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[quote="antaris"]Ja, da wir nur einen Raum und keine Raumzeit betrachten? Die Geodäte veranschaulicht einen Lichtstrahl aber es ist dennoch keine lichtartige Geodäte, denn Licht breitet sich in einer Raumzeit aus.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Jun 2024 22:53<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Du musst <span style="font-weight: bold">einfach</span> zwei Linienintegrale berechnen</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />In der wenigen Zeit die ich habe, stelle mich zu blöd an das in Geogebra hinzukriegen. Es fehlen mir auch eher mehr, als wenig Grundlagen bzw. sind die Kenntnisse zusätzlich verblasst. <br /> <br /> <br /> <br />Folgendes einfaches Beispiel. <br /><a href="https://www.geogebra.org/3d/jaqqq9vf" target="_blank" class="postlink">https://www.geogebra.org/3d/jaqqq9vf</a> <br /> <br />Klar ist mir die Funktion f(x) und die parametrisierte Kurve c insofern, dass ich beide in Geogebra definieren kann und dass sie den gleichen Weg beschreiben. Die Ableitung c' ist eine vektorielle Größe und beschreibt den Tangentialvektor (Steigung) entlang der Punkte auf der Kurve. <br /> <br />Die Komponenten der Kurve müssen unter den Bruchstrich und jeweils quadriert werden. x = 1^2, y = sin^2(t) <br /> <br />Nun habe ich auch eine Lösung des Integrals. Mit a und b können Start-/Endwert eingestellt werden. Ist es denn richtig? <br /> <br />In dem Beispiel schien mir die Parametrisierung naheliegend aber so richtig erklären kann ich mir nicht, wie man von Funktionen auf die Komponenten kommt. Geht das auch andersherum?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Jun 2024 15:55<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Beispiel: wir betrachten statt zwei nur noch eine Dimension; y entfällt, der Index x ebenfalls; statt dz schreibe ich dF. Damit folgt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?g \, dx^2 = dx^2 + dF^2"> <br /> <br />Es gilt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?dF = F^\prime \, dx"> <br /> <br />Einsetzen liefert <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?g \, dx^2 = dx^2 + {F^\prime}^2 \, dx^2"> <br /> <br />d.h. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?g = 1 + {F^\prime}^2 "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F^\prime = \sqrt{g - 1}"> <br /> <br />Für gegebenes g(x) ist das eine Differentialgleichung für F(x), die man durch Integration löst, also <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F(x) = \int dx \, \sqrt{g(x) - 1}"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Jun 2024 10:30<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Du musst einfach zwei Linienintegrale berechnen, ich hatte das schon mehrfach geschrieben. <br /> <br />Du verwendest dazu <br />1. die xy-Ebene mit rämlicher Schwarzschildmetrik <br />2. den xyz-Raum mit Fläche z = F(x,y) und euklidischer Metrik <br />(ob kartesische oder Polarkoordinaten ist für das Argument egal) <br /> <br />Um die Identität zweier Linienintegrale <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?s_\gamma = S_\Gamma"> <br /> <br />mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?s_\gamma = \int_\gamma \sqrt{g_{xx} \, dx^2 + g_{yy} \, dy^2} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?S_\Gamma = \int_\Gamma \left.\sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2}\,\right|_{z = F(x,y)}"> <br /> <br />zu zeigen, ist es ausreichend, die Identität der jeweiligen infinitesimalen Linienelemente ds und dS durch geeignete Konstruktion von F(x,y) sicherzustellen. Das heißt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?ds = dS"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? g_{xx} \, dx^2 + g_{yy} \, dy^2 = \left.{dx^2 + dy^2 + dz^2}\,\right|_{z = F(x,y)} "> <br /> <br />Das führt auf eine Differentialgleichung für F, und deren Lösung stellt die Identität sicher. <br /> <br />Ist dir das Argument klar?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 22. Jun 2024 23:57<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">So einfach ist es wohl doch nicht.<img src="images/smiles/kopfkratz.gif" alt="grübelnd" border="0" /> <br /> <br />Mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta s=\ \sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}}"> <br /> <br />wird der direkte Abstand zwischen den Punkten P' und Q' auf F, ohne Beachtung der Krümmung von F berechnet. Das ist nur ein ungefähres Maß. <br /> <br /> <br />Ich habe die Koordinaten von P' und Q' in Kugelkoordinaten umgerechnet. In Geogebra kann die Darstellung der Punkte auf Kugelkoordinaten umgestellt werden und diese stimmen mit den berechneten Koordinaten überein. <br /> <br />Die Minkowski Metrik und die Schwarzschildmetrik unterscheiden sich in Polarkoordinaten nur durch die Vorfaktoren von Δt bzw. dt und Δr bzw. dr. Der Zeitterm muss beim Flammschen Paraboloid auf 0 gesetzt werden, so das er entfällt. <br /> <br />Schwarzschildmetrik ohne Zeitterm <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta s=\ \sqrt{\frac{1}{1-\frac{r_{s}}{r}}\Delta r^{2}+r^{2}\Delta\theta^{2}+r^{2}\sin^{2}\left(\theta\right)\Delta\Phi^{2}}"> <br /> <br />die Differenzen ausgerechnet: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta r\ =\ r_{Q'}-r_{P'};\ \Delta\theta\ =\ \theta_{Q'}-\theta_{P'};\ \Delta\Phi=\Phi_{Q'}-\Phi_{P'}"> <br /> <br />Diese müssten in die obige Schwarzschildmetrik eingesetzt werden. Ich verstehe aber nicht, was die Werte r und theta ohne vorangestellten Delta sind. Sind das Koordinaten eines Punktes (P' oder Q') als Startpunkt der Kurve? <br />Egal was ich einsetze aber es kommt nicht die Vergleichslänge raus, die Geogebra ermittelt. <br /> <br />Können die Differenzen wie beim kartesischen KS berechnet werden (z.B. r2 - r1) oder muss bei Kugelkoordinaten etwas spezielles beachtet werden?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 22. Jun 2024 14:51<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ok, dann habe ich es nun verstanden. Ich werde das nochmal Revue passieren lassen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich habe es Revue passieren lassen und hab es wohl nun auch wirklich verstanden <br /> <br />Um die Länge der Kurve P'Q' auf F richtig berechnen zu können, müsste ich die Werte delta P'Q', also delta x, delta y und delta z in die Schwarzschildmetrik einsetzen (vorher in Polarkoordinaten umrechnen) und ct=1 (oder ct=0?) setzen? <br />Wenn dem so ist, dann kann ich doch zeigen, was ich wollte. Nur eben bezogen auf raumartige Abstände. <br /> <br />Hier der link (noch die alte Version) <br /><a href="https://www.geogebra.org/classic/fv4shjyh" target="_blank" class="postlink">https://www.geogebra.org/classic/fv4shjyh</a></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Jun 2024 18:14<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ohne Frage und dennoch bezieht sich das "extrem" auf die erreichbare Messgenauigkeit. Die Genauigkeit ist für unsere Verhältnisse sehr hoch aber dennoch so gering, dass wohl "jedes Labor noch als punktförmig angesehen werden kann". Darum habe ich ja geschrieben "ganz genau". Das scheint kleinlich aber in einer deterministischen Natur können sich eben auch die winzigsten Änderungen auf die Gesamtheit auswirken. <br /> <br />Das steht m.E. auch nicht im Widerspruch zur Aussage das Raumzeit/Gravitation und der Bruch der Skaleninvarianz einen gemeinsamen Kern haben müssten und dass sich das für masselose Felder ganz anders darstellt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Jun 2024 14:07<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Die SRT holt aber im Labormaßstab in <span style="font-weight: bold">EXTREM</span> guter Näherung.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Jun 2024 07:17<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ist das nicht genau der Grund warum massebehaftete Objekte zeitartigen Geodäten folgen und nicht lichtartig? Eine immer flache Raumzeit gibt es ja nicht, auch wenn man diese mit der newtonschen Mechanik auch über größere Abstände annähern kann. Genau genommen gilt die SRT für massebehaftete Objekte nur zwischen infinitesimalen Abständen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Jun 2024 00:36<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Es hat deswegen nichts mit der Raumzeit und deren Krümmung zu tun, weil die Brechung der Skaleninvarianz aufgrund von Massetermen bereits in klassischen Feldtheorien im Rahmen der Speziellen Relativitätstheorie auf einer immer flachen Raumzeit auftritt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 19. Jun 2024 20:58<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Mit der unterlagerten Raumzeit hat das erst mal gar nichts zu tun.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Damit kann ich mich aber dennoch irgendwie nicht zufrieden geben. <br />Im englischen Wiki steht, dass der Masseterm in relativistischen Feldtheorien äquivalent zu einem fixen Längenmaß gesehen werden kann: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?L=\frac{\hbar}{mc}"> <br /> <br /><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Scale_invariance#Massless_scalar_field_theory_2" target="_blank" class="postlink">https://en.wikipedia.org/wiki/Scale_invariance#Massless_scalar_field_theory_2</a> <br /> <br />So ist es dann tatsächlich keine Überraschung, dass eine Masse (bzw. ein fixes Längenmaß) die Skaleninvarianz bricht, wenn eben diese beim skalieren nicht "mitskaliert" werden (kann). <br />Da hier m der ausschlaggebende Faktor für den Bruch der Skaleninvarianz bei massebehaftete skalare Felder, die Gravitation und somit für die Krümmung der Raumzeit ist, kann ich mir nur schwer vorstellen, dass die Raumzeit damit gar nichts zu tun haben soll. Schließlich sorgen Massen dafür, dass Geodäten sich krümmen, sich annähern und somit bei massebehaftete Objekte in einem Punkt zusammenlaufen, anstatt parallel zueinander. Der Ausschluss, die Isolation oder die Separation physikalischer Entitäten versperren eher die Sicht auf die Natur, als dass sie durch zu starke Vereinfachung Erkenntnisse hervorbringen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 19. Jun 2024 12:17<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ok, danke für die Erläuterung.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 19. Jun 2024 09:24<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Wenn nur bei Objekte mit m>0 die Skaleninvarianz der Raumzeit bricht, bedeutet das dann, das für Feldanregungen mit m=0 in einer flachen Raumzeit und dagegen Feldanregungen mit m>0 in einer Raumzeit leben, die nur lokal flach ist?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Nein. Die Skaleninvarianz ist im Wesentlichen eine Eigenschaft der Bewegungsgleichungen und deren Lösungsmenge. Sie besagt grob gesprochen: wenn f(x,t) eine Lösung ist, dann ist auch f(rescaled x, rescaled t) eine Lösung. <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Freies Teilchen</span> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t) = x_0 + vt \to (\lambda x_0) + v (\lambda t) = \lambda \cdot x(t) "> <br /> <br />Das liefert eine <span style="font-weight: bold">neue</span> Lösung. <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Harmonischer Oszillator</span> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t) = \sin \omega t \to \sin \omega (\lambda t) = \sin (\omega \lambda) t "> <br /> <br />Das ist <span style="font-weight: bold">keine</span> Lösung des selben Systems; man müsste außerdem die Frequenz reskalieren. <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Elektromagnetische Wellen, allgemein Lösungen der masselosen Wellengleichung</span> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f(x,t) = f\Big(\omega(x-ct)\Big) \to f\Big(\omega((\lambda x) - c(\lambda t))\Big) = f\Big((\lambda \omega) (x-ct\Big)"> <br /> <br />Da f für jedes beliebige omega eine Lösung darstellt, ist auch die reskalierte Funktion eine wiederum <span style="font-weight: bold">neue</span> Lösung, hier für eine neue Freqzenz; es gibt keine "bevorzugte" Frequenz für Lösungen dieser Wellengleichung. <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Lösungen der Wellengleichung mit Masseterm</span> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f(x,t) = \sin(kx - \omega t)"> <br /> <br />Im Gegensatz zu vorigen Fall ist <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k \neq \omega "> <br /> <br />nämlich <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k = \sqrt{\omega^2 - m^2} "> <br /> <br />Reskalieren liefert <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?f(x,t) = \sin(kx - \omega t) \to \sin\Big(k (\lambda x) - \omega (\lambda t) \Big) = \sin\Big((\lambda k) x - (\lambda \omega) t \Big) "> <br /> <br />Das liefert wiederum <span style="font-weight: bold">keine</span> Lösung für das selbe Feld, da <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \sqrt{(\lambda \omega)^2 - m^2} = \lambda \sqrt{\omega^2 - \left(\lambda^{-1} \, m\right)^2} \neq \lambda \sqrt{\omega^2 - m^2} = \lambda k "> <br /> <br />Hier bricht der Masseterm die Skaleninvarianz. <br /> <br />Mit der unterlagerten Raumzeit hat das erst mal gar nichts zu tun.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 18. Jun 2024 21:06<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich muss nochmal nachfragen: <br /> <br />Wenn nur bei Objekte mit m>0 die Skaleninvarianz der Raumzeit bricht, bedeutet das dann, das für Feldanregungen mit m=0 in einer flachen Raumzeit und dagegen Feldanregungen mit m>0 in einer Raumzeit leben, die nur lokal flach ist?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 18. Jun 2024 14:04<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Zunächst mal müssen wir da von Feldern sprechen. Diese transformieren unterschiedlich unter Lorentz-Trf. und werden dementsprechend klassifiziert. Skalar: Higgs; Spinor: alle Fermionen; Vektor: alle Eichfelder inkl. Photon, Gluon … <br /> <br />Die Raumzeit ist für alle dieselbe, aber die Wellengleichungen nicht. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Dann ist die Raumzeit für die Felder also nur als reiner Container anzusehen. Wobei man ja annehmen könnte, dass in den aufeinanderfolgenden(?) Entstehungsprozessen der Felder nach dem Urknall, diese zusammen mit der Raumzeit entstanden sind? Die Felder unterliegen dann einer Topologie? <br />Aber das hat dann ja nix mehr mit dem Thema dieses Thread zu tun. Macht es Sinn das in einem neuen Thread fortzuführen? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Im Falle einer Masse m > 0 ist eine spezielle Symmetrie gebrochen, die Skaleninvarianz.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Da wären wir also wieder bei dem noch fortzuführenden Thema zum Bruch der Skaleninvarianz angekommen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 18. Jun 2024 13:25<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Zunächst mal müssen wir da von Feldern sprechen. Diese transformieren unterschiedlich unter Lorentz-Trf. und werden dementsprechend klassifiziert. Skalar: Higgs; Spinor: alle Fermionen; Vektor: alle Eichfelder inkl. Photon, Gluon … <br /> <br />Die Raumzeit ist für alle dieselbe, aber die Wellengleichungen nicht. <br /> <br />Im Falle einer Masse m > 0 ist eine spezielle Symmetrie gebrochen, die Skaleninvarianz.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 18. Jun 2024 12:55<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Diese Zusammenhänge gelten in der SRT, ebenso in der ART und damit einer gekrümmten Raumzeit, unter der Voraussetzung, dass man diese jeweils in einem Punkt betrachtet, an dem man eine flache Minkowski-Raumzeit als Tangentialraum angeklebt.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Dann waren meine Gedanken dazu zumindest in die richtige Richtung. <br />Das erklärt dann aber "nur" wie die Zusammenhänge geometrisch zu interpretieren sind. <br /> <br />Die Minkowski-Raumzeit bezieht sich generell auf die Tangente im Tangentialraum, also auf einen/die Tangentialpunkt(e) einer Geodäte? Ich dachte bisher immer, dass die Geodäte an jedem Punkt (in guter Näherung) als flach angesehen werden kann oder meint beides das gleiche? <br /> <br />Könnte man sagen, dass Photonen sich, im Gegensatz zu massebehaftete Quantenobjekte, immer in einer symmetrischen Raumzeit (bzw. im symmetrischen Teil der Raumzeit -> darum Topologie) ausbreiten, sodass sich Photonen (und Quantenobjekte mit verschwindender Masse -> Neutrinos) nicht nur zwischen infinitesimale Abstände zweier Punkte auf der Geodäte in einer flachen Minkowski-Raumzeit ausbreitet, sondern dass die raumzeitlichen Abstände für Photonen (und Neutrinos) keine wirkliche Rolle spielen? <br />Im Gegensatz dazu bricht Masse die o.g. Symmetrie der Raumzeit, sodass dann die Minkowski-Raumzeit nur noch zwischen infinitesimalen Abständen gilt (bzw. sich die zulässigen Abstände vergrößern, umso geringer die Masse ist)?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 18. Jun 2024 10:36<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Das was mich umtreibt ist der Fakt, dass c überall und zu allen Bezugsystemen konstant ist. Mein Gedanke ist, dass die Raumzeit eine Topologie aufweist, aus der sich die invarianten Messgrößen ergeben. Ich finde es zumindest naheliegend, dass z.B. die Invarianz der Ruhemassen den gleichen Ursprung in der Raumzeit haben, wie auch die Invarianz von c. Sodass die Invarianz sich eben verallgemeinert aus der (Ur-)Struktur der Raumzeit ergibt. Ich kann es nicht näher beschreiben aber das hat sich schon seit längeren in meinem Kopf festgesetzt.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Geometrie, nicht Topologie, ansonsten alles richtig. <br /> <br />In der SRT stellt sich das wie folgt dar: <br /> <br />Man definiert die Vierergeschwindigkeit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} = \gamma_v (1, v^i)"> <br /> <br />für eine beliebige zeitartige Weltlinie x und die Eigenzeit entlang x. u ist der Tangenten-Einheitsvektor entlang der Weltlinie, d.h. mit c=1 <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u_\mu u^\mu = 1"> <br /> <br />Man könnte auch direkt mit lichtartigen Geodaten argumentieren, aber das ist etwas abstrakt, deswegen folgende Überlegung: die relativistische Geschwindigkeitsaddition entspricht einem Lorentz-Boost, d.h. die Transformation der Dreiergeschwindigkeit v beim Übergang zu einem anderen Beobachter mit Dreiergeschwindigkeit w kann in kovarianter Weise mittels einer entsprechenden Lorentz-Transformation gewonnen werden. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u^\mu \to \bar{u}^\mu = \Lambda^\mu_{\;\nu} u^\nu = \gamma_{\bar{v}} (1, \bar{v}^i)"> <br /> <br />Die Dreiergeschwindigkeit folgt dabei jeweils mittels Projektion auf die raumartige Hyperfläche. <br /> <br />Invarianz der Lichtgeschwindigkeit c=1 unter Lorentz-Transformation ist damit gleichbedeutend mit der Tatsache, dass für den Grenzfall v=c=1 die Dreiergeschwindigkeit für alle Beobachter, d.h. unter allen erlaubten relativistischen Geschwindigkeitsadditionen identisch ist. <br /> <br />Das fußt letztlich auf der Invarianz von <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u_\mu u^\mu = \bar{u}_\mu \bar{u}^\mu = 1"> <br /> <br />D.h. die Forderung nach Lorentz-Invarianz und die Forderung der Invarianz der Lichtgeschwindigkeit sind letztlich äquivalent. <br /> <br /> <br />Nun zur Invarianz der Ruhemasse m. Diese folgt ebenso aus der Forderung nach Lorentz-Invarianz: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? m u^\mu = p^\mu = (E, p^i)"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p_\mu p^\mu = E^2 - (p^i)^2 = m^2"> <br /> <br /> <br />Diese Zusammenhänge gelten in der SRT, ebenso in der ART und damit einer gekrümmten Raumzeit, unter der Voraussetzung, dass man diese jeweils in einem Punkt betrachtet, an dem man eine flache Minkowski-Raumzeit als Tangentialraum angeklebt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 18. Jun 2024 09:08<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">gamma ist die raumartige Geodäte in M; Gamma die entsprechende Kurve in F; steht weiter oben. <br /> <br />Ja, für das Flammsche Paraboloid werden Zeiten vollständig eliminiert, zum einen die Zeitkoordinate, zum anderen die Eigenzeit, da entlang einer raumartigen Geodäte keine Eigenzeit definiert ist, sondern die räumliche Eigenlänge; steht auch oben.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ok, dann habe ich es nun verstanden. Ich werde das nochmal Revue passieren lassen. <br /> <br /> <br />Kurz zum Grund meiner Überlegung: <br />Das was mich umtreibt ist der Fakt, dass c überall und zu allen Bezugsystemen konstant ist. Mein Gedanke ist, dass die Raumzeit eine Topologie aufweist, aus der sich die invarianten Messgrößen ergeben. Ich finde es zumindest naheliegend, dass z.B. die Invarianz der Ruhemassen den gleichen Ursprung in der Raumzeit haben, wie auch die Invarianz von c. Sodass die Invarianz sich eben verallgemeinert aus der (Ur-)Struktur der Raumzeit ergibt. Ich kann es nicht näher beschreiben aber das hat sich schon seit längeren in meinem Kopf festgesetzt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 18. Jun 2024 09:03<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">gamma ist die raumartige Geodäte in M; Gamma die entsprechende Kurve in F; steht weiter oben. <br /> <br />Ja, für das Flammsche Paraboloid werden Zeiten vollständig eliminiert, zum einen die Zeitkoordinate, zum anderen die Eigenzeit, da entlang einer raumartigen Geodäte keine Eigenzeit definiert ist, sondern die räumliche Eigenlänge; steht auch oben.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 18. Jun 2024 08:58<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ok, du hast mich überzeugt. Ich werde darüber noch etwas grübeln und mich, wenn ich Zeit finde, mit Maxima näher beschäftigen. <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">2. Wir betrachten hier jedoch raumartige Geodäten, die Zeit kommt also nicht mehr vor. Es kommt auch keine Längenkontraktion vor, einzig eine invariante raumartige Länge ds; diese Länge ds wird einmal in der raumartigen Untermannigfaltigkeit berechnet, einmal als dS in F.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das wäre dann dieser part? <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_{\gamma \in M} ds = \int_{\Gamma = f(\gamma) \in F} dS "></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Gamma ist der Lorentzfaktor? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Die Informationen stecken in invarianten Strecken und Zeiten (letztere haben wir hier eliminiert).</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Auch invariante Zeiten?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 18. Jun 2024 08:00<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Dennoch ist auch in diesem Bild die Krümmung von F das Ergebnis der Schwarzschildmetrik. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ja. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">In der Nähe vom Gravitationspotential des SL bewirken Zeitdilatation und Längenkontraktion die Krümmung von F.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Nein. <br /> <br />1. Die Krümmung der Mannigfaltigkeit M, kodiert in der Metrik g, bewirkt eine Zeitdilatation entlang zeitartiger Geodäten. <br />2. Wir betrachten hier jedoch raumartige Geodäten, die Zeit kommt also nicht mehr vor. Es kommt auch keine Längenkontraktion vor, einzig eine invariante raumartige Länge ds; diese Länge ds wird einmal in der raumartigen Untermannigfaltigkeit berechnet, einmal als dS in F. <br /> <br />Ich habe den Eindruck, du verwendest den Begriff "Längenkontraktion" irgendwie, da Längen sich beim Übergang von der flachen zur Schwarzschildmetrik, ändern, oder dass sie sich in der Nähe des EH ändern; beides trifft nicht zu. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Wenn ein Maßstab eine invariante Eigenlänge von 1 m hat, der Abstand zwischen Anfang und Ende des Maßstabs dennoch länger wird, je näher er dem EH kommt … </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Warum sollte das so sein? </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Weil im Graph die invariante Strecke PQ auf der flachen Ebene und die nicht-invariante Strecke P'Q' auf F nur bei unendlichen r gleich sind. Die Krümmung von F "verlängert" den Maßstab. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Die Länge auf der flachen Ebene ist irrelevant; eigtl. ist die flache Ebene an sich irrelevant. All das inkl. der Koordinaten x,y sind bedeutungslose Hilfskonstrukte, mit denen du nichts vergleichen solltest. <br /> <br />Die Informationen stecken in invarianten Strecken und Zeiten (letztere haben wir hier eliminiert).</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 18. Jun 2024 07:34<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Nach meiner Ansicht ist die Krümmung von F, in einem sonst vorgegeben Raum und mit einer gegebenen invarianten Länge, ein Maß für die Zeit.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Nein. Da steckt noch irgendein Denkfehler drin. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Vielleicht ist das Flammsche Paraboloid nicht unbedingt dafür geeignet das zu zeigen, was ich meine. Ich kann einen Denkfehler meinerseits nicht ausschließen. Dennoch ist auch in diesem Bild die Krümmung von F das Ergebnis der Schwarzschildmetrik. In der nähe vom Gravitationspotential des SL bewirken Zeitdilatation und Längenkontraktion die Krümmung von F. <br />Nur bei unendlichen r ist die Krümmung von F verschwindend, da dort die Auswirkungen der Zeitdilatation und Längenkontraktion ebenso verschwindend sind. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Wenn ein Maßstab eine invariante Eigenlänge von 1 m hat, der Abstand zwischen Anfang und Ende des Maßstabs dennoch länger wird, je näher er dem EH kommt … </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Warum sollte das so sein? </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Weil im Graph die invariante Strecke PQ auf der flachen Ebene und die nicht-invariante Strecke P'Q' auf F nur bei unendlichen r gleich sind. Die Krümmung von F "verlängert" den Maßstab. Die Veranschaulichung mittels F wird sozusagen durch einen unendlich entfernten und zum SL ruhenden Beobachter beobachtet. Wäre der Beobachter der Maßstab P'Q' auf F, so würde dieser aber keine Änderung der seiner Eigenlänge messen können. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich würde das alles gerne mal "richtig" in der 4D Raumzeit durchspielen aber Matlab ist mir zu teuer … Ich verstehe das alles viel besser, wenn ich das mit realem Bezug ausprobieren (damit rumspielen) und sehen kann.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Was spricht gegen Python?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich habe ganz früher als Jugendlicher mal Basic auf dem C64 programmiert, später auf Linux ein wenig mit C und auf Windows mit C++ "experimentiert"...alles schon viele Jahre her. Was ich wegen dem Job noch mache ist ab und zu etwas VBA (excel) und VB. Ich könnte mich da reinarbeiten aber das braucht Zeit. Ich glaube da ist ein Umgebung wie Maxima zielführender für mich, zumal es da eben eine große Communiy gibt bei der man sich durchfragen kann. Aber auch das braucht Zeit.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 18. Jun 2024 06:30<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich schau's mir nochmal an. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Nach meiner Ansicht ist die Krümmung von F, in einem sonst vorgegeben Raum und mit einer gegebenen invarianten Länge, ein Maß für die Zeit.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Nein. Da steckt noch irgendein Denkfehler drin. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Wenn ein Maßstab eine invariante Eigenlänge von 1 m hat, der Abstand zwischen Anfang und Ende des Maßstabs dennoch länger wird, je näher er dem EH kommt … </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Warum sollte das so sein? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich würde das alles gerne mal "richtig" in der 4D Raumzeit durchspielen aber Matlab ist mir zu teuer … Ich verstehe das alles viel besser, wenn ich das mit realem Bezug ausprobieren (damit rumspielen) und sehen kann.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Was spricht gegen Python?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 17. Jun 2024 18:14<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Was sind "kräftefrei bewegte Ereignisse"?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Vor allem ist es schlecht formuliert, was mir auch schon auffiel. Ich hatte aber noch keine Zeit zum ändern. <br /> <br />Gemeint sind, Objekte bzw. deren punktuelle/momentane Ereignisse, die sich im flachen Raum auf parallel verlaufende und damit ungekrümmte Geodäten bewegen. Gemeint ist nicht die flache Minkowski-Raumzeit, welche an jedem Punkt bzw. bei infinitesimalen Abständen der Raumzeit gilt. Es geht mir um das hier diskutierte Bild eines schwarzen Loch, dessen Flammsches Paraboloid, den ansonsten (bis in die Unendlichkeit) leeren Raum und der Raumzeit, die bei r = unendlich (Abstand vom EH des SL) gilt. <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Dein Blick auf den Pythagoras führt dich eventuell in die Irre; <span style="font-weight: bold">die Länge ds ist fundamental und invariant</span>, dx, dy und dz sind es nicht. Vergiss die Idee der Flächen; sie ist nicht falsch, jedoch mindest überflüssig, denn sie liefert keine zusätzliche Information oder Struktur.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Vom Pythagoras ist das doch alles abgeleitet...es geht um Wege, Abstände und Längen welche einen tiefen geometrischen Zusammenhang haben. <br />Die Invariante Länge ist meinem Bild auch fundamental, denn sie ist an allen Orten und bei allen Metriken gültig, da ds seinen Ursprung im stets übergeordneten euklidischen Raum hat. <br /> <br />Ok einverstanden, lass uns die Flächen vergessen bzw. rein als Hilfsgrößen betrachten (was sie in dem Fall wohl auch wirklich nur sind). Ich hatte die Flächen nur als Krücke genutzt, weil ich es nicht geschafft hatte die Länge der Strecke P'Q' auf F zu bestimmen. Da ich bis jetzt auch noch nicht die Fläche des roten Kreises ermitteln konnte, sollte ich das verwerfen. <br />Die Länge von P'Q' auf F kann ich nun aber ermitteln (dank Hilfestellung) und wir können rein über Abstände/Längen sprechen bzw. diese sogar konkret vermessen. Im Graph habe ich die Kreise, Texte usw ausgeblendet. Zu sehen sind nur noch die beiden Strecken und die dazugehörigen Werte. <br /><a href="https://www.geogebra.org/classic/fv4shjyh" target="_blank" class="postlink">https://www.geogebra.org/classic/fv4shjyh</a> <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Es gilt ganz einfach die Beziehung zwischen der speziellen 2-dim. Untermannigfaltigkeit M mit t=const. und z=const. sowie dem Flammschen Paraboloid F <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_{\gamma \in M} ds = \int_{\Gamma = f(\gamma) \in F} dS "> <br /> <br />Hinter F steckt die Idee, die Schwierigkeit links, nämlich die Länge ds in Abhängigkeit von einer komplizierten Metrik, durch ein anschaulicheres Bild rechts, nämlich die Länge dS in Abhängigkeit von einer Fläche zu veranschaulichen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />So ähnlich habe ich das eigentlich auch versucht. Ich berechne ja auch nichts wirklich, sondern lasse Geogebra die schwere Arbeit machen. Mein Gedanke war ein rein geometrischer, bei dem ds auf F abgebildet wird und die Länge der so entstandenen gekrümmten Kurve auf F zu ermitteln. Nach meiner Ansicht ist die Krümmung von F, in einem sonst vorgegeben Raum und mit einer gegebenen invarianten Länge, ein Maß für die Zeit. <br />Wie du ja meintest geht es im Flammschen Paraboloid rein um Abstände im Raum. Wenn ein Maßstab eine invariante Eigenlänge von 1 m hat, der Abständ zwischen Anfang und Ende des Maßstabs dennoch länger wird, je näher er dem EH kommt, so kann sich doch zusätzlich nur die Zeitkoordinate ändern (auch wenn das nicht explizit so betrachtet wird). <br /> <br /> <br />Ich gebe dir aber schon auch recht, denn das Flammsche Paraboloid ist nur eine vereinfachte Veranschaulichung von etwas viel komplizierteren. <br />Ich würde das alles gerne mal "richtig" in der 4D Raumzeit durchspielen aber Matlab ist mir zu teuer. <br />Ich habe Maxima runtergeladen, weil es open source ist (was ich generell sehr mag) und eine große Community hat. Auf LibreTextsPhysics gibt es Lerninhalte zur ART die mit Maxima zum teil visualisiert werden. Früher oder später werde ich mich damit beschäftigen. Ich verstehe das alles viel besser, wenn ich das mit realem Bezug ausprobieren (damit rumspielen) und sehen kann. <br /> <br /><a href="https://phys.libretexts.org/Bookshelves/Relativity/General_Relativity_(Crowell)" target="_blank" class="postlink">https://phys.libretexts.org/Bookshelves/Relativity/General_Relativity_(Crowell)</a> <br /><a href="https://maxima.sourceforge.io/de/index.html" target="_blank" class="postlink">https://maxima.sourceforge.io/de/index.html</a></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 17. Jun 2024 17:41<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Was sind "kräftefrei bewegte Ereignisse"? <br /> <br />Dein Blick auf den Pythagoras führt dich eventuell in die Irre; die Länge ds ist fundamental und invariant, dx, dy und dz sind es nicht. Vergiss die Idee der Flächen; sie ist nicht falsch, jedoch mindest überflüssig, denn sie liefert keine zusätzliche Information oder Struktur. <br /> <br />Es gilt ganz einfach die Beziehung zwischen der speziellen 2-dim. Untermannigfaltigkeit M mit t=const. und z=const. sowie dem Flammschen Paraboloid F <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int_{\gamma \in M} ds = \int_{\Gamma = f(\gamma) \in F} dS "> <br /> <br />Hinter F steckt die Idee, die Schwierigkeit links, nämlich die Länge ds in Abhängigkeit von einer komplizierten Metrik, durch ein anschaulicheres Bild rechts, nämlich die Länge dS in Abhängigkeit von einer Fläche zu veranschaulichen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 17. Jun 2024 13:02<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Sorry, bei deinem Verständnis geht noch viel durcheinander.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das kann ich nicht ausschließen, wobei ich aber glaube, dass wir aneinander vorbeireden. <br /> <br />Im Minkowski-Raum (damit auch prinzipiell im nicht-gekrümmten euklidischen Raum) liegt eine flache Raumzeit vor. Das bedeutet die Abstände von 2 kräftefrei bewegte Ereignisse sind immer identisch. <br />Die Umgebung aller gekrümmten Räume ist euklidisch und die gekrümmten Räume sind Unterräume dieses einen euklidischen Raums? <br /> <br />Im flachen Raum lassen sich die räumlichen Abstände aus delta x, delta y, und delta z zusammenfassen, sodass <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta X^2=\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2"> <br /> <br />und somit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?s^2 = \Delta c^2t^2 - \Delta X^2"> ist. <br /> <br />Wir haben hier, bis auf die Subtraktion, einen normalen Pythagoras. Die Länge s entspricht der Hypotenuse und die Längen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta ct, \Delta X"> entsprechen je einer Kathete. Das Quadrat dieser Längen/Abstände ergibt die Quadrate (Flächen), welche je an der Hypotenuse (s^2) bzw. den beiden Katheten (<img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta ct^2 und \Delta X^2">) anliegen. <br />Die Hypotenuse ist der invariante (Einheits-)Abstand und die Katheten sind die nicht-invarianten Abstände, welche voneinander abhängen. <br /> <br />Das diese Quadrate keine Größen sind, die irgendwie real auf das KS der Erde gelegt werden können ist klar aber es ist möglich zumindest das invariante Quadrat in den übergeordneten euklidischen Raum "zu legen". Zunächst sind die Quadrate aber nur Hilfsgrößen, um am Ende alle Abstände berechnen zu können. Ob wir im Bild des Flammschen Paraboloids t=0 und z=0 setzen, ändert nichts daran. Da aber im Flammschen Paraboloid die Länge des Maßstabs vom Ort abhängt (nicht gleich der invarianten Eigenlänge des Maßstabs ist), kann ja nicht <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?s^2 = \Delta X^2"> sein. Man muss dazu noch die neue z-Koordinate hinzuziehen, welche ein Maß für die Krümmung angibt. <br /> <br /> <br />Ist das bis hierhin schon nicht richtig?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 17. Jun 2024 08:02<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Sorry, bei deinem Verständnis geht noch viel durcheinander. <br /> <br />Ja, die ART hat eine im Kern geometrische Theorie. <br /> <br />Nein, die Quadrate der Raumzeitabstände sind keine Flächen sondern Quadrate eines Längenmaßes. Das Quadrat der Länge der Autobahn von München nach Berlin ist kein Flächenmaß sondern das Quadrat eines Längenmaßes; genauer: du kannst keine invariante Fläche auf der Erdoberfläche zeichnen, deren Flächenmaß dem Quadrat des Längenmaßes der Entfernung entspricht. <br /> <br />Dann verwirrt dich die Rolle der Zeit. Lass' sie weg! Das Flammsche Paraboloid befasst sich ausschließlich mit raumartigen Längen. Dazu wird die zeitliche Dimension aus den Gleichungen eliminiert (man betrachtet ausschließlich raumartige Kurven im speziellen 3-Raum mit t=const., d.h. dt=0 entlang der Kurven). Man kann die dadurch eliminierten Informationen auch nicht zurückgewinnen, d.h. es gibt verschiedene Raumzeiten mit dem selben Flammschen Paraboloid. <br /> <br />Ich erkläre die Idee nochmal anhand eines gewöhnlichen 3-dim. Raumes. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?ds^2 = g_x \, dx^2 + g_y \, dy^2 + g_z \, dz^2"> <br /> <br />wäre eine Metrik, g_i sind Funktionen von x,y,z. Damit kann man kürzeste Entfernungen in einem gekrümmten Raum beschreiben. <br /> <br />Nun eliminieren wir die z-Koordinate und betrachten ausschließlich die xy-Ebene. Wir führen eine Fläche F über der xy-Ebene mittels einer Funktion <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F: \, F(x,y) "> <br /> <br />ein, so dass folgendes gilt: Die ursprüngliche kürzeste Verbindungen zwischen zwei Punkten P und Q im 3-dim. Raum wird durch eine Kurve in F zwischen zwei Punkten p und q in F ersetzt. Dabei ist F gerade so definiert, dass kürzeste Verbindungen im 3-Raum auf kürzeste Verbindungen in F abgebildet werden u.u. <br /> <br />Der Punkt ist, dass man zunächst die z-Dimension eliminiert und anschließend wieder eine Funktion definiert, die man über der xy-Ebene zeichnet, also eine neue dritte Dimension, nennen wir die F-Dimension – <span style="font-weight: bold">dass aber F- und z-Dimension nichts miteinander zu tun haben</span>. F stellt Informationen dar, die sich ausschließlich auf die xy-Ebene beziehen; die Informationen über die z-Richtung wurden vollständig eliminiert.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 17. Jun 2024 07:11<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Meine Fragestellung bezieht sich auf "Was ist der invariante Abstand s?". <br /> <br />- Bei der ART handelt es sich um eine geometrische Theorie, welche auch geometrisch untersucht werden kann. <br />- Die Quadrate der Raumzeitabstände (Längen), sowie des invarianten Abstands sind Flächen. <br /> <br />Meine Überlegung war nun, dass bei unendlichen r (Abstand vom EH) der Raumzeitabstand x sich dem invarianten Abstand s annähert, woraus folgen würde, dass bei r=unendlich t=const ist (weil dann der invariante Abstand s = dem räumlichen Abstand x ist). <br /> <br />Es ist <span style="font-weight: bold">ein Vergleich zwischen den invarianten Abständen (s) mit den Raumzeitabständen (x)</span>. Wenn delta x <> delta s, dann muss delta t > 0 sein (es liegt ein gekrümmter Raum vor). Wenn delta s = delta x, dann müsste delta t = 0 sein (es liegt kein gekrümmter Raum bzw. ein Raum mit verschwindender Krümmung vor). <br /> <br />Ich habe die flache Ebene bei z(x,y) = 0 als (an jedem Ort in der Schwarzschild-Raumzeit) invariantes Vergleichsmaß zu F herangezogen. <br /> <br />Ich denke die Methode mittels der beiden Strecken PQ und P'Q' sind ein besserer Vergleich, da man diese als echte Maßstäbe nutzen kann. <br /> <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Kannst du das zunächst in den bekannten Gleichungen der ART d.h. in Schwarzschild-Koordinaten formulieren?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das wollte ich im nächsten Schritt probieren.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 17. Jun 2024 06:09<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich verstehe nicht, was du da tust. <br /> <br />Was hat z.B. ein Flächeninhalt mit dem invarianten Abstand zu tun? Und wo soll in F irgendein Zusammenhang mit der Zeit auftauchen? <br /> <br />Kannst du das zunächst in den bekannten Gleichungen der ART d.h. in Schwarzschild-Koordinaten formulieren?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 16. Jun 2024 23:31<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Jetzt mit eine Strecke PQ die auf F projiziert wird. Die Länge der projizierten Kurve P'Q' auf F wird ermittelt und daraus lässt sich dann die Zeitkomponente berechnen oder nicht? <br /> <br />Die Punkte P und Q können verschoben werden. Rechts unten werden die Werte angezeigt. <br /> <br /><a href="https://www.geogebra.org/classic/fv4shjyh" target="_blank" class="postlink">https://www.geogebra.org/classic/fv4shjyh</a></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 15. Jun 2024 12:39<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hier eine andere Version als Grundlage. Etwas geordnet und beschriftet. <br /> <br /><a href="https://www.geogebra.org/classic/fv4shjyh" target="_blank" class="postlink">https://www.geogebra.org/classic/fv4shjyh</a> <br /> <br /> <br />Eine meiner Überlegungen zum Flammschen Paraboloid war, ob aus dem Verhältnis der Flächen der beiden Kreise ein Rückschluss auf die Zeitdimension zulässig ist? <br /> <br />Der invariante Abstand s ergibt sich aus der Wurzel ses Flächeninhalts des schwarzen Kreis und wird durch dessen Radius vorgegeben. <br />Durch die Projektion des schwarzen Kreis auf F lässt sich auf den Umfang/den Flächeninhalt der roten Kurve schließen. Dessen Wurzel entspricht dem raumartigen Abstand x. <br />Mit ct = sqrt((ct)^2+x^2) lässt sich dann der zeitartige Abstand ct berechnen. <br /> <br />Leider kriege ich es nicht hin den Flächeninhalt der Kurve k' auf F zu ermitteln (habe bei Geogebra nachgefragt). Er ist über dessen Umfang genähert. <br /> <br />Durch Variation von R, r_s und dem Ort von R (auf der Ebene z(x,y)=0) ist die Dynamik in den Werten schön zu erkennen. <br /> <br /> <br />Mit zunehmenden Abstand zum Ereigishorizont nähert sich der Flächeninhalt des roten Kreises immer weiter dem Flächeninhalt des schwarzen Kreis an. Die Zeit verläuft zunehmend gleichförmig und die Raumzeit wird immer flacher. <br /> <br />Ist das zu einfach gedacht?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 14. Jun 2024 22:26<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Mit einem Auge beim Fußballspiel und mit dem anderen beim Monitor noch etwas ausprobiert. <br /> <br />Hier wird ein Kreis aus der flachen Ebene auf F projiziert, wobei j der Umfang vom roten und l vom schwarzen Kreis ist. <br />Man kann den Punkt im schwarzen Kreis verschieben und mit R den Radius ändern. <br /> <br /> <br /><a href="https://www.geogebra.org/classic/fv4shjyh" target="_blank" class="postlink">https://www.geogebra.org/classic/fv4shjyh</a> <br />Edit: link aktualisiert</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 14. Jun 2024 19:14<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich habe ein bischen was eingezeichnet. Die markierte Fläche auf der flachen Ebene Z(x,y) ist ein Quadrat und wird auf das Paraboloid projiziert?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Wir waren bei dem Bild stehengeblieben. Du hattest gefragt ob die eingezeichnete Geodäte A raumartig ist. <br /> <br />Nur kann ich ja nicht einfach mittels Lineal die Abstände auf der gekrümmten Geodäte messen. Mit einer Schnur geht es gedanklich. Bei größer werdenden r wird F und damit auch die Geodäte A immer flacher?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 14. Jun 2024 18:58<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"><span style="font-weight: bold">Man wählt gleiche Zeitkoordinaten</span> und betrachtet so nur die Geometrie des Raumes.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Zunächst ignorieren wir die Zeit-Dimension</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />hat mich irritiert. Wenn an jedem Punkt von F t=0 ist, dann habe ich es jetzt verstanden.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 14. Jun 2024 18:46<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Schauen wir uns nochmal ein einfaches Beispiel an, diesmal nicht in der Schwarzschild- sondern in der Minkowski-Raumzeit. Diese Raumzeit ist flach, d.h. das Flammsche Paraboloid ist eine Ebene; raumartige Geodäten sind einfach Geraden.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Die Minkowski-Raumzeit gilt <span style="font-weight: bold">an jedem Punkt</span> von flammschen Paraboloid F? </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Nein, nur in diesem einfachen Beispiel. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>antaris hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Also sind die Abstände in F generell (sozusagen konstruktionsbedingt, wegen des gewählten Anschauungsmodell) raumartig?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Konstruktionsbedingt, weil man sich für raumartige Abstände interessiert. Man wählt gleiche Zeitkoordinaten und betrachtet so nur die Geometrie des Raumes.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 14. Jun 2024 18:24<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Schauen wir uns nochmal ein einfaches Beispiel an, diesmal nicht in der Schwarzschild- sondern in der Minkowski-Raumzeit. Diese Raumzeit ist flach, d.h. das Flammsche Paraboloid ist eine Ebene; raumartige Geodäten sind einfach Geraden.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Die Minkowski-Raumzeit gilt <span style="font-weight: bold">an jedem Punkt</span> von flammschen Paraboloid F? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Zum Unterscheid zwischen zeit- und raumartigen Geodäten: <br /> <br />Erstere führen von einem festgehaltenen Punkt P zu einem im Zukunftslichtkegel liegenden festgehaltenen Punkt Q. Beispiel P = "Nürnberg jetzt" und Q = "München in zwei Stunden". Die Geodäte wäre eine gerade Strecke, die mit konstanter Geschwindigkeit durchflogen wird, so dass die Zeitkoordinate (auf zwei jeweils in P und Q ruhenden Uhren) gerade zwei Stunden Differenz aufweist. Entlang dieser Geodäten vergeht für den Piloten eines Kleinflugzeuges maximale Eigenzeit, jede Abweichung davon (sei's abweichend von der geraden Linie oder auch Beschlreunigen und Abbremsen), die jedoch P und Q respektiert, verkürzt die Eigenzeit des Piloten. <br /> <br />Letztere führen von einem festgehaltenen Punkt P zu einem außerhalb des Zukunftslichtkegel liegenden festgehaltenen Punkt Q*. Im vorliegenden Fall wäre das P = "Nürnberg jetzt" und Q* = "München jetzt". Die Geodäte wäre eine gerade Strecke, die mit konstanter "Geschwindigkeit durchlaufen" wird, wobei dieses "Laufen" nur ein gedachter Vorgang ist, bei dem keine Zeit sondern nur eine "räumliche Distanz vergeht"; die in P und Q* ruhenden Uhren zeigen die selbe Zeit. Entlang dieser Geodäte ist die räumliche Distanz minimal, jede Abweichung davon, die P und Q* respektiert, z.B. eine gekrümmte Kurve oder Hin- und Herlaufen auf der Kurve, verlängert die Distanz (auf einer Landkarte entspräche das einer Schnur, die straff von P nach Q* gelegt wird, keine Bögen, keine engen Schlaufen …) </td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ok, klar der Abstand ist die Hypothenuse und die ist natürlich länger, wenn bei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?s^2 = \Delta ct^2 + \Delta x^2"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta ct > 0"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta x > 0"> ist. <br /> <br />Wenn <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta x = 0"> dann verläuft die Geodäte nur in der Zeit (Auto kaputt...fährt nicht). -> zeitlicher Abstand, zeitartig <br /> <br />Wenn<img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta ct = 0"> dann verläuft die Geodäte zwischen 2 gleichzeitigen Ereignissen (ein Auto kann aber nicht gleichzeitig an 2 Orte sein)-> räumlicher Abstand, raumartig <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Übertragen auf die Schwarzschild-Raumzeit: Zeitartige Geodäten in der 4-dim. Raumzeit sind korkenzieherförmige Bahnen um die Zentralmasse; ihre Projektionen in den 3-dim. Raum führen näherungsweise auf Ellipsen. Raumartige Geodäten sind näherungsweise Geraden (in einem 3-dim. Raum; Details später). <span style="font-weight: bold">Nur letztere sind Gegenstand des Flammschen Paraboloids.</span></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Also sind die Abstände in F generell (sozusagen konstruktionsbedingt, wegen des gewählten Anschauungsmodell) raumartig?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 14. Jun 2024 14:37<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich verstehe es noch nicht. <br /> <br />Schauen wir uns nochmal ein einfaches Beispiel an, diesmal nicht in der Schwarzschild- sondern in der Minkowski-Raumzeit. Diese Raumzeit ist flach, d.h. das Flammsche Paraboloid ist eine Ebene; raumartige Geodäten sind einfach Geraden. <br /> <br />Zum Unterscheid zwischen zeit- und raumartigen Geodäten: <br /> <br />Erstere führen von einem festgehaltenen Punkt P zu einem im Zukunftslichtkegel liegenden festgehaltenen Punkt Q. Beispiel P = "Nürnberg jetzt" und Q = "München in zwei Stunden". Die Geodäte wäre eine gerade Strecke, die mit konstanter Geschwindigkeit durchflogen wird, so dass die Zeitkoordinate (auf zwei jeweils in P und Q ruhenden Uhren) gerade zwei Stunden Differenz aufweist. Entlang dieser Geodäten vergeht für den Piloten eines Kleinflugzeuges maximale Eigenzeit, jede Abweichung davon (sei's abweichend von der geraden Linie oder auch Beschlreunigen und Abbremsen), die jedoch P und Q respektiert, verkürzt die Eigenzeit des Piloten. <br /> <br />Letztere führen von einem festgehaltenen Punkt P zu einem außerhalb des Zukunftslichtkegel liegenden festgehaltenen Punkt Q*. Im vorliegenden Fall wäre das P = "Nürnberg jetzt" und Q* = "München jetzt". Die Geodäte wäre eine gerade Strecke, die mit konstanter "Geschwindigkeit durchlaufen" wird, wobei dieses "Laufen" nur ein gedachter Vorgang ist, bei dem keine Zeit sondern nur eine "räumliche Distanz vergeht"; die in P und Q* ruhenden Uhren zeigen die selbe Zeit. Entlang dieser Geodäte ist die räumliche Distanz minimal, jede Abweichung davon, die P und Q* respektiert, z.B. eine gekrümmte Kurve oder Hin- und Herlaufen auf der Kurve, verlängert die Distanz (auf einer Landkarte entspräche das einer Schnur, die straff von P nach Q* gelegt wird, keine Bögen, keine engen Schlaufen …) <br /> <br />Übertragen auf die Schwarzschild-Raumzeit: Zeitartige Geodäten in der 4-dim. Raumzeit sind korkenzieherförmige Bahnen um die Zentralmasse; ihre Projektionen in den 3-dim. Raum führen näherungsweise auf Ellipsen. Raumartige Geodäten sind näherungsweise Geraden (in einem 3-dim. Raum; Details später). Nur letztere sind Gegenstand des Flammschen Paraboloids.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 14. Jun 2024 11:52<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Es sollten Geodäten als Großkreise auf einer Kugel darstellen. Hätte ich wohl dazuschreiben oder besser zeichnen können. Die Geodäte verläuft auf einer gekrümmten, also nicht-euklidische 2D Fläche, die im euklidischen 3D Raum eingebettet ist? <br /> <br />Mir ist eigentlich(?!) klar was zeit-, licht- oder raumartig bedeutet. Raumartig getrennte Ereignisse beeinflussen sich kausal nicht, da durch die Ereignisse ausgesandtes Licht, das jeweils andere Ereignis nicht beeinflusst. <br />Ich stehe aber auf dem Schlauch, was das hier diskutierte Beispiel angeht. <br />Sind zwei Punkte P und Q auf der Geodäte als 2 raumartig getrennte Ereignisse anzusehen?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 13. Jun 2024 23:47<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich verstehe die Graphik nicht; sie enthält nur zwei raumartige Dimensionen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>antaris</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 13. Jun 2024 21:57<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">So?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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