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[quote="TryingToUnderstandIt"][b]Meine Frage:[/b] Hallo mal wieder, Hier habe ich eine Aufgabe, bei der ich euch um eine kurze Überprüfung meiner Rechnung bitten möchte. Kurz zum Kontext: Gegeben ist eine eindimensionale lineare Kette bestehend aus N Atomen. Mit periodischen Randbedingungen und a als Abstand zweier Atome ist die Dispersionrelation gegeben als: [latex]w(q_{i}) = 2*w_{0}* |sin(\frac{q_{i}*a}{2})| [/latex] Zu Berechnen sind für diese lineare Kette in der Debye-Näherung die innere Energie U(T) und die molare Wärmekapazität C_V(T) im Grenzfall hoher Temperaturen (T-> infinity). [b]Meine Ideen:[/b] Jetzt zu meinen Berechnungen: 1. molare Wärmekapazität: Die Spezifische Wärme oder molare Wärmekapazität ist gegeben durch: [latex] C_V = (\frac{\partial U}{\partial T})_V = 9Nk_B(\frac{T}{\theta})^3*\int_{0}^{x_D} \frac{x^4*e^x}{(e^x-1)^2}dx [/latex] mit [latex] x_D = \frac{\theta}{T} [/latex] und [latex] x = \frac{\hbar*w}{k_B*T} [/latex] Für hohe Temperaturen geht x gegen 0, also das Integral berechnet: [latex] C_V = (\frac{\partial U}{\partial T})_V = 9Nk_B(\frac{T}{\theta})^3*\frac{1}{3} * (\frac{\theta}{T})^3 = 3*N*k_{B} = 3R [/latex]. Soviel zur Wärmekapazität. Damit habe ich dann die innere Energie berechnet: Mit der vorherigen Definition: [latex] C_V = (\frac{\partial U}{\partial T})_V => U = \int C_{V} * dT = 3R*T + const. [/latex] Soviel zu meinen Berechnungen. Ich würde mich über ein Feedback freuen oder falls nötig Hinweise über Rechenfehler.[/quote]
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TryingToUnderstandIt
Verfasst am: 13. Dez 2023 17:32
Titel: Wärmekapazität eindimensionale lineare Kette
Meine Frage:
Hallo mal wieder,
Hier habe ich eine Aufgabe, bei der ich euch um eine kurze Überprüfung meiner Rechnung bitten möchte. Kurz zum Kontext: Gegeben ist eine eindimensionale lineare Kette bestehend aus N Atomen. Mit periodischen Randbedingungen und a als Abstand zweier Atome ist die Dispersionrelation gegeben als:
Zu Berechnen sind für diese lineare Kette in der Debye-Näherung die innere Energie U(T) und die molare Wärmekapazität C_V(T) im Grenzfall hoher Temperaturen (T-> infinity).
Meine Ideen:
Jetzt zu meinen Berechnungen: 1. molare Wärmekapazität:
Die Spezifische Wärme oder molare Wärmekapazität ist gegeben durch:
mit
und
Für hohe Temperaturen geht x gegen 0, also das Integral berechnet:
. Soviel zur Wärmekapazität.
Damit habe ich dann die innere Energie berechnet:
Mit der vorherigen Definition:
Soviel zu meinen Berechnungen. Ich würde mich über ein Feedback freuen oder falls nötig Hinweise über Rechenfehler.