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[quote="TomS"][quote="Zombiephilosoph"]Erst kritisier ich Deinen Wahrheitsbegriff bezogen auf die Mathematik.[/quote] Du kritisierst einen der Wahrheitsbegriffe in der Mathematik; es ist nicht unbedingt meiner. Siehe unten *) [quote="Zombiephilosoph"]Dann behauptest Du es gibt verschiedene Wahrheitsbegriffe je nach Disziplin. [/quote] Ja. Und je nach philosophischer Schule. Siehe unten **) [quote="Zombiephilosoph"]Also argumentiere ich, dass die eigentlich alle gleich sind ... [/quote] Siehe hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrheit https://de.wikipedia.org/wiki/Philosophie_der_Mathematik Alles gleich? Ich komme unten darauf zurück. *, **) [quote="Zombiephilosoph"]... bzw. nichts mit Wahrheit zu tun haben. [/quote] Was du tun kannst, wenn du die Diskussion soweit verengst, bis nur noch das übrig ist, was gleich ist – das ist dann dein "Wahrheitsbegriff". Ich halte das nicht für falsch, ich ticke nur anders. [quote="Zombiephilosoph"]Und jetzt sagst Du wir haben auch noch verschiedene Auffassungen vom "Wahrheitsbegriff". [/quote] Ist offenbar so, ja. Deswegen hatte ich dann auch vorgeschlagen, einen anderen Begriff zu verwenden, "Wahrheitspraxis" oder was auch immer du möchtest. Dann gibt es keine Verwirrung, und wir können das rausdestillieren, was du unter dem einen immer gleichen Wahrheitsbegriff verstehst. [quote="Zombiephilosoph"]Du führst einfach immer nur neue Begriffe ein und reduzierst damit alles auf Semantik. [/quote] Wikipedia: "Semantik , auch Bedeutungslehre genannt, ist die wissenschaftliche Beschäftigung mit Bedeutung und mit den verschiedenen Beziehungen zwischen einem Zeichen und dem Bezeichneten". Wenn du das ausblendest, reduzierst du die Diskussion auf einen abstrakten, formal korrekten Kern, der nichts über nichts sagt. Tarski definiert Wahrheit im Sinne von Übereinstimmung mit Tatsachen. Was ist eine Tatsache? Und was bedeutet Übereinstimmung? So ganz ohne Semantik? Ich bestreite nicht, dass es eines formalen Kerns bedarf, und Tarski hat ja einen herausgearbeitet, auf den sich dann Popper beruft. Aber dazu sollte man [i]verstehen[/i], dass es andere gibt, [i]warum[/i] es Tarski und Popper wichtig war, das zu diskutieren, was schiefläuft, wenn man andere benutzt ... [quote="Zombiephilosoph"][b]Also, ich verstehe unter "Wahrheitsbegriff" eine Definition was "Wahrheit" bedeutet, nicht eine Methode oder Kriterium wie man sie rausfindet. [/b][/quote] Gut. Wie gesagt, ich habe etwas anderes darunter verstanden. [b]Dann benutzen wir jetzt deinen Wahrheitsbegriff, wenn es um diesen Kern geht.[/b] [quote="Zombiephilosoph"]Und unter Wahrheit verstehe ich wie Popper das selbe was Tarski definiert hat. Was anderes lese ich aus den Zitaten nicht raus. [/quote] Ich nach deinem Wahrheitsbegriff auch nicht. [quote="Zombiephilosoph"]Was Popper mit Wahrheitsähnlichkeit meint steht da auch nicht, nur dass er sowas gerne hätte. Deswegen schrieb ich, dass er dazu mMn auch nichts anderes als Tarskis absoluter Wahrheit braucht. [/quote] Genau das schreibt auch Popper nach meiner (im Sinne deines "Wahrheitsbegriffs", der Erlangung, Kriterien etc. nicht umfasst; letzteres diskutiert Popper on top). [quote="TomS"]Und ich denke nichts von dem was Popper hier schreibt geht notwendigerweise über Tarski hinaus (inklusive seiner Wahrheitsähnlichkeit. Aber ich weiß halt auch zugegebenermaßen nicht was er damit genau meint). Aber genau um diesen Unterschied zu sehen, hatte ich Dich ja nach den Zitaten gefragt.[/quote] Du meinst, Zitate zu Wahrheitsähnlichkeit? Kann ich nachreichen. Zu [quote="Zombiephilosoph"]Da steht auch "Es gibt also kein Wahrheitskriterium, und wir dürfen nicht nach einem solchen fragen. Wir müssen uns damit zufriedengeben, daß die Idee der Wahrheit oder der Übereinstimmung mit den Tatsachen rehabilitiert worden ist." Das klingt irgendwie gar nicht so wie das was Du behauptest. Von welchem Beweis redet Popper denn hier? Das scheint wohl wichtig zu sein.[/quote] Du meinst den Beweis dafür "daß es in einer hinreichend reichen Sprache … kein Wahrheitskriterium geben kann, das heißt kein Kriterium für die Übereinstimmung"? Dazu müsste ich mir irgendwie Tarskis Buch besorgen. Mal sehen. *) Zu Wahrheitsauffassungen in der Mathematik Zu Hilbert: https://mathematikalpha.de/wp-content/uploads/2019/12/hilbert.pdf [b]Mathematische Probleme Vortrag[/b] gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 daraus zu [b]2. Die Widerspruchslosigkeit der arithmetischen Axiome[/b] [quote]Wenn man einem Begriffe Merkmale erteilt, die einander widersprechen, so sage ich: der Begriff existirt mathematisch nicht. So existirt z. B. mathematisch nicht eine reelle Zahl, deren Quadrat gleich -1 ist. Gelingt es jedoch zu beweisen, daß die dem Begriffe erteilten Merkmale bei Anwendung einer endlichen Anzahl von logischen Schlüssen niemals zu einem Widerspruche führen können, so sage ich, daß damit die mathematische Existenz des Begriffes z.B. einer Zahl oder einer Function, die gewisse Forderungen erfüllt, bewiesen worden ist. In dem vorliegenden Falle, wo es sich um die Axiome der reellen Zahlen in der Arithmetik handelt, ist der Nachweis für die Widerspruchslosigkeit der Axiome zugleich der Beweis für die mathematische Existenz des Inbegriffs der reellen Zahlen oder des Continuums. [/quote] Beweis der Widerspruchsfreiheit = Beweis der Existenz [quote]Freilich der Inbegriff der reellen Zahlen, d.h. das Continuum ist bei der eben gekennzeichneten Auffassung nicht etwa die Gesammtheit aller möglichen Dezimalbruchentwicklungen oder die Gesammtheit aller möglichen Gesetze, nach denen, die Elemente einer Fundamentalreihe fortschreiten können, sondern ein System von Dingen deren gegenseitige Beziehungen durch die aufgestellten Axiome geregelt werden und für welche alle und nur diejenigen Thatsachen wahr sind, die durch eine endliche Anzahl logischer Schlüsse aus den Axiomen gefolgert werden können. [/quote] Wahre Tatsachen = das und nur das, was durch eine endliche Anzahl logischer Schlüsse aus den (als wahr vorausgesetzten) Axiomen folgt. Hilbert betrachtet dabei die Mathematik ausschließlich für sich, ohne jeden Bezug zu nicht-mathematischen Entitäten, Tatsachen etc.; siehe auch seine Bierseidln. Das ist aber ein anderer Wahrheitsbegriff als der Tarskis, weil es dazu keiner Übereinstimmung mit Tatsachen bedarf, sondern ausschließlich einer logischen Ableitung aus widerspruchsfreien Axiomen. Wahrheit ist also identisch mit Beweisbarkeit, und Wahrheit ist immer relativ zu dem jeweiligen Axiomensystem. Diese letzte Formulierung hattest du weiter oben schon mal kritisiert; mag sein, dass das im Rahmen der formalen Logik nicht die korrekte Formulierung ist, es sollte aber klar sein, was damit gemeint ist: jedes Axiomensystem definiert eine in sich abgeschlossene Welt wahrer mathematischer Tatsachen. Damit ist Hilberts Wahrheitsbegriff (wenn ich das Wort nochmal verwenden darf) für eine Diskussion empirischer Wahrheiten völlig untauglich, weil er jeden Bezug zu außer-mathematischen Tatsachen negiert. Nun wissen wir seit Gödel, dass das so zu kurz gesprungen ist, nur gibt es darauf sicher nicht nur eine Antwort. Siehe Brouwer: https://plato.stanford.edu/entries/brouwer [quote]… Brouwer characterised mathematics primarily as the free activity of exact thinking, an activity which is founded on the pure intuition of (inner) time. No independent realm of objects and no language play a fundamental role. He thus strived to avoid the Scylla of platonism (with its epistemological problems) and the Charybdis of formalism (with its poverty of content). As, on Brouwer’s view, there is no determinant of mathematical truth outside the activity of thinking, a proposition only becomes true when the subject has experienced its truth (by having carried out an appropriate mental construction); similarly, a proposition only becomes false when the subject has experienced its falsehood (by realizing that an appropriate mental construction is not possible). Hence Brouwer can claim that “there are no non-experienced truths”. [/quote] Ich schreibe das nicht, weil ich diese Ansicht teile, sondern nur als Beispiel für eine Auffassung von Wahrheit, die jenseits einer formalen Logik den Denkprozess des Erreichens bzw. des mentalen Erfahrens der Wahrheit voraussetzt. Also nein, es gibt nicht die Auffassung von Wahrheit in der Mathematik, es gibt mehrere. Interessanterweise sind sich aber Brouwer und Hilbert auf einer gewissen Ebene ziemlich einig: [b]Wahre mathematische Aussage relativ zu einem Axiomensystem = das (H: und nur das), was durch eine endliche Anzahl logischer Schlüsse (B: konstruktiv) aus den Axiomen folgt. [/b] **) Beispiele für andere "Wahrheitsauffassungen" außerhalb der Mathematik https://de.wikipedia.org/wiki/Wahrheit [b]Kohärenztheorie[/b] [quote]Die Wissenschaft als ein System von Aussagen steht jeweils zur Diskussion. […] Jede neue Aussage wird mit der Gesamtheit der vorhandenen, bereits miteinander in Einklang gebrachten Aussagen konfrontiert. Richtig heißt eine Aussage dann, wenn man sie eingliedern kann. Was man nicht eingliedern kann, wird als unrichtig abgelehnt. Statt die neue Aussage abzulehnen, kann man auch, wozu man sich im allgemeinen schwer entschließt, das ganze bisherige Aussagensystem abändern, bis sich die neue Aussage eingliedern lässt […].[/quote] Es geht also um Konsistenz, die zu zeigen wäre (was uns in der Mathematik wieder auf Gödel führt). Aber es zeigt klar, dass die Übereinstimmung mit den Tatsachen irrelevant zu sein scheint. Ich würde heute sagen, das ist ziemlich genau die Wahrheitsauffassung die alternative Fakten stützt. [b]Pragmatismus und Intersubjektivitätstheorien[/b] [quote]Auf Peirce beriefen sich William James und John Dewey, die Hauptvertreter der Wahrheitstheorie des Pragmatismus. Der Sinn von Wahrheit besteht demnach im praktischen Unterschied zwischen wahren und unwahren Ideen. Nach James „besteht ein interner Zusammenhang zwischen der Frage, was Wahrheit ist, und der Frage, wie wir Wahrheit erreichen.“ Mit Blick auf den Verifikationsprozess lässt sich sagen: [b]„Die Definition von Wahrheit hängt mit dem Wahrheitskriterium zusammen.“ [/b] [/quote] Der fett markierte Satz passt zu meiner Auffassung von oben. [b]Konstruktivismus[/b] [quote]Der Radikale Konstruktivismus (RK) nimmt für sich in Anspruch, das Wahrheitsproblem gelöst zu haben, indem er aus dieser Zirkularität heraustritt. Da alle Wahrnehmung subjektiv ist, ist auch die Sicht der Welt oder die Sicht von Dingen ausschließlich subjektiv. Es gibt daher nur miteinander konkurrierende subjektive Wahrheiten. Ein Vergleich mit der Sache selbst ist aus systematischen Gründen nicht möglich. Ernst von Glasersfeld bezieht sich dabei unter anderem auf die Sapir-Whorf-Hypothese, die besagt, dass man mit der Muttersprache die in dieser enthaltenen und ausgedrückten Wahrheiten erlernt. Verschiedene Muttersprachen stehen somit auch für verschiedene Wahrheiten. Der RK gibt daher konsequent den Begriff der einen Wahrheit und damit der Wahrheit selbst aus systematischen Gründen auf.[/quote] Halte ich zwar für nicht zielführend im Kontext einer kritischen Theorie, ist jedoch wahrscheinlich in der Realität gar nicht mal so falsch. Ich würde dem entgegnen, dass Popper nicht das Ziel hat, eine unzureichende Praxis zu beschreiben, sondern eine kritische Praxis zu propagieren, also nicht, wie es ist, sondern wie es sein soll.[/quote]
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TomS
Verfasst am: 28. Apr 2024 11:47
Titel:
Bzgl. der Konstruktion ist es wichtig, zu verstehen, welche Idee dahinter steckt.
In meinen Beispiel ist es die Idee eines vollständigen metrischen Raumes, so dass alle Cauchy-Folgen
in
diesem Raum konvergieren.
Bei den komplexen Zahlen ist es die Idee, dass die Lösungsmengen algebraischer Gleichungen sozusagen immer maximal sind; also jede quadratische Gleichung hat zwei Lösungen, jedes Polynom n-ten Grades hat n Nullstellen.
TomS
Verfasst am: 28. Apr 2024 11:42
Titel:
Quantumdot hat Folgendes geschrieben:
.. und die 0 wird einfach als leere Menge definiert, wie bspw bei der von Neumann-Konstruktion üblich.
Die Zahl n entspricht der Menge, die alle Zahlen von 0 bis n-1 enthält. So kann man rekursiv alle natürlichen Zahlen definieren. Die ganzen Zahlen sind dann Tupel aus natürlichen Zahlen (mit einer gewissen Äquivalenzrelation) usw.
Ja, klar, danke.
Zombiephilosoph
Verfasst am: 28. Apr 2024 11:35
Titel:
Mister_X hat Folgendes geschrieben:
Das klingt alles schlüssig. Dann ist die Eins ja so betrachtet wirklich die Mutter aller anderen Zahlen. Wenn man das so sagen kann:)
Wenn schon, dann die Null. Jede andere natürliche Zahl ist Nachfolger der Null oder Nachfolger des Nachfolgers der Null usw. Dass 1 oder 0 die "einzig wirkliche Zahl" ist, ist keine mathematisch oder logisch fundierte Aussage. Sie fallen eher in die Kategorie von "Meine Lieblingszahl ist 7." Denk` über sowas nicht zu lange nach. Da gibt es wichtigeres mMn bei dem ganzen Themenkomplex.
Quantumdot
Verfasst am: 28. Apr 2024 11:32
Titel:
Mister_X hat Folgendes geschrieben:
Das klingt alles schlüssig. Dann ist die Eins ja so betrachtet wirklich die Mutter aller anderen Zahlen. Wenn man das so sagen kann:)
Also ich bevorzuge es mit der 0 zu beginnen und die 0 wird einfach als leere Menge definiert, wie bspw bei der von Neumann-Konstruktion üblich.
Die Zahl n entspricht der Menge, die alle Zahlen von 0 bis n-1 enthält. So kann man rekursiv alle natürlichen Zahlen definieren. Die ganzen Zahlen sind dann Tupel aus natürlichen Zahlen (mit einer gewissen Äquivalenzrelation) usw.
Mister_X
Verfasst am: 28. Apr 2024 11:21
Titel:
Das klingt alles schlüssig. Dann ist die Eins ja so betrachtet wirklich die Mutter aller anderen Zahlen. Wenn man das so sagen kann:)
TomS
Verfasst am: 28. Apr 2024 11:08
Titel:
Aus der Eins konstruierst du alle natürlichen und ganzen Zahlen.
Aus den ganzen Zahlen konstruierst du rationale Zahlen mittels Brüchen.
Aus diesen wiederum konstruierst du reellen Zahlen als "Vervollständigung" der rationalen Zahlen. Grob gesprochen: Man betrachtet eine Folge rationaler Zahlen als Näherung an die Quadratwurzel von zwei, von der wir wissen, dass sie keine rationale Zahl sein kann. Zwar wird der Abstand benachbarter Folgenglieder immer kleiner und konvergiert gegen null – man spricht von einer sogenannten Cauchy-Folge – allerdings liegt damit kein Grenzwert
innerhalb
der rationalen Zahlen vor; diese sind als metrischer Raum nicht vollständig. Die reellen Zahlen erhält man – wiederum grob gesprochen – indem man zu den rationalen Zahlen die Grenzwerte aller Cauchy-Folgen zunimmt.
Alternative Konstruktionsmethoden sind die Intervallschachtelung und die Dedekindschen Schnitte.
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Folge
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Intervallschachtelung
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Dedekindscher_Schnitt
Mister_X
Verfasst am: 28. Apr 2024 10:46
Titel:
Vielen Dank, interessant! Da muss ich mich in einer ruhigen Stunde nochmal reinlesen, vielleicht besorge ich mir auch das von dir genannte Buch.
Eine noch ganz andere Frage mal an dieser Stelle: bei der Recherche nach den hier besprochenen Aussagenlogik Themen habe ich eine Bemerkung gelesen, die mich nachdenklich gemacht hat.
Dort wurde behauptet, die Zahl 1 sei eigentlich die einzige wirkliche Zahl in der Mathematik, alle anderen Zahlen könnte man mittels der 1 konstruieren.
Ist das wirklich so? Bei natürlichen Zahlen sicher; dort reicht es immer die 1 zu addieren.
Aber wie sieht das bei rationalen oder gar reellen Zahlen aus? Angenommen, ich hätte sämtliche Rechenoperationen wie Multiplikation, Division, Addition usw zur Verfügung.
Zombiephilosoph
Verfasst am: 27. Apr 2024 09:42
Titel:
Mister_X hat Folgendes geschrieben:
Okay, und warum? Wegen der Unvollständigkeit nach Gödel?
Ich würde nicht sagen *wegen* dem Unvollständigkeitssatz von Gödel. Es gibt zumindest mal Methoden zu zeigen, dass die Arithmetik nicht aufzählbar ist, die ohne Gödels Satz auskommen. Kleene zeigt bspw direkt, dass die Arithmetik unentscheidbar ist, also es gibt kein Programm, dass zu jedem Satz ausrechnet ob er wahr ist oder falsch. Daraus folgt dann auch gleich dass es nicht mal ein Programm gibt, dass alle wahren Sätze auflistet. Ansonsten würde man einfach warten bis entweder p oder ~p aufgelistet wird und dann hätte man auch entschieden ob p wahr ist.
Man kann auch benutzen, dass nichtmal die Menge der lösbaren Diophantischen Gleichungen entscheidbar ist (siehe MRDP-Theorem und Hilbert`s 10. Problem. Dazu steht auch ein bisschen was im Buch von Franzen). Die lösbaren Gleichungen sind nämlich mit Sicherheit aufzählbar. Wenn die unlösbaren es auch wären, wären die lösbaren aber wieder entscheidbar. Also sind nicht alle Sätze die behaupten, dass eine bestimmte Gleichung keine Lösung hat aufzählbar.
Wenn man das ein bisschen weiter verfolgt, kann man Gödels ersten Satz damit beweisen. Denn die Theoreme der Form "Die Diophantische Gl. D=0 hat keine Lösung" in einem formalen System S sind aufzählbar und müssen alle wahr sein, wenn S konsistent ist. Sie sind also eine echte Teilmenge der wahren Aussagen dieser Form. Wenn also S keine falschen Aussagen der Form "Die Diophantische Gl. D=0 ist lösbar" beweist, gibt es eine unentscheidbare Aussage der Form "Die Diophantische Gleichung D=0 hat keine Lösung."
hfghgffgh
Verfasst am: 27. Apr 2024 00:25
Titel:
Mathematik ist doch eine Erfindung der Menschen, Logik ist etwas philsophisches. Was diskutiert ihr hier eigentlich?
Mister_X
Verfasst am: 27. Apr 2024 00:00
Titel:
Okay, und warum? Wegen der Unvollständigkeit nach Gödel?
Zombiephilosoph
Verfasst am: 26. Apr 2024 18:31
Titel:
Mister_X hat Folgendes geschrieben:
Aber nochmal kurz zum Thema Wahrheit berechnen: was spricht dem denn entgegen, wenn die Prämissen wahr sind?
Du kannst mit einem vollständigen Kalkül von Schlussregeln alle Folgerungen aus Deinen Axiomen von einem Computer aufzählen lassen. Das sind aber nicht unbedingt alle Wahrheiten, selbst wenn alle Axiome, die Du benutzt alle wahr sind. Die Arithmetik, also die wahren Aussagen über die natürlichen Zahlen kannst Du so bspw nicht aufzählen.
TomS
Verfasst am: 26. Apr 2024 18:24
Titel:
In die Richtung zielen ja auch meine Fragen.
Dabei geht es mir nicht um die vollständige Berechnung bzw. Ableitung aller Wahrheiten (siehe Gödel), jedoch um die Berechnung bzw. Ableitung gewisser Wahrheiten.
Wie weiter oben gesagt, würden Intuitionisten als ein Kriterium der Wahrheit anerkennen, was logisch konsistent und konstruktiv bewiesen wurde (also nicht unter Anwendung des Satzes des ausgeschlossenen Dritten, nicht mittels Auswahlaxiom, sondern tatsächlich explizit).
Beispiel Primkörper mit endlich vielen Elementen
Damit kann man diverse Aussagen für alle Elemente explizit herleiten (zu Primelementen, Polynomen ...), unter Verwendung formaler logischer Schlüsse, und unter Verwendung von konkreten Berechnungen. Das wäre für mich eine "Berechnung von Wahrheiten".
Aber evtl. interpretiere ich das Zitat auch falsch.
Mister_X
Verfasst am: 26. Apr 2024 17:44
Titel:
So, erstmal vielen Dank für die Klärung. Dann lag ich ja gar nicht so verkehrt, ich hatte mich teilweise hier zu dämlich ausgedrückt.
Aber nochmal kurz zum Thema Wahrheit berechnen: was spricht dem denn entgegen, wenn die Prämissen wahr sind?
TomS
Verfasst am: 26. Apr 2024 15:20
Titel:
Wenn du darauf Wert legst, bitte.
Mich interessiert immer noch, mein obiges Beispiel "x • y = 0" und die damit in Zusammenhang stehende, für natürliche Zahlen x,y korrekte Aussage "dann ist x = 0 oder y = 0".
Es ging ursprünglich um
Zitat:
Wenn alle logischen Schlußformen Tautologien wären
, dann könnten wir die Wahrheit immer berechnen. Das können wir aber nicht, wir müssen denken.
Also erkläre doch bitte, oder zitiere dich selbst, in wie weit Schlussformen keine Tautologie sind; oder kommentiere gerne dieses Zitat in Summe.
Zombiephilosoph
Verfasst am: 26. Apr 2024 13:19
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Zombiephilosoph hat Folgendes geschrieben:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Aber die Schlussfolgerung "aus x • y = 0 folgt, dass x = 0 oder y = 0" ist nun mal für natürliche Zahlen korrekt.
"(x)(y) x*y = 0 -> (x = 0 oder y=0)" ist in den natürlichen Zahlen wahr. Es ist aber kein Schluss, weder ein korrekter noch inkorrekter. Du verwechselst wahre Aussagen innerhalb eines Modells mit korrekten Schlüssen. Ein Schluss ist korrekt wenn in jedem Modell wo die Prämissen wahr sind auch die Konklusion wahr ist. Deine anderen Zahlensysteme zeigen also gerade, dass dies kein Schluss ist.
Ich verwechsle da gar nichts; deswegen versuche ich ja, das sprachlich zu trennen.
Das ist schon gut getrennt, Du musst dafür keine neuen Begriffe einführen, besonders wenn die Gefahr besteht, dass man sie mit anderen Begriffen verwechselt. Was Du als Schluss bezeichnest, ist kein Schluss sondern vermutlich einfach eine Aussage.
TomS
Verfasst am: 26. Apr 2024 13:14
Titel:
Zombiephilosoph hat Folgendes geschrieben:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Aber die Schlussfolgerung "aus x • y = 0 folgt, dass x = 0 oder y = 0" ist nun mal für natürliche Zahlen korrekt.
"(x)(y) x*y = 0 -> (x = 0 oder y=0)" ist in den natürlichen Zahlen wahr. Es ist aber kein Schluss, weder ein korrekter noch inkorrekter. Du verwechselst wahre Aussagen innerhalb eines Modells mit korrekten Schlüssen. Ein Schluss ist korrekt wenn in jedem Modell wo die Prämissen wahr sind auch die Konklusion wahr ist. Deine anderen Zahlensysteme zeigen also gerade, dass dies kein Schluss ist.
Ich verwechsle da gar nichts; deswegen versuche ich ja, das sprachlich zu trennen.
Zombiephilosoph hat Folgendes geschrieben:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Es ging ursprünglich um
Zitat:
Wenn alle logischen Schlußformen Tautologien wären
, dann könnten wir die Wahrheit immer berechnen. Das können wir aber nicht, wir müssen denken.
Mich interessiert speziell das "Wenn alle logischen Schlußformen Tautologien wären". Ich wollte dazu ein Gegenbeispiel nennen, das einen korrekten (zutreffenden ... nennen es, wie du möchtest) Schluss darstellt, jedoch keinen aussagenlogisch gültigen Schluss.
Oder hast du aklternativ eine Beispiel für aussagenlogische Schlußformen, die keine Tautologien sind?
Das ist wie ihr philosophischen Leute sagt ein Kategorienfehler. Keine Schlussregel ist eine Tautologie. Ich habe das hier schon öfters erklärt und auch was der Zusammenhang zwischen Schlussregeln und Tautologien ist.
Dann sei so nett und zitiere dich selbst.
Zombiephilosoph
Verfasst am: 26. Apr 2024 12:47
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Aber die Schlussfolgerung "aus x • y = 0 folgt, dass x = 0 oder y = 0" ist nun mal für natürliche Zahlen korrekt.
"(x)(y) x*y = 0 -> (x = 0 oder y=0)" ist in den natürlichen Zahlen wahr. Es ist aber kein Schluss, weder ein korrekter noch inkorrekter. Du verwechselst wahre Aussagen innerhalb eines Modells mit korrekten Schlüssen. Ein Schluss ist korrekt wenn in jedem Modell wo die Prämissen wahr sind auch die Konklusion wahr ist. Deine anderen Zahlensysteme zeigen also gerade, dass dies kein Schluss ist.
TomS hat Folgendes geschrieben:
Es ging ursprünglich um
Zitat:
Wenn alle logischen Schlußformen Tautologien wären
, dann könnten wir die Wahrheit immer berechnen. Das können wir aber nicht, wir müssen denken.
Mich interessiert speziell das "Wenn alle logischen Schlußformen Tautologien wären". Ich wollte dazu ein Gegenbeispiel nennen, das einen korrekten (zutreffenden ... nennen es, wie du möchtest) Schluss darstellt, jedoch keinen aussagenlogisch gültigen Schluss.
Oder hast du aklternativ eine Beispiel für aussagenlogische Schlußformen, die keine Tautologien sind?
Das ist wie ihr philosophischen Leute sagt ein Kategorienfehler. Keine Schlussregel ist eine Tautologie. Ich habe das hier schon öfters erklärt und auch was der Zusammenhang zwischen Schlussregeln und Tautologien ist.
TomS
Verfasst am: 26. Apr 2024 12:29
Titel:
Ich bin mir immer noch nicht sicher, ob ich dich verstehen
In einer Wahrheitstabelle bzw. in einer Belegung kann eine Prämisse A wahr sein. Aber die spezifische Aussage "Der Himmel ist grün" ist einfach falsch. Sobald ich also in der Wahrheitstabelle und dem Schluss A mit "Der Himmel ist grün" assoziiere, kommt für diesen Fall des Himmels möglicherweise Quatsch heraus, obwohl ich eine aussagenlogisch korrekte Schlussform anwende.
Mich interessiert immer noch, mein obiges Beispiel "x • y = 0" und die Schlussfolgerung "x = 0 oder y = 0", wozu du meintest
Zitat:
Es gibt keine [Aussagenlogisch oder Prädikatenlogisch] gültigen Schlüsse, die nur aufgrund spezieller Wahrheitsbelegungen gültig sind ... Was Du da hinschreibst ist keine logische Folgerung, weder Aussagenlogisch noch Prädikatenlogisch.
Stattgegeben.
Aber die Schlussfolgerung "aus x • y = 0 folgt, dass x = 0 oder y = 0" ist nun mal für natürliche Zahlen korrekt.
Es ging ursprünglich um
Zitat:
Wenn alle logischen Schlußformen Tautologien wären
, dann könnten wir die Wahrheit immer berechnen. Das können wir aber nicht, wir müssen denken.
Mich interessiert speziell das "Wenn alle logischen Schlußformen Tautologien wären". Ich wollte dazu ein Gegenbeispiel nennen, das einen korrekten (zutreffenden ... nennen es, wie du möchtest) Schluss darstellt, jedoch keinen aussagenlogisch gültigen Schluss.
Oder hast du aklternativ eine Beispiel für aussagenlogische Schlußformen, die keine Tautologien sind?
Zombiephilosoph
Verfasst am: 26. Apr 2024 11:41
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Und was meinst du dann mit "Eine falsche Aussage kann aber trotzdem zusammen mit allen anderen Prämissen erfüllbar sein."
Ich meine, dass es eine andere Belegung gibt (andere Zeile in der Wahrheitstabelle), in der die falsche Aussage wahr wird und alle anderen Prämissen auch wahr sind. Bei widersprüchlichen Voraussetzungen gibt es genau so eine Belegung nicht.
TomS
Verfasst am: 26. Apr 2024 11:29
Titel:
Ok.
Und was meinst du dann mit "Eine falsche Aussage kann aber trotzdem zusammen mit allen anderen Prämissen erfüllbar sein."
Die Aussage A = "Der Himmel ist grün" ist falsch. Schaut man nur die Wahrheitstabelle an, so könnte man A natürlich den Wahrheitswert "wahr" zuweisen, ohne auf die Bedeutung der Aussage zu schauen; mit dieser Belegung wäre eine Voraussetzung, die A enthält, tatsächlich erfüllt.
Genau das funktioniert bei einer Voraussetzung (A, B) mit B=~A nicht.
Zombiephilosoph
Verfasst am: 26. Apr 2024 11:03
Titel:
Falsch aber erfüllbar (nicht widersprüchlich): "Der Himmel ist grün und das Gras ist grün." Daraus folgen zwar falsche, aber nicht jede beliebige Aussage.
Widersprüchlich, unerfüllbar: "Das Gras ist grün und das Gras ist nicht grün". Daraus folgt jede Aussage.
TomS
Verfasst am: 26. Apr 2024 10:58
Titel:
Dann verstehe ich wirklich nicht, was du meinst. Kannst du zu den beiden Fällen "falsch" und "widersprüchlich" jeweils ein Beispiel nennen?
Zombiephilosoph
Verfasst am: 26. Apr 2024 10:32
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Zombiephilosoph hat Folgendes geschrieben:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Kannst du "
Es kann aber nicht jede beliebige Aussage folgen, es sei denn die Prämisse ist nicht nur falsch, sondern sogar widersprüchlich
" erklären?
Wenn aus den Prämissen A, B, ....... jede beliebige Aussage folgt, dann folgen auch die beiden Aussagen p und ~p. Also sind A, B, ...... widersprüchlich. Wenn sie nicht widersprüchlich sind, kann also mindestens eine Aussage nicht folgen.
Die Umkehrung gilt auch, denn in keiner Zeile der Wahrheitstabelle sind alle Prämissen wahr, damit ist A, B, ....... |= p für jede Aussage p immer erfüllt.
Danke, aber das meinte ich nicht.
Hast Du nicht gerade gefragt was ich meinte? Das meinte ich.
TomS hat Folgendes geschrieben:
Was ist denn der Unterschied zwischen "mindestens eine Prämisse in <A, B, ....... |= p> ist falsch" und "die Prämissen (also mindestens zwei) in <A, B, ....... |= p> sind widersprüchlich".
Widersprüchlich bedeutet nicht erfüllbar. Also in keiner Zeile der Wahrheitstabelle sind alle Aussagen wahr. Eine falsche Aussage kann aber trotzdem zusammen mit allen anderen Prämissen erfüllbar sein.
TomS
Verfasst am: 26. Apr 2024 10:26
Titel:
Zombiephilosoph hat Folgendes geschrieben:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Kannst du "
Es kann aber nicht jede beliebige Aussage folgen, es sei denn die Prämisse ist nicht nur falsch, sondern sogar widersprüchlich
" erklären?
Wenn aus den Prämissen A, B, ....... jede beliebige Aussage folgt, dann folgen auch die beiden Aussagen p und ~p. Also sind A, B, ...... widersprüchlich. Wenn sie nicht widersprüchlich sind, kann also mindestens eine Aussage nicht folgen.
Die Umkehrung gilt auch, denn in keiner Zeile der Wahrheitstabelle sind alle Prämissen wahr, damit ist A, B, ....... |= p für jede Aussage p immer erfüllt.
Danke, aber das meinte ich nicht.
Was ist denn der Unterschied zwischen "mindestens eine Prämisse in <A, B, ....... |= p> ist falsch" und "die Prämissen (also mindestens zwei) in <A, B, ....... |= p> sind widersprüchlich".
Zombiephilosoph
Verfasst am: 26. Apr 2024 10:18
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Kannst du "
Es kann aber nicht jede beliebige Aussage folgen, es sei denn die Prämisse ist nicht nur falsch, sondern sogar widersprüchlich
" erklären?
Wenn aus den Prämissen A, B, ....... jede beliebige Aussage folgt, dann folgen auch die beiden Aussagen p und ~p. Also sind A, B, ...... widersprüchlich. Wenn sie nicht widersprüchlich sind, kann also mindestens eine Aussage nicht folgen.
Die Umkehrung gilt auch, denn in keiner Zeile der Wahrheitstabelle sind alle Prämissen wahr, damit ist A, B, ....... |= p für jede Aussage p immer erfüllt.
TomS
Verfasst am: 26. Apr 2024 09:55
Titel:
Kannst du "
Es kann aber nicht jede beliebige Aussage folgen, es sei denn die Prämisse ist nicht nur falsch, sondern sogar widersprüchlich
" erklären?
Zombiephilosoph
Verfasst am: 26. Apr 2024 09:37
Titel:
Mister_X hat Folgendes geschrieben:
Erstmal vielen lieben Dank für deine Mühe! Das weiß ich zu schätzen.
Wäre p->p nicht ziemlich zirkulär? Aber das würde ja eigentlich erstmal nur bedeuten, dass aus einer falschen Aussage die gleiche falsche Aussage folgt. Oder verstehe ich das falsch?
p->p ist tautologisch, nicht zirkulär. Und ja, mit der zugehörigen Schlussregel folgerst Du nur die Prämisse selber. Trotzdem zeigt das, dass immer mindestens eine falsche Aussage aus einer falschen Prämisse folgt. Ein anderes Beispiel ist "Der Himmel ist grün und das Gras ist grün". Daraus folgt sowohl die wahre Aussage "Das Gras ist grün" als auch die falsche Aussage "Der Himmel ist grün". Aber beides sind nicht dieselbe Aussage wie die Konjunktion "Der Himmel ist grün und das Gras ist grün."
Mister_X hat Folgendes geschrieben:
Mir geht es zum Beispiel um den folgenden Fall: ich möchte mittels Modus Ponens eine Aussage B beweisen.
Nun kann zb der Fall eintreten, dass Aussage A falsch ist und Aussage B wahr. Es kann aber auch der Fall eintreten, daß Aussage A wahr, B aber falsch ist.
Du meinst aus einer falschen Prämisse kann sowohl eine wahre also auch eine falsche Aussage folgen. Das stimmt. Es kann aber nicht jede beliebige Aussage folgen, es sei denn die Prämisse ist nicht nur falsch, sondern sogar widersprüchlich.
Mister_X
Verfasst am: 26. Apr 2024 09:22
Titel:
Erstmal vielen lieben Dank für deine Mühe! Das weiß ich zu schätzen.
Wäre p->p nicht ziemlich zirkulär? Aber das würde ja eigentlich erstmal nur bedeuten, dass aus einer falschen Aussage die gleiche falsche Aussage folgt. Oder verstehe ich das falsch?
Mir geht es zum Beispiel um den folgenden Fall: ich möchte mittels Modus Ponens eine Aussage B beweisen.
Nun kann zb der Fall eintreten, dass Aussage A falsch ist und Aussage B wahr. Es kann aber auch der Fall eintreten, daß Aussage A wahr, B aber falsch ist.
Das meinte ich mit beliebig, war vielleicht zu unpräzise formuliert.
Zombiephilosoph
Verfasst am: 26. Apr 2024 08:23
Titel:
Mister_X hat Folgendes geschrieben:
Deshalb denke ich nicht, dass aus falschen Prämissen automatisch eine falsche Aussage folgt, das hängt vom entsprechenden Fall ab (siehe Wahrheitswertetabelle).
Doch, das ist aber so. p->p ist eine Tautologie. Also ist p |- p ein gültiger Schluss. Wenn p falsch ist, folgt also eine falsche Aussage aus diesem Schluss. Ganz automatisch. Es folgen auch richtige Aussagen, nämlich "p oder nicht p". Es können sogar richtige und nicht-tautologische Aussagen folgen. Z.B. Aus "Der Himmel ist grün und Das Gras ist grün" folgt "Das Gras ist grün" also eine richtige Aussage, obwohl der Prämisse eine falsche Konjunktion ist.
Aber es folgt in keinem der Fälle jede beliebige Aussage, es sei denn Du benutzt widersprüchliche Prämissen.
Zombiephilosoph
Verfasst am: 26. Apr 2024 08:12
Titel:
Zombiephilosoph hat Folgendes geschrieben:
Beispiel Modus tollens
Äh, sorry, ich mein` modus ponens.
Zombiephilosoph
Verfasst am: 26. Apr 2024 08:10
Titel:
Mister_X hat Folgendes geschrieben:
Zitat:
Aber es kann doch nicht beides stimmen! Ihr habt im Matheboard sowieso aneinander vorbeigeredet.
Bin mir da nicht ganz sicher, denn ich bekam ja diese Antwort:
Zitat:
Außerdem gibt es je nach gewählter Logik, d.h. je nachdem, wie man denken möchte, auch logische Schlußformen, die nicht aus einer Tautologie hergeleitet wurden oder hergeleitet werden können.
Ja, wenn man anders denken möchte, aber nicht genau definiert wie, dann kann man alles behaupten. In der gewöhnlichen Logik geht das aber so. Man definiert z.B. die semantische Folgerungsbeziehung.
(B folgt aus A) wenn in jeder Zeile der Wahrheitstabelle für die atomaren Aussagen in A und B folgendes gilt: B ist wahr oder A ist falsch. Mach Dir ganz klar was das bedeutet. Wir haben wirklich jede Zeile der Wahrheitstabelle gecheckt. Genau deshalb ist die Folgerungsbeziehung zwischen A und B unabhängig von den Wahrheitswerten. Dann definiert man eine Reihe rein schematischer Schlussregeln, die zumindest korrekt sind, d.h. wenn
(wenn B aus A formal deduzierbar ist), dann gilt auch
. Dann kann man beweisen, dass zu jeder Schlussregel eine Tautologie gehört. Das ist nur in solchen Kalkülen anders, die eine inkorrekte Schlussregel benutzen. Solche Kalküle sind sicher für irgendwas nützlich, aber die stellen jetzt nicht unbedingt dar, was die meisten Menschen mit dem Wort "Logik" verbinden, würde ich sagen.
Mister_X hat Folgendes geschrieben:
Zitat:
Ja es folgt sicher eine falsche Aussage, nämlich die Aussage p selber. Es kann auch eine richtige Aussage folgen. Aber es folgt nur dann jede beliebige Aussage wenn die Voraussetzungen widersprüchlich sind. Sonst gibt`s immer Aussagen die nicht folgen.
Hast du zufällig einen Link für eine Seite, bei der das gut erklärt wird?
Ich hab vor kurzem diese Site hier gefunden logicmatters.net/ Da gibt es auch einen study guide. Vielleicht findest Du da ja nützliche Information.
Mister_X hat Folgendes geschrieben:
Bei denen, wo ich nachschaue, bekomme ich immer nur die Wahrheitstabellen für zb die Tautologie des Modus Tollens, aber damit begehe ich ja einen Fehler, da ja Schluß und Tautologie nicht das gleiche sind.
Natürlich kannst Du die Gültigkeit eines Schlusses anhand einer Wahrheitstabelle überprüfen. Du kannst ja auch so prüfen ob eine Aussage eine Tautologie ist.
Schreib` Dir die Wahrheitstabelle für die Folge von Aussagen A,B, C |- K hin. Dann suche alle die Zeilen mit A=true, B = true, C = true. (Wenn es keine solche Zeilen gibt, sind A, B, C widersprüchlich und der Schluss ist so gesehen gültig). Dann checke ob in jeder dieser Zeilen auch K = true. Dann ist der Schluss gültig. Und offensichtlich ist A ⋀ B ⋀ C -> K dann eine Tautologie. Beispiel Modus tollens
A->B, A |- B
und sagen wir A und B sind atomare Aussagen. Keine Ahnung wie das jetzt mit der Formatierung klappt mal sehen. Wahrheitstabelle:
Code:
A -> B , A
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 1 1 1
Nur in der letzten Zeile sind alle Prämissen wahr. Und in der Zeile ist auch B wahr, also ist der Schluss korrekt. Nun betrachte
(A->B) ⋀ A -> B
In der Zeile wo (A->B) ⋀ A wahr ist, ist auch B wahr und damit die ganze Aussage. In allen anderen Fällen ist (A->B) ⋀ A falsch und damit wieder die ganze Aussage wahr, also ist (A->B) ⋀ A->B immer wahr und somit eine Tautologie.
Mister_X
Verfasst am: 26. Apr 2024 07:56
Titel:
scilogs.spektrum.de/die-natur-der-naturwissenschaft/tautologien-und-schlussregeln/
Hier habe ich nochmal nachgelesen. Da ist eigentlich gut beschrieben, was ich damit meine, wenn ich sage, dass aus falschen Prämissen beliebiges folgt. Nämlich einfach, dass zb beim Modus Ponens die Gesamtprämisse falsch ist, kann einmal auf die zu schließende Aussage B wahr sein und in einem anderen Fall falsch sein.
Deshalb denke ich nicht, dass aus falschen Prämissen automatisch eine falsche Aussage folgt, das hängt vom entsprechenden Fall ab (siehe Wahrheitswertetabelle).
Mister_X
Verfasst am: 25. Apr 2024 22:11
Titel:
Zitat:
Aber es kann doch nicht beides stimmen! Ihr habt im Matheboard sowieso aneinander vorbeigeredet.
Bin mir da nicht ganz sicher, denn ich bekam ja diese Antwort:
Zitat:
Außerdem gibt es je nach gewählter Logik, d.h. je nachdem, wie man denken möchte, auch logische Schlußformen, die nicht aus einer Tautologie hergeleitet wurden oder hergeleitet werden können.
Zitat:
Ja es folgt sicher eine falsche Aussage, nämlich die Aussage p selber. Es kann auch eine richtige Aussage folgen. Aber es folgt nur dann jede beliebige Aussage wenn die Voraussetzungen widersprüchlich sind. Sonst gibt`s immer Aussagen die nicht folgen.
Hast du zufällig einen Link für eine Seite, bei der das gut erklärt wird? Bei denen, wo ich nachschaue, bekomme ich immer nur die Wahrheitstabellen für zb die Tautologie des Modus Tollens, aber damit begehe ich ja einen Fehler, da ja Schluß und Tautologie nicht das gleiche sind.
TomS
Verfasst am: 25. Apr 2024 22:00
Titel:
Zombiephilosoph hat Folgendes geschrieben:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Für natürliche Zahlen x,y mit x • y = 0 folgt, dass x = 0 oder y = 0.
Warum führst Du hier jetzt Deine Privatterminologie ein? Was Du da hinschreibst ist keine logische Folgerung, weder Aussagenlogisch noch Prädikatenlogisch. Es gibt keine logischen Folgerungen, die nur für natürliche Zahlen gelten.
Es ist aber für natürliche Zahlen eine zutreffende Folgerung, für andere Zahlensysteme dagegen evtl. Oder wie würdest die das bezeichnen? 🙃
Zombiephilosoph
Verfasst am: 25. Apr 2024 21:43
Titel:
Mister_X hat Folgendes geschrieben:
Zitat:
Aber jeder Schluß A|- B ist gültig gdw. A -> B eine Tautologie ist.
Das meine ich eigentlich zu verstehen. Mir ging es darum, dass im Matheboard behauptet wurde, dass sich Schlussschema auch ableiten lassen, wenn keine Tautologien vorliegen. Das hätte mich jetzt auch interessiert.
Aber es kann doch nicht beides stimmen! Ihr habt im Matheboard sowieso aneinander vorbeigeredet.
Mister_X hat Folgendes geschrieben:
Zitat:
Aus jeder falschen Prämisse folgt eine falsche Aussage, weil p->p eine Tautologie ist. Also kann man mit korrekten Schlüssen allen auch keine Wahrheit berechnen. Trotzdem ist ein korrekter Schluß keine Tautologie.
Folgt sicher eine falsche Aussage? Ich hätte jetzt eher gedacht, eine beliebige, da aus falschem ja auch richtiges folgen kann.
Ja es folgt sicher eine falsche Aussage, nämlich die Aussage p selber. Es kann auch eine richtige Aussage folgen. Aber es folgt nur dann jede beliebige Aussage wenn die Voraussetzungen widersprüchlich sind. Sonst gibt`s immer Aussagen die nicht folgen.
Zombiephilosoph
Verfasst am: 25. Apr 2024 21:36
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Für natürliche Zahlen x,y mit x • y = 0 folgt, dass x = 0 oder y = 0.
Warum führst Du hier jetzt Deine Privatterminologie ein? Was Du da hinschreibst ist keine logische Folgerung, weder Aussagenlogisch noch Prädikatenlogisch. Es gibt keine logischen Folgerungen, die nur für natürliche Zahlen gelten.
Mister_X
Verfasst am: 25. Apr 2024 21:27
Titel:
Ja, ich hatte es schon mal angeschnitten.
Tut mir auch Leid, dass ich vielleicht nerve, aber ich würde es gerne verstehen.
Zitat:
Aber jeder Schluß A|- B ist gültig gdw. A -> B eine Tautologie ist.
Das meine ich eigentlich zu verstehen. Mir ging es darum, dass im Matheboard behauptet wurde, dass sich Schlussschema auch ableiten lassen, wenn keine Tautologien vorliegen. Das hätte mich jetzt auch interessiert.
Zitat:
Aus jeder falschen Prämisse folgt eine falsche Aussage, weil p->p eine Tautologie ist. Also kann man mit korrekten Schlüssen allen auch keine Wahrheit berechnen. Trotzdem ist ein korrekter Schluß keine Tautologie.
Folgt sicher eine falsche Aussage? Ich hätte jetzt eher gedacht, eine beliebige, da aus falschem ja auch richtiges folgen kann.
TomS
Verfasst am: 25. Apr 2024 21:26
Titel:
Deswegen unterscheide ich "gültig" und "aussagenlogisch gültig"
Für natürliche Zahlen x,y mit x • y = 0 folgt, dass x = 0 oder y = 0.
Zombiephilosoph
Verfasst am: 25. Apr 2024 20:52
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Es ging mir nicht darum, den Schluss zu "reparieren", sondern um Beispiele für gültige Schlüsse, die nur aufgrund spezieller Wahrheitsbelegungen gültig sind, also keine Tautologien.
Es gibt keine gültigen Schlüsse, die nur aufgrund spezieller Wahrheitsbelegungen gültig sind. Und kein gültiger Schluß ist eine Tautologie. Aber jeder Schluß A|- B ist gültig gdw. A -> B eine Tautologie ist. Dein zweites Beispiel ist auch kein gültiger Schluss, aber das hat nichts mit der Wahrheit der darin vorkommenden Formeln zu tun.
TomS
Verfasst am: 25. Apr 2024 20:46
Titel:
Es ging mir nicht darum, den Schluss zu "reparieren", sondern um Beispiele für gültige Schlüsse, die nur aufgrund spezieller Wahrheitsbelegungen gültig sind, also keine Tautologien.
Evtl. ist das zweite Beispiel besser.