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[quote="Sirius02"][b]Meine Frage:[/b] Hey ihr lieben. Im Anhang seht ihr die Aufgabe und auch die Lösungen aus dem tut. Ich änge nun an der b) und kann absolut nicht nachvollziehen was wir da gemacht haben [b]Meine Ideen:[/b] Ich verstehe auch nicht so recht wie man jm k,eine auslenkungen entwickelt. Ich wäre so dankbar, wenn sich jmd die Zeit nehmen würde, mir Schritt für Schritt zu helfen, die Aufgabe nachvollziehen zu können.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Myon</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 07. Jul 2024 21:27<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ist jetzt schon eine gute Woche alt, aber ich war bis vor kurzem im Spital. <br />Zuerst eine Bemerkung zu Teil a): Hier ist die Musterlösung m.E. unnötig kompliziert. Der Weg über die Hamilton-Funktion ist völlig unnötig. Es wird dann auch immer wieder hin- und hergewechselt zwischen verallgemeinerten Impulsen und verallgemeinerten Geschwindigkeiten. <br /> <br />Die Ruhelage folgt einfach aus der Euler-Lagrange-Gleichung, wobei <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{R}=0, \quad \ddot{R}=0"> <br /> <br />gesetzt wird. <br /> <br />Zu b): Aus der Euler-Lagrange-Gleichung folgt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(1+(AnR^{n-1})^2)\ddot{R}=R\omega^2-A^2n^2(n-1)\dot{R}^2R^{2n-3}-gnAR^{n-1}\quad (\star)"> <br /> <br />Nun wird untersucht, wie die Beschleunigung ändert bei kleinen Auslenkungen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta R, \delta\dot{R}"> aus der Ruhelage <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?R_0"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{R}_0=0">. Die aus der Bewegungsgleichung folgende Änderung der Beschleunigung wird in der Musterlösung mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta\ddot{R}"> bezeichnet. <br /> <br />Der 2. Term auf der rechten Seite von (*) fällt weg, denn für <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{R}=0"> werden der Term selber sowie aus ihm folgende Beiträge aus den Auslenkungen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta R, \delta\dot{R}"> gleich null. Für den Rest folgt (hier ist auf der linken Seite der Gleichung in der Musterlösung meiner Meinung nach ein Fehler): <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(1+A^2n^2R_0^{2n-2}+A^2n^2(2n-2)R_0^{2n-3}\delta R)(\ddot{R}_0+\delta \ddot{R})"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?=(R_0+\delta R)\omega^2-gnAR_0^{n-1}-gnA(n-1)R_0^{n-2}\delta R"> <br /> <br />Nun wird Gleichung (*) subtrahiert (vgl. grün unterstrichene Terme in der Musterlösung) und berücksichtigt, dass für eine Gleichgewichtslage gilt <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\ddot{R}=0">. Der Term mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta R\cdot\delta\ddot{R}"> fällt weg ("klein mal klein"). Damit ergibt sich <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(1+A^2n^2R_0^{2n-2})\delta\ddot{R}=\omega^2\delta R-gnA(n-1)R_0^{n-2}\delta R"> <br /> <br />Nun wird wieder eine Fallunterscheidung wie in a) gemacht. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\text{Fall 1:}\quad n=2"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\text{- Fall 1a:}\quad \omega^2=2gA"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta\ddot{R}=0\Rightarrow \delta R=R_0+\delta\dot{R}t"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\text{- Fall 1b:}\quad \omega^2\neq 2gA"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta\ddot{R}=\omega_0^2\,\delta R\quad\text{mit }\,\omega_0^2=\sqrt{\frac{\omega^2-2gA}{1+4A^2R_0^2}}, \quad\delta R\sim \exp(\omega_0 t)"> <br /> <br />(auch hier ist in der Musterlösung m.E. ein Fehler, es geht schon dimensionsmässig nicht auf). <br /> <br />Das heisst also, dass die Ruhelage instabil ist. Bei einer Auslenkung aus der Ruhelage folgt entweder eine exponentielle Entfernung oder eine harmonische Schwingung um die Ruhelage. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\text{Fall 2:}\quad n>2"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\text{- Fall 2a:}\quad R_0=0"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta\ddot{R}=\omega^2\,\delta R, \quad \delta R\sim \exp(\omega t)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\text{- Fall 2b:}\quad R_0=\left(\frac{\omega^2}{gnA}\right)^\frac{1}{n-2}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(1+A^2n^2R_0^{2n-2})\delta\ddot{R}=\omega^2\delta R-gnA(n-1)R_0^{n-2}\delta R"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta \ddot{R}=\omega_0^2\,\delta R\quad\text{mit }\,\omega_0=\sqrt{\frac{(2-n)\omega^2}{1+A^2n^2R_0^{2n-2}}} ,\quad\delta R\sim \exp(\omega_0 t)"> <br /> <br />Im Nenner erhalte ich wieder etwas leicht anderes. Bei einer Auslenkung aus der Ruhelage schwingt die Perle harmonisch um die Ruhelage (2-n<0, omega0 ist imaginär). <br />Falls Fragen sind zu einzelnen Schritten, einfach schreiben.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Sirius02</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Jun 2024 14:20<span class="gen"> </span> Titel: Perle auf rotierenden Draht Gleichgewichtslage</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span> <br />Hey ihr lieben. Im Anhang seht ihr die Aufgabe und auch die Lösungen aus dem tut. Ich änge nun an der b) und kann absolut nicht nachvollziehen was wir da gemacht haben <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span> <br />Ich verstehe auch nicht so recht wie man jm k,eine auslenkungen entwickelt. Ich wäre so dankbar, wenn sich jmd die Zeit nehmen würde, mir Schritt für Schritt zu helfen, die Aufgabe nachvollziehen zu können.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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