> <br />Homogene Kugel <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?I = \frac{2}{5} \cdot m\cdot r^{2} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v_R = 0,85\cdot v_0 = 0,85 \cdot v_G"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v_R^{2} = 0,71 \cdot v_G^{2} \rightarrow W_R = 0,71 \cdot W_G"> <br /> <br />Der Einfluss der Rotation ist nicht vernachlässigbar klein. <br /> <br />Ich stimme zu, dass <br /> <br />a) die Bahnkurve konkav ist <br />b) die Aufgabe nicht in 5 Minuten lösbar ist.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Jun 2024 11:57<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Meiner Meinung nach hängt das davon ab, was genau minimiert werden soll. Ich verstehe es bisher so, dass der Energieverlust durch Reibung zu eliminieren ist, also <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\text{min}_{\,C} \, \Delta E[C] = \text{min}_{\,C} \, \int_C dE"> <br /> <br />bei festgehaltenen Endpunkten und -richtungen der Kurve C und bekannter Anfangsgeschwindigkeit. Die Reibungskraft ist dabei gegeben durch die Projektion der jeweiligen Kraft auf den Normalenvektor von C. <br /> <br />M.E. benötigt man die Bewegungsgleichung inkl. dem Reibungsterm, unter der Nebenbedingung, dass die zunächst 2-dim. Bewegung auf auf C erfolgt. <br /> <br />In einer Dimension wäre das zunächst <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m\ddot{z} + b_v + mg = 0"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E = \frac{m}{2} \dot{z}^2 + mgz"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{E} = m\dot{z}\ddot{z} + mg\dot{z}"> <br /> <br />Also <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{E} = - b_v\, \dot{z}"> <br /> <br />Der analoge Ausdruck im zwei Dimensionen ist zu integrieren entlang der Kurve, und zwar für alle Kurven C mit festgehaltenen Endpunkten und -richtungen. Da weder die Gesamtzeit T noch die -strecke S fest bzw. bekannt sind, benötigt man m.E. ein Integral über den Winkel. <br /> <br />Das mag zwar auf eine Klothoide hinauslaufen, aber ich sehe das nicht. Außerdem würde es mich wundern, wenn das unter dem Einfluss der Gravitation auch noch gelten würde.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Steffen Bühler</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Jun 2024 10:50<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Willkommen auch im Physikerboard! <br /> <br />Ich verstehe Deine Frage so, dass die auffangende Konstruktion einfach sowenig Kräfte nach unten wie möglich abbekommen soll, wenn die Kugel durchfällt. Das entspricht dem Problem bei einer Achterbahn und bei jedem Kurvenabschnitt einer Straße. Hier müssen ebenfalls die Querkräfte minimiert werden. Die Lösung dafür hatte ich im Matheboard ja schon genannt: die Kurve wird in diesem Fall durch eine <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Klothoide" target="_blank" class="postlink">Klothoide</a> beschrieben. Das sollte dann auch für das U-Rohr gelten. <br /> <br />Viele Grüße <br />Steffen</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>T-orben</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Jun 2024 10:13<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Vielen Dank für die sehr ausführlichen Informationen aber ich hätte nicht im Ansatz gedacht was meine Frage so nach sich zieht. Es kommt hinzu, dass ich hier völlig raus bin. Immerhin hat der eine oder die andere Spaß gehabt aber vielleicht findet sich ja jemand die/der den Weg noch ein Stückchen weiter gehen möchte. <br /> <br />In fassungsloser Bewunderung <br />Torben</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 29. Jun 2024 08:55<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hier meine Idee, noch unfertig, zunächst ohne Rotationsenergie und Gravitation. <br /> <br />Wir benötigen eine Parametrisierung der Bahnkurve. Ist diese konvex, so sollte folgendes funktionieren: <br /> <br /><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Whewell_equation" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/Whewell_equation</a> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r = (x, y) = \int_0^s d\sigma \, (\cos\psi, \sin\psi) = \int_0^\phi d\psi \, \frac{d\sigma}{d\psi} \, (\cos\psi, \sin\psi) "> <br /> <br />Dabei ist <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sigma = \sigma(\psi)"> <br /> <br />die Bogenlänge der Kurve als Funktion des Winkels psi. <br /> <br />Außerdem soll gelten <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{d\sigma}{d\psi} > 0 "> <br /> <br />Die Kurve ist damit automatisch konvex. <br /> <br />Gesucht ist also ein Extremum über alle positiven Funktionen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f = \sigma^\prime > 0"> <br /> <br />Diese Bedingung muss man aber noch implementieren. <br /> <br />Nun kann man entscheiden, für was man ein Extremum sucht, z.B. für den Energieverlust durch Reibung. Dazu benötigt man <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?v = \dot{r}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a = \ddot{r}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?|v| = \dot{s}"> <br /> <br />Man muss außerdem im folgenden die Zeit loswerden. <br /> <br />Die radiale Beschleunigungskomponente, senkrecht zur tangentialen Bahngeschwindigkeit, liefert die Reibungskraft. Das kann man noch durch die Normalkomponente der Gravitation ergänzen. <br /> <br />Die Rollbedingung und die Rotationsenergie benötigt man m.E. nicht, da ja nur der Energieverlust gesucht ist, und in den geht ausschließlich die Reibungskraft ein. Diese kann man zunächst unabhängig von der Geschwindigkeit ansetzen. <br /> <br />Der Ansatz sieht nicht so aus, als man damit in fünf Minuten durch wäre.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 28. Jun 2024 21:56<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ok, dann kann das Rohr eigtl. nicht exakt senkrecht verlaufen, weil die Kugel dann nicht weiß, wie sie rotieren soll. <br /> <br />Einigen wir uns auf eine nach oben offene, überall konvexe Kurve?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 28. Jun 2024 20:56<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Mathefix hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Das Ergebnis aus dem Matheboard würde mich interessieren.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Die kriegen den Ansatz nicht hin. <br /> <br />Erklärst du deinen? <br /> <br />Du nimmst an, dass wann genau die Rollbedingung im U-Rohr *) gilt? D.h. es wirkt die Reibungskraft aufgrund der Anpresskraft, d.h. Projektion der Zentrifugal- plus Gravitationskraft? <br /> <br />*) das wir mal so nennen wollen, obwohl wir die Form noch nicht kennen</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Hallo TomS <br />Die Rollbewegung beginnt instantan sobald sich die Kugel um die Strecke ds = rho * d(phi) auf der Bahnkurve bewegt hat. Die Reibkraft F_R= Normalkraft F_N*mü übt das Drehmoment <br />M = F_R*r aus, wobei gilt M <= I*alpha. F_N = Zentripetalkraft + Gewichtskraft. <br />Ich denke nochmal grundsätzlich nach, ob in diesem Fall die Arbeit nicht unabhängig vom Weg ist. <br />Gruss Mathefix</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Thorben</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 28. Jun 2024 18:57<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Eines vorweg - ich bin was Mathe und Physik angeht dicht an der Amöbe. Ich habe weder das eine noch das andere studiert und bin nur neugierig und finde halt an der einen oder anderen Sache Spaß. <br /> <br />Die Kardinalfrage ist doch wie die Umlenkung der nach unten gerichteten Kraft, mit tunlichst geringen Verlusten passieren kann. Wenn ich mir vorstelle wie ein Flugzeugreifen bei der Landung malträtiert wird, wird das Hauptproblem wohl die Reibung sein. <br />Leider habe ich keine Vorstellung in welcher Höhe angefangen werden muss die Kugel von der Senkrechten abzubringen, daher kann ich natürlich auch nicht angeben welchen Durchmesser dieses Konstrukt haben müsste. <br />Mein Ansatz ist lediglich: Wenn das für die Kegelkugel herauszubekommen ist, müsste es doch auch für jedes kugelförmige Objekt gelten, immer im entsprechenden Verhältnis zum Durchmesser.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 28. Jun 2024 18:22<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Mathefix hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Das Ergebnis aus dem Matheboard würde mich interessieren.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Die kriegen den Ansatz nicht hin. <br /> <br />Erklärst du deinen? <br /> <br />Du nimmst an, dass wann genau die Rollbedingung im U-Rohr *) gilt? D.h. es wirkt die Reibungskraft aufgrund der Anpresskraft, d.h. Projektion der Zentrifugal- plus Gravitationskraft? <br /> <br />*) das wir mal so nennen wollen, obwohl wir die Form noch nicht kennen</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Mathefix</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 28. Jun 2024 16:05<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Thorben hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Vielen Dank für die schnelle Antwort. Dann werde ich im Matheboard meine Frage einstellen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Die "Rohgleichung" lautet: <br /> <br />I = Massenträgheitsmoment Kugel <br />m = Masse Kugel <br />r = Radius Kugel <br />rho = Radius Krümmungskreis Bahnkurve <br />omega = Winkelgeschwindigkeit <br />mü = Reibungskoeffizient <br />phi = Steigungswinkel Bahnkurve, Drehwinkel rho <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?Min: W = \int_a^b (I+ m\cdot r^{2} ) \cdot \omega \ \cdot \dd \omega + \int_a^b (m\cdot \varrho \cdot \omega ^{2}+m\cdot g\cdot \cos(\varphi ) \cdot \mu \cdot \varrho \cdot \dd \varphi "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega = \omega (\varphi ) = \dot{\varphi } "> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\varrho = \varrho (\varphi )"> <br /> <br />1. Term: Bewegungsenergie <br />2. Term Reibarbeit <br /> <br />Randbedingungen: <br />a)Anfangs- und Endpunkt der Bahnkurve liegen auf gleicher gegebener Höhe <br />b)Horizontaler Abstand Anfangs- und Endpunkt ist gegeben <br />c) An Anfangs- und Endpunkt senkrechter Eintritt bzw. Austritt der Kugel <br /> <br />PS <br />Das Ergebnis aus dem Matheboard würde mich interessieren.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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