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[quote="pfeifhns"][b]Meine Frage:[/b]
Hallo zusammen,
ich habe die folgende Frage:
Ich möchte die Geschwindigkeit in sphärischen Koordinaten berechnen und verwende dabei Tensorrechnung. Die kontravarianten Komponenten sind - nach Literatur - einfach die Ableitungen nach der Zeit. Wenn ich dann die kontravarianten Kompontenten mittels des Mtreiktensors in kovarinate Koponenten umrechne (Index herunterziehen), dann erhalte ich ein falsches Ergebnis.

[b]Meine Ideen:[/b]
Ich verwende die folgenden Funktionen für sphärische Koordinaten:

[latex]x^1 (r,\theta,\phi  )=r sin \theta  cos \phi[/latex]
[latex]x^2 (r,\theta,\phi  )=r sin \theta  sin\phi[/latex]
[latex]x^3 (r,\theta,\phi  )=r cos \theta[/latex]

Der Metrik-Tensor ist die Diagonalmatrix
[latex]g_ij=diag(1,r^2,r^2*sin^2\theta)[/latex]

Die kontravariante Koponente der Geschwindigkeit ist:
[latex]v^\theta = \frac{\dd \theta}{\dd t} [/latex]

Wenn ich diese Komponente über den Metrik-Tensor in kovariant umwandele, erhalte ich:
[latex]v_\theta = g_{\theta \theta} v^\theta = r^2 v^\theta = r^2 \dot{\theta}[/latex]
Es muss aber [latex]v_\theta =r \dot{\theta}[/latex] sein.
Wo ist mein Gedankenfehler?
Ist es, dass die kontravarianten Komponenten mit den Inversen der Lamé-Koeffizienten zu versehen sind? Das wäre in diesem Fall "r", und dies würde sich dann herauskürzen, so dass das richtige Ergebnis herauskommt.
VG Hans[/quote]

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