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[quote="Myon"]Bitte, bitte entschuldige. Ich habe gestern abend offenbar einen grossen Blödsinn geschrieben. Die Divergenz des Vektorfelds ist tatsächlich =0 (?), dann muss auch der Fluss durch den Zylinder =0 sein. Aber ich verstehe das gerade gar nicht, hab einen Blackout. Wie kann der Fluss verschwinden, wenn das Vektorfeld radial nach aussen zeigt und der Zylinder den Ursprung umschliesst? Hab auch den Fluss über das Oberflächenintegral berechnet und erhalte etwas Positives, aber da muss ich mich verrechnet haben, was auch gut möglich ist. Nochmals sorry.[/quote]
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Myon
Verfasst am: 26. Okt 2023 10:12
Titel:
PS: Das Problem liegt beim Ursprung. Dort divergiert F, und für die Divergenz gilt
Der Fluss durch den Zylinder ergibt folglich 4*pi. Das ergibt sich auch, wenn man über die Oberflächen integriert.
Myon
Verfasst am: 26. Okt 2023 09:43
Titel:
Bitte, bitte entschuldige. Ich habe gestern abend offenbar einen grossen Blödsinn geschrieben. Die Divergenz des Vektorfelds ist tatsächlich =0 (?), dann muss auch der Fluss durch den Zylinder =0 sein.
Aber ich verstehe das gerade gar nicht, hab einen Blackout. Wie kann der Fluss verschwinden, wenn das Vektorfeld radial nach aussen zeigt und der Zylinder den Ursprung umschliesst? Hab auch den Fluss über das Oberflächenintegral berechnet und erhalte etwas Positives, aber da muss ich mich verrechnet haben, was auch gut möglich ist. Nochmals sorry.
Myon
Verfasst am: 25. Okt 2023 21:31
Titel: Re: Divergenz durch einen Zylinder
Bauarbiau hat Folgendes geschrieben:
Da wir uns ja die Oberfläche anschauen, wollen wir ja den Fluss bei rho=4 bestimmen.
Das verstehe ich nicht ganz. Weshalb rho=4? Gefragt ist ja der Fluss durch die ganze Oberfläche des Zylinders, nicht nur den Deckel, für den z=4 wäre.
Man müsste das Skalarprodukt mit den jeweiligen Flächennormalen von Deckel, Mantel und Unterseite
bilden und dann über die Flächen integrieren. Das sollte schon machbar sein. Aber mit dem Gaussschen Satz, wie von Dir erwähnt, geht es wahrscheinlich einfacher (die Divergenz ist aber nicht gleich null; auch der Fluss durch den Zylinder kann nicht gleich null sein, denn das Vektorfeld zeigt ja radial nach aussen). Ich komme heute aber nicht mehr dazu, selber nachzurechnen.
Bauarbiau
Verfasst am: 25. Okt 2023 20:05
Titel: Divergenz durch einen Zylinder
Meine Frage:
Hallo,
Ich habe folgende Aufgabe:
Für ein Vektorfeld der Form
soll der Fluss durch einen Zylinder bestimmt werden:
Wie bestimme ich hier das Oberflächenintegral?
Meine Ideen:
Mein Ansatz bisher war es:
1. eine Parametrisierung aufzustellen des Zylinders
Da wir uns ja die Oberfläche anschauen, wollen wir ja den Fluss bei rho=4 bestimmen.
2. die Flächennormale bestimmen:
3. Bestimmung des Integrals:
.
Allerdings ist mir hier erst aufgefallen, das der Vektor F in Kugelkoordinaten beschrieben wird und es so schwierig wird das Integral auszurechnen, bzw. ich nicht weiß wie man es ausrechnen kann.
Weiterhin kann man hier ja den Satz von Gauß nutzen, denn es gilt auch:
.
Dabei käme dann 0 für die Divergenz raus, wenn die Divergenz in Kugelkoordinaten bestimmt wird. Allerdings wollte ich gerne zur Übung auch die andere Seite mal ausrechnen, da ich mit Oberflächenintegralen noch nicht gut klar komme.
MFG