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[quote="TomS"]Sorry, ich hatte deine Frage falsch verstanden; meine Antwort hat wohl mehr verwirrt als geholfen; wie auch immer. 1. Aus der de-Broglischen Theorie der Materiewellen für nicht-relativistische freie Teilchen mit [latex]E= \frac{p^2}{2m}[/latex] kennt man die Zusammenhänge [latex]\lambda = \frac{h}{p}[/latex] [latex]\nu = \frac{E}{h}[/latex] Dabei verwendet man häufig [latex]\omega = 2\pi \nu[/latex] [latex]\hbar = \frac{h}{2\pi}[/latex] und damit [latex]E = \hbar \omega[/latex] 2. Die zeitabhängige Schrödingergleichung ist in gewisser Weise eine Verallgemeinerung dieser Theorie unter Berücksichtigung von Wechselwirkungen, d.h. auch Potentialen. Für die Lösung verwendet man häufig den Separationansatz [latex]\psi(x,t) = e^{-i\omega t} \, u(x)[/latex] wobei die ortsabhängigen Funktionen u(x) dann den Eigenfunktionen des Hamiltonoperators H zum Energie-Eigenwert E entsprechen: [latex](H - E) \, u_E(x) = 0[/latex] Dabei gilt wiederum wie bei de Broglie [latex]E = \hbar \omega[/latex] 3. Beim harmonischen Oszillator tritt dessen Winkelfrequenz Omega [b]anders[/b] auf. Man betrachtet das klassische Potential [latex]V(x) = \frac{1}{2}k x^2[/latex] und die klassische Schwingungsfrequenz Omega gemäß [latex]k = m\Omega^2[/latex] Damit haben wir [latex]E_n = \hbar\omega_n = \hbar\Omega\left(n + \frac{1}{2}\right)[/latex] [latex]\psi_n(x,t) = e^{-i\omega_nt} u_n(x)[/latex] Die Verwirrung tritt also letztlich dann auf, wenn man das Potential des harmonischen Oszillators durch die klassische Frequenz Omega ausdrückt, und wenn man dabei nicht von der Frequenz der Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung unterscheidet. Man erhält quantenmechanische Zustände mit dieser klassischen Schwingungsfrequenz Omega mittels der Konstruktion sogenannter kohärenter Zustände. Dabei handelt es sich jedoch nicht um Energie-Eigenzustände, die eben immer diese n-abhängige Frequenz omega aufweisen. Das sind jedoch alles spezifische Fragen für den harmonischen Oszillator.[/quote]
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Autor
Nachricht
TomS
Verfasst am: 12. März 2024 08:04
Titel:
Sorry, ich hatte deine Frage falsch verstanden; meine Antwort hat wohl mehr verwirrt als geholfen; wie auch immer.
1. Aus der de-Broglischen Theorie der Materiewellen für nicht-relativistische freie Teilchen mit
kennt man die Zusammenhänge
Dabei verwendet man häufig
und damit
2. Die zeitabhängige Schrödingergleichung ist in gewisser Weise eine Verallgemeinerung dieser Theorie unter Berücksichtigung von Wechselwirkungen, d.h. auch Potentialen. Für die Lösung verwendet man häufig den Separationansatz
wobei die ortsabhängigen Funktionen u(x) dann den Eigenfunktionen des Hamiltonoperators H zum Energie-Eigenwert E entsprechen:
Dabei gilt wiederum wie bei de Broglie
3. Beim harmonischen Oszillator tritt dessen Winkelfrequenz Omega
anders
auf.
Man betrachtet das klassische Potential
und die klassische Schwingungsfrequenz Omega gemäß
Damit haben wir
Die Verwirrung tritt also letztlich dann auf, wenn man das Potential des harmonischen Oszillators durch die klassische Frequenz Omega ausdrückt, und wenn man dabei nicht von der Frequenz der Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung unterscheidet.
Man erhält quantenmechanische Zustände mit dieser klassischen Schwingungsfrequenz Omega mittels der Konstruktion sogenannter kohärenter Zustände. Dabei handelt es sich jedoch nicht um Energie-Eigenzustände, die eben immer diese n-abhängige Frequenz omega aufweisen.
Das sind jedoch alles spezifische Fragen für den harmonischen Oszillator.
Gast1001
Verfasst am: 11. März 2024 18:44
Titel:
Das hilft mir schonmal weiter. Vielen Dank. Ich glaube, dass ich die Gleichung
im Kontext der QM noch nicht richtig verstehe. Die beiden obigen Gleichungen sind ja unterschiedlich. Welche beschreibt den jetzt genau die Gesamtenergie richtig? Für
liefert die erste Gleichung ja höhere Energien.
Also ich kam auf die Frage, da im Lehrbuch bei der SGL für den Oszillator:
die Ersetzungen
und
gemacht werden und ich nicht ganz verstehe warum man bei C nicht
und
gegeneinander wegkürzen darf. Dann noch eine Frage, wenn ich die Lösung für die stationäre SGL habe, kann ich für die vollständige Lösung einfach den Term
dran multiplizieren und dann für
wiederum
einsetzten oder?
TomS
Verfasst am: 10. März 2024 21:18
Titel: Re: QM harmonischer Oszillator
Gast1001 hat Folgendes geschrieben:
Die diskreten Energieniveaus sind ja durch
gegeben. Sind dies die kinetischen Energien oder die Gesamtenergien?
Es sind die Eigenwerte des Gesamt-Hamiltonoperators, also die Gesamtenergien.
Die kinetischen Energien sind – wie im klassischen Fall – nicht konstant.
Gast1001 hat Folgendes geschrieben:
Außerdem habe ich bei Wikipedia folgendes gefunden: "Bei jedem physikalischen System erfüllen Energie E und Kreisfrequenz
seiner quantenmechanischen Phase die Gleichung
". Ist in dieser Formel E nur die kinetische Energie oder die Gesamtenergie und ist das
in den beiden Gleichungen dasselbe, oder ist das nur zufällig dieselbe Bezeichung.
Es ist in dieser allgemeinen Form nicht mal richtig. "Bei jedem
abgeschlossenen
System …" ist zutreffend.
Es handelt sich wieder um die Gesamtenergie eines stationären Zustandes.
Gast1001 hat Folgendes geschrieben:
Ich würde vermuten in der ersten Formel beschreibt das
wie gestreckt/gestaucht das Parabelpotential ist …
Richtig. Das ist völlig analog zur klassischen Gleichung. Siehe jedoch das folgende.
Gast1001 hat Folgendes geschrieben:
… und in der zweiten Formel mit welcher Kreisfrequenz die Wellenfunktion zeitlich schwinkt, wenn man den Zeitanteil mitdran multipliziert. Deswegen glaube ich, dass das
in beiden Gleichungen unterschiedlich ist und nur zufällig gleich bezeichnet ist.
Nein, es ist das selbe.
Bei der stationären Schrödingergleichung hat man lediglich die zeitabhängige e-Funktion bereits gekürzt.
Das omega ist erst ein Ergebnis der Lösung der Schrödingergleichung. Dabei erkennt man, dass es aus der Form des Potentials folgt, und schreibt deswegen das Potential gerne unter Verwendung von omega. Ursprünglich steckt es da jedoch noch nicht drin.
Gast1001
Verfasst am: 10. März 2024 20:20
Titel: QM harmonischer Oszillator
Meine Frage:
Bin noch ganz am Anfang und verstehe einige grundlegende Sachen zur Energie des Oszillators nicht. Die diskreten Energieniveaus sind ja durch
gegeben. Sind dies die kinetischen Energien oder die Gesamtenergien? Außerdem habe ich bei Wikipedia folgendes gefunden: "Bei jedem physikalischen System erfüllen Energie E und Kreisfrequenz
seiner quantenmechanischen Phase die Gleichung
". Ist in dieser Formel E nur die kinetische Energie oder die Gesamtenergie und ist das
in den beiden Gleichungen dasselbe, oder ist das nur zufällig dieselbe Bezeichung. Dankeschön
Meine Ideen:
Also die erste Formel erhält man ja durch Lösen der stationären SGL, da hat man gar keinen Zeitanteil. Ich würde vermuten in der ersten Formel beschreibt das
wie gestreckt/gestaucht das Parabelpotential ist und in der zweiten Formel mit welcher Kreisfrequenz die Wellenfunktion zeitlich schwinkt, wenn man den Zeitanteil mitdran multipliziert. Deswegen glaube ich, dass das
in beiden Gleichungen unterschiedlich ist und nur zufällig gleich bezeichnet ist.