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[quote="pfeifhns"][b]Meine Frage:[/b] Für die Erkläung einer kovarianten/kontravarianten Ableitung eines Tensors wird beschrieben, dass die gewöhnliche Ableitung einen Term enthält, so dass die gewöhnliche Ableitung kein Tensor ist. Seien also [latex]T^{i}[/latex] die Komponenten eines kontravarianten Tensors in dem System [latex]x(i)[/latex], wobei die [latex]x(i)[/latex] nach t parametrisiert sein sollen. Sei weiterhin [latex]\bar{x}[/latex] ein weiteres System, so dass die Transformationsgleichung für Tensoren gilt: [latex] \bar{T}^{i} = T^{r} \frac{\partial \bar{x}^{i}}{\partial x^{r}}[/latex] Jetzt soll obige Gleichung nach t abgeleitet werden. Als Ergebnis wird angegeben: [latex]\frac{\dd \bar{T}^{i}}{\dd t} = \frac{\dd T^{r}}{\dd t} \frac{\partial \bar{x}^{i}}{\partial x^{r}} + T^{r} \frac{\partial^{2} \bar{x}^{i}}{\partial x^{r}\partial x^{s}} \frac{\partial \bar{x}^{s}}{\partial dt}[/latex] Wie der zweite Term zustande kommt, verstehe ich nicht. [b]Meine Ideen:[/b] Ich habe: [latex]\frac{\dd \bar{T}^{i}}{\dd t} = \frac{\dd T^{r}}{\dd t}\frac{\partial \bar{x}^{i}}{\partial x^{r}} + T^{r} \frac{\dd }{\dd t}(\frac{\partial \bar{x}^{i}}{\partial x^{r}}) [/latex] Das ist die Produktregel. Aber bei dem Ausdruck [latex]\frac{\dd }{\dd t}(\frac{\partial \bar{x}^{i}}{\partial x^{r}})[/latex] komme ich einfach nicht weiter. Klar ist mir noch, dass man mit der multivarianten Kettenregel auf die [latex]x^{s}[/latex] im Term kommt: [latex]\frac{\partial^{2} \bar{x}^{i}}{\partial x^{r}\partial x^{s}} \frac{\partial \bar{x}^{s}}{\partial dt}[/latex] . Woher kommt nun aber [latex]\partial^{2}[/latex]??[/quote]
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Nachricht
pfeifhns
Verfasst am: 28. Sep 2023 10:31
Titel: Kovariante/kontravariante Ableitung eines Tensors
Meine Frage:
Für die Erkläung einer kovarianten/kontravarianten Ableitung eines Tensors wird beschrieben, dass die gewöhnliche Ableitung einen Term enthält, so dass die gewöhnliche Ableitung kein Tensor ist.
Seien also
die Komponenten eines kontravarianten Tensors in dem System
, wobei die
nach t parametrisiert sein sollen. Sei weiterhin
ein weiteres System, so dass die Transformationsgleichung für Tensoren gilt:
Jetzt soll obige Gleichung nach t abgeleitet werden. Als Ergebnis wird angegeben:
Wie der zweite Term zustande kommt, verstehe ich nicht.
Meine Ideen:
Ich habe:
Das ist die Produktregel. Aber bei dem Ausdruck
komme ich einfach nicht weiter. Klar ist mir noch, dass man mit der multivarianten Kettenregel auf die
im Term kommt:
. Woher kommt nun aber
??