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[quote="TomS"][quote="Playerxz"]Blöde Frage, darf man denn klassisch problemlos alles durchnummerieren oder ist es dort auch nur ein eigentlich unzulässiges Hilfskonstrukt?[/quote] Mir fällt tatsächlich nur ein problematischer Fall ein, nämlich das Gibbsche Paradoxon in der statistischen Mechanik.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 13. Jun 2024 23:43<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Maddin01 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Okay. Also gilt es auch für zb verschränkte Teilchen?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ja.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 13. Jun 2024 11:49<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Maddin01 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Alles klar, danke! <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Maddin01 hat Folgendes geschrieben: <br />Und in der statistischen Mechanik ist es nur dann erlaubt, wenn ich die identischen Konfigurationen nur einmal zähle? <br /> <br />Genau.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Würde dies auch so in der Quantenmechanik gelten?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ja. <br /> <br />Siehe oben das Beispiel mit dem 3-dim. harmonischen Oszillator. Die Summe über k,l,m ist genau eine Summe über quantenmechanische Zustände.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Maddin01</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 13. Jun 2024 09:31<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Alles klar, danke! <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Maddin01 hat Folgendes geschrieben: <br />Und in der statistischen Mechanik ist es nur dann erlaubt, wenn ich die identischen Konfigurationen nur einmal zähle? <br /> <br />Genau.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Würde dies auch so in der Quantenmechanik gelten?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 13. Jun 2024 08:18<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Maddin01 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Also, in der newtoschen Mechanik ist das durchzunummerieren erlaubt, da ich keine Größe berechne, die von der Anzahl der Konfigurationen abhängig ist, korrekt?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ja. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Maddin01 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Und in der statistischen Mechanik ist es nur dann erlaubt, wenn ich die identischen Konfigurationen nur einmal zähle?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Genau.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Maddin01</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 13. Jun 2024 07:39<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Also, in der newtoschen Mechanik ist das durchzunummerieren erlaubt, da ich keine Größe berechne, die von der Anzahl der Konfigurationen abhängig ist, korrekt? <br /> <br />Und in der statistischen Mechanik ist es nur dann erlaubt, wenn ich die identischen Konfigurationen nur einmal zähle?[/b]</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 13. Jun 2024 06:30<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Maddin01 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich glaube, vielleicht reden wir etwas aneinander vorbei (wenn auch nicht viel :) ).</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ganz wenig. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Maddin01 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Eigentlich wollte ich nur darauf hinweisen, dass man in der newtoschen Mechanik Szenarien konstruieren kann, bei denen die Körper identische Eigenschaften (Massen, Trägheitsmoment usw.)haben, diese aber trotzdem durchnummeriert werden. Und das steht ja eigentlich im Widerspruch zur statistischen Mechanik.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Nein, durchnummerieren alleine ist noch kein Widerspruch oder Fehler. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">… in der statistischen Mechanik machst du einen Fehler, weil die Zahl der unterscheidbaren Konfigurationen relevant ist.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Wenn du also gedanklich deine beiden äußeren Massen nummerierst, darfst du gedanklich unterscheiden, ob die Massen 1,2,3 die Schwingungen 7,9,2 ausführen, oder ob die Massen 1,2,3 die Schwingungen 2,9,7 ausführen. <br /> <br />Aber separat zählen darfst du sie nicht [wobei ich zählen hier im Kontext der klassischen oder Quantenstatistik verstehe]</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />In der klassischen Physik ist die Ununterscheidbarkeit der Teilchen erst dann relevant, wenn du eine physikalische Größe berechnest, in die die Zahl der möglichen Konfigurationen eingeht. Entweder verzichtest du auf das Durchnummerieren, oder du korrigierst zuletzt die durch die gedanklichen Labels falsche Zahl der Konfigurationen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Maddin01</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Jun 2024 22:11<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich glaube, vielleicht reden wir etwas aneinander vorbei (wenn auch nicht viel <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /> ). <br /> <br />Eigentlich wollte ich nur darauf hinweisen, dass man in der newtoschen Mechanik Szenarien konstruieren kann, bei denen die Körper identische Eigenschaften (Massen, Trägheitsmoment usw.)haben, diese aber trotzdem durchnummeriert werden. Und das steht ja eigentlich im Widerspruch zur statistischen Mechanik.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Jun 2024 18:11<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Maddin01 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Mit Zwangsanregung meine ich zb eine Kraft, die periodisch auf einen Körper einwirkt. <br /> <br />Aber so wie ich dich verstehe, würde dies berücksichtigt werden und die Massen wären dann wieder unterscheidbar, zumindest nummerierbar.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Es wäre eher so, dass die oben eingeführten Funktionen f(t) und g(t) anders aussähen; und Teilchen 1 und 3 hätten nicht mehr die selben f's, wenn eines davon einer derartigen Anregung unterläge. <br /> <br />Realistischer wären aber einfach drei verschiedene Massen und zwei unterschiedliche Potentiale bzw. Federhärten. Siehe z.B. <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Cyanwasserstoff" target="_blank" class="postlink">HCN</a>. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Maddin01 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Vermutlich scheitern auch die meisten Gedanken von mir zur Ununterscheidbarkeit im makroskopischen, da es in der Realität so gut wie keine identischen Körper gibt. Sei der Unterschied noch so klein.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Na ja, niemand untersucht ein Tischtennisballgas. Aber Isotopeneffekte in Uranhexafluorid könnten interessant sein.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Maddin01</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Jun 2024 17:43<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Mit Zwangsanregung meine ich zb eine Kraft, die periodisch auf einen Körper einwirkt. <br /> <br />Aber so wie ich dich verstehe, würde dies berücksichtigt werden und die Massen wären dann wieder unterscheidbar, zumindest nummerierbar. <br /> <br />Vermutlich scheitern auch die meisten Gedanken von mir zur Ununterscheidbarkeit im makroskopischen, da es in der Realität so gut wie keine identischen Körper gibt. Sei der Unterschied noch so klein.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Jun 2024 17:09<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Noch eine Anmerkung, wie die Quantenmechanik bzw. Quantenfeldtheorie das Problem der Symmetrisierung für Bosonen sowie Antisymmetrisierung für Fermionen automatisch löst. <br /> <br />Bsp. zwei Bosonen in zwei möglichen Zuständen; die Teilchen werden mit 1,2 nummeriert, die Wellenfunktionen sind mit den Labels A,B für die Zustände versehen. Ununterscheidbarkeit und daher Symmetrie unter Vertauschung der Teilchen 1,2 führt auf <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\psi_{AB}(x_1, x_2) = \phi_A(x_1) \, \phi_B(x_2) + \phi_B(x_1) \, \phi_A(x_2)"> <br /> <br />Symmetrie unter Vertauschung zweier Teilchen bedeutet, dass <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\psi_{AB}(x_1, x_2) = \psi_{AB}(x_2, x_1)"> <br /> <br />gelten muss. <br /> <br />Du kannst dir vorstellen, dass es schon bei drei Teilchen keinen rechten Spaß macht, sowas hinzuschreiben. <br /> <br />Führt man nun formal Erzeuger ein, die ein Teilchen bzw. in der n-ten Potenz n Teilchen in Zuständen A,B … erzeugen, so darf man schreiben <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?|\psi\rangle = |n_A, n_B, \ldots \rangle = \left(a^\dagger_A\right)^{n_A} \, \left(a^\dagger_B\right)^{n_B} \, \ldots \, |0\rangle"> <br /> <br />Und das war's. Diese Zustände sind automatisch symmetriert, Nummern für Teilchen treten überhaupt nicht mehr auf. Damit ist der Formalismus so gestaltet, dass man überhaupt nichts hinschreiben kann, was zwischen identischen Teilchen unterscheiden würde.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Jun 2024 16:10<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Maddin01 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">So, vielen Dank erstmal für diese gut verständliche und umfangreiche Ausführung!</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Gerne. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Maddin01 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Mir ging es erstmal nur darum, dass das durchzunummerieren der Körper in der Mechanik völlig normal ist. So wie ich es sehe, ist es also genau dann in Ordnung, wenn ich die identischen Zustände nur einmal zähle und nicht doppelt bzw. N-fach mitzähle!? </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ja. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Maddin01 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Und wie wäre es denn, wenn die beiden äußeren Körper trotz identischer Eigenschaften andere Schwingungsdifferentialgleichungen hätten? Zb weil der rechte Körper eine Zwangsanregung erfährt</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Was ist eine Zwangsanregung? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Maddin01 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">dann müsste ich trotz identischen Körpern zwischen dem Zustand des linken und rechten Körpers unterscheiden können.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Zumindest in der statistischen Mechanik zählen immer nur die Zustände. <br /> <br />Betrachten wir wieder die o.g. Summe <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?Z = \sum_{klm}z_{klm}"> <br /> <br />wobei klm bereits geeignet eingeschränkt ist. <br /> <br />Dann interessiert in der statistischen Mechanik eigentlich nur <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?Z = \sum_E \nu_E \, z_E"> <br /> <br />Die klm o.ä. laufen über alle Mikrozustände, die Energien E über Makrozustände; dabei umfasst ein Makrozustand der selben Energie E unterschiedlichen Mikrozustände; die Anzahl der Mikrozustände je Makrozustand steckt im Entartungsgrad nu. <br /> <br />Bsp. 3-dim. harmonischer Oszillator in der QM (nicht mehr die Moleküle) <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?E_{klm} = \hbar\omega(k + l +m)"> <br /> <br />wobei k, l, m den drei Quantenzahlen zu x, y, z entsprechen. <br /> <br />Exemplarisch haben wir <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k+l+m = 0: \quad \nu_0 = 1, \quad k = 0 \;|\; l = 0 \;|\; m = 0"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k+l+m = 1: \quad \nu_1 = 3, \quad klm = 100 \;|\; klm=010 \;|\; klm = 001"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k+l+m = 2: \quad \nu_2 = 6, \quad klm = 110 \;|\; klm=101 \;|\; klm = 110 \;|\; klm = 200 \;|\; klm = 020 \;|\; klm = 002"> <br /> <br />Wenn ein Teilchen oder Körper eine derartige Symmetrie stört und anders beiträgt, weil er eine andere Masse oder eine andere Schwingungsfrequenz har und dies zu anderen Energien führt, dann wird dies natürlich unterschieden.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Maddin01</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Jun 2024 15:17<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">So, vielen Dank erstmal für diese gut verständliche und umfangreiche Ausführung! <br /> <br />Mir ging es erstmal nur darum, dass das durchzunummerieren der Körper in der Mechanik völlig normal ist. So wie ich es sehe, ist es also genau dann in Ordnung, wenn ich die identischen Zustände nur einmal zähle und nicht doppelt bzw. N-fach mitzähle!? <br /> <br />Und wie wäre es denn, wenn die beiden äußeren Körper trotz identischer Eigenschaften andere Schwingungsdifferentialgleichungen hätten? Zb weil der rechte Körper eine Zwangsanregung erfährt; dann müsste ich trotz identischen Körpern zwischen dem Zustand des linken und rechten Körpers unterscheiden können.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Jun 2024 08:42<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">In diesem Fall unterscheiden sich wieder nicht die Körper, sondern die Orte bzw. Bewegungen der Körper sowie ihre Wechselwirkungen. <br /> <br />Das ist aber ein sehr gutes Beispiel. <br /> <br />Nehmen wir drei identische, durch Federn gekoppelte Massen m als klassisches Modell eines in sich vibrierenden dreiatomigen Moleküls; vernachlässigen wir Rotationsfreiheitsgrade. <br /> <br />Vieles gilt gleichermaßen für die quantenmechanische Betrachtung. <br /> <br />In der statistischen Mechanik eines Gases bestehend aus dreiatomigen Molekülen müssen wir Mikrozustände zählen; diese resultieren aus i) "äußeren" Eigenschaften jedes Moleküls, d.h. Schwerpunkt, Schwerpunktsimpuls sowie ii) "inneren" Eigenschaften eines Moleküls, d.h. Vibrationen relativ zum Schwerpunkt; die beiden äußeren Atome werden anders schwingen als das mittlere. <br /> <br />Ich betrachte im folgenden ausschließlich die Abzählung für (ii), die Abzählung für (i) erfolgt wie bisher bei den Bällen. <br /> <br />Die Lösungen der Schwingungsgleichungen nenne ich f(t), g(t); f(t) gilt für die beiden äußeren Atome, g(t) für das mittlere. Eine Lösung für ein Molekül lautet <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F_{klm}(t) = (f_k(t), g_l(t), f_m(t))"> <br /> <br />Die Indizes klm nummerieren die Eigenlösungen der Schwingungsgleichung. <br /> <br />Ein Mikrozustand eines Moleküls, d.h. wie das Molekül vibriert, ist eindeutig festgelegt durch die Indizes, d.h. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?|\psi\rangle = |klm\rangle, \quad k,l,m \in \mathbb{N}"> <br /> <br />In der klassischen Mechanik bezeichnen f(t) und g(t) Bahnkurven, in der Quantenmechanik bezeichnet F(t) die Wellenfunktion. Die Nummerierung mittels k,l,m d.h. die Benennung des Zustandes sollte im wesentlichen identisch sein. <br /> <br />Die wesentliche Konsequenz der Ununterscheidbarkeit der beiden äußeren Teilchen besagt, dass wir die beiden Zustände <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?|klm\rangle, |mlk\rangle "> <br /> <br />identifieren müssen. <span style="font-weight: bold">D.h. es gibt nur einen Zustand</span>. In der Nummerierung berücksichtigen wir dies z.B. mittels der zusätzlichen Forderung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k \le m"> <br /> <br />In der statistischen Mechanik betrachtet man Funktionen wie Z (Zustandssumme) u.a.; die Beiträge der einzelnen Zustände aufsummieren. D.h. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?Z = \sum_{klm, k \le m} z_{klm}"> <br /> <br />z hängt z.B. von der Energie des jeweilen Zustandes ab. Details der Funktion z sind hier irrelevant. <br /> <br />Beispiel: Ein möglicher Zustand d.h. eine mögliche Vibration sei k=7, l=9, m=2. Dann tritt in Z <span style="font-weight: bold">ein</span> Term auf, <span style="font-weight: bold">nicht zwei</span>. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?Z = \ldots z_{297} + {\color{red} z_{792}}"> <br /> <br /><span style="color: red">Der zweite Term ist verboten. </span> <br /> <br />Wenn du also gedanklich deine beiden äußeren Massen nummerierst, darfst du gedanklich unterscheiden, ob die Massen 1,2,3 die Schwingungen 7,9,2 ausführen, oder ob die Massen 1,2,3 die Schwingungen 2,9,7 ausführen. <br /> <br />Aber separat zählen darfst du sie nicht, da die einzige Unterscheidung in den von dir eingeführten Labels besteht. <br /> <br />Wie gesagt, das gilt für die klassische Mechanik und die Quantenmechanik.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Maddin01</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Jun 2024 07:30<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Mir ging es in der newtoschen Mechanik um folgende Situationen: <br /> <br />Mal angenommen, ich habe einen Mehrmassenschwinger, also verschiedene Massen, die mit Federn zu einem schwingungsfähigen System verbunden werden. <br /> <br />Hier ist es ganz normal, die Massen durchzunummerieren, also m1 ... mn. Nun kann es auch sein, dass alle Körper die gleiche Masse haben, m1=m2=...=mn. Wäre das dann nicht ein Widerspruch zur geforderten Ununterscheidbarkeit identischer Körper der stat. Mechanik?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Jun 2024 20:04<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Maddin01 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Also müsste ich theoretisch in der newtoschen Mechanik auch meinen Sprachgebrauch ändern? Und wäre deine gezeigte Beschreibung nun zulässig oder nicht (vom Potential)?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />In der Newtonschen Mechanik kann nichts schiefgehen, weil du immer nur an einer Lösung interessiert bist. Wenn du n! physikalisch identische Lösungen hinschreibst, ist das lediglich überflüssig. <br /> <br />In der statistischen Mechanik wird's dagegen falsch, weil die Anzahl der Konfigurationen den Wert physikalischer Größen beeinflusst. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Maddin01 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Mir geht es jetzt einfach um den realen Versuch, wenn ich die Bälle alle <span style="font-weight: bold">gedanklich</span> label. Dann wären für mich die Bälle schon unterschiedlich, <span style="font-weight: bold">da sich ja jeder an einem anderen Ort</span> befinden würde.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ich glaube, du vermischst das immer noch. <br /> <br />Die Orte zweier Bälle 1 und 2 sind physikalisch unterscheidbar, wenn es sich um verschiedene Orte handelt; "ein Ball ist am Ort a, einer am Ort b" liefert aber nur eine Konfiguration. <br /> <br />Die Bälle bleiben physikalisch ununterscheidbar, auch wenn du ihnen noch eine gedachte Nummer verpasst; daher sind die Konfigurationen "Ball 1 ist am Ort a und Ball 2 ist am Ort b" sowie "Ball 2 ist am Ort a und Ball 1 ist am Ort b" ununterscheidbarer (exakt so wie oben in der QM). <br /> <br />Die Konfigurationen "ein Ball der Masse m ist am Ort a und ein anderer Ball der Masse M ist am Ort b" sowie "ein Ball der Masse M ist am Ort a und ein anderer Ball der Masse m ist am Ort b" sind jedoch unterscheidbar; das liefert zwei Konfigurationen, ist aber ein physikalischer Unterschied aufgrund der Massen, nicht nur einer aufgrund gedachter Labels. <br /> <br />Du kannst entweder die Labels komplett weglassen, oder du kannst sie verwenden, musst dann jedoch Konfigurationen identifizieren, die sich in nichts unterscheiden außer in den Labels.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Maddin01</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Jun 2024 16:35<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Also müsste ich theoretisch in der newtoschen Mechanik auch meinen Sprachgebrauch ändern? Und wäre deine gezeigte Beschreibung nun zulässig oder nicht (vom Potential)? <br /> <br />Mir geht es jetzt einfach um den realen Versuch, wenn ich die Bälle alle gedanklich label. Dann wären für mich die Bälle schon unterschiedlich, da sich ja jeder an einem anderen Ort befinden würde. <br /> <br />Aber gut, ich vermute mal, dass mein Gedankenexperiment scheitert, weil in echt kein Ball identisch ist, sei der Unterschied noch so klein...</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Jun 2024 15:40<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Nimm an, du hast diese i = 1, 2 ... n identischen Tischtennisbälle, alle mit derselben Masse m, deren wechselweises Potential nur vom Abstand abhängt, sowie einen vollständigen Satz von Anfangsbedingungen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\phi_0 = \{(r_0^{(1)}, v_0^{(1)}), (r_0^{(2)}, v_0^{(2)}) \ldots \}"> <br /> <br />Die Aufgabe ist, alle Lösungen zu finden. <br /> <br />Es gibt exakt eine: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\phi_t = \{(r_t^{(1)}, v_t^{(1)}), (r_t^{(2)}, v_t^{(2)}) \ldots \}"> <br /> <br />Oder schreibst alle n! Permutationen dieser einen Lösung hin, nur weil du dir die Labels dazudenken kannst? <br /> <br />In dem Fall verschwendest du nur Papier, aber in der statistischen Mechanik machst du eben einen Fehler, weil die Zahl der unterscheidbaren Konfigurationen relevant ist.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Maddin01</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Jun 2024 15:23<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Also ist verständlich, wo mein Problem liegt?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Maddin01</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Jun 2024 13:08<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Aber angenommen ich habe ein großes Gefäß mit n Tischtennisbällen, und jeder Ball hat eine andere Nummer ansonsten sind sie identisch. Wenn ich sie durchmische, kann ich sehr wohl Ball 1 bis Ball n voneinander unterscheiden. <br /> <br />Generell: in der Mechanik nummeriere ich Körper, auch wenn sie ansonsten identisch sind, doch auch durch (zb Masse m1 ....mn). Das ist doch auch ein Teil der klassischen Physik? Und dort ist es erlaubt!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Jun 2024 11:30<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Maddin01 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Also wäre es zulässig zu sagen, das eine Objekt hat Eigenschaft a, das andere b?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Nochmal: "ein Objekt hat Eigenschaft a, eines Eigenschaft b" ist ok; "das erste Objekt hat Eigenschaft a, das zweite Eigenschaft b" ist nicht OK, da es suggeriert, es gäbe eine Möglichkeit, beide Objekte unterscheidbar zu nummerieren. <br /> <br />"Das Objekt mit Eigenschaft a hat außerdem Eigenschaft x, das Objekt mit Eigenschaft b hat Eigenschaft y" ist auch ok, da hier wiederum nicht nummeriert wird. <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Maddin01 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Mir geht es eigentlich nicht mal um die quantenmechanische Beschreibungsebene, sondern eher um makroskopische Objekte.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Schon klar. <br /> <br />Die QM hilft nur insofern, als sie diese Regeln explizit in ihrem Formalismus implementiert; siehe die Zustände psi oben. Das kann man auch für beliebig viele Teilchen verallgemeinern, man kann es sogar so formulieren, dass eine unzulässige Unterscheidung zwischen Teilchen nicht mal mehr hingeschrieben werden kann. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Maddin01 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Warum kann ich zb identische Bälle gedanklich durchnummerieren? Klassisch kann ich die Objekte sehr wohl trennen</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Nein, du kannst sie auch klassisch nicht trennen. <br /> <br />"Der erste Ball und der zweite Ball" ist sinnlos. Wie unterscheidest du das von "der zweite Ball und der erste Ball"? Das kannst du nur anhand von Eigenschaften (Orten, Farben, Geschwindigkeiten ...), nicht anhand von ausgedachten Nummern. <br /> <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Maddin01 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Und generell, wie entstehen aus ununterscheidbaren Teilchen unterscheidbar Objekte?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Indem diese ununterscheidbaren Teilchen sich zu größeren Objekten oder Systemen zusammenschließen, die unterschiedliche Eigenschaften haben.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Maddin01</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Jun 2024 11:12<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Also wäre es zulässig zu sagen, daß eine Objekt hat Eigenschaft a, das andere b? <br /> <br />Mir geht es eigentlich nicht mal um die quantenmechanische Beschreibungsebene, sondern eher um makroskopische Objekte. <br /> <br />Warum kann ich zb identische Bälle gedanklich durchnummerieren? Klassisch kann ich die Objekte sehr wohl trennen, habe ich dann einfach nur einen unzulässigen Sprachgebrauch? <br /> <br />Und generell, wie entstehen aus ununterscheidbaren Teilchen unterscheidbar Objekte?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Jun 2024 08:12<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Das mit den Nummern bzw. der Beschriftung ist so eine Sache. Du musst dich entscheiden: <br /> <br />A) Wenn es sich um tatsächliche und dynamisch relevante Eigenschaften des Quantensystems handelt, dann entspräche das dem a,b oben; das wäre (neben dem Spin s, der bzgl. der Unterscheidbarkeit auch keine Sonderrolle spielt) irgendwie mit Ort, Impuls, Bahndrehimpuls … oder meinetwegen Isospin o.a. verknüpft. <br />B) Wenn es sich um rein gedankliche Labels handelt, dann entspräche das der Position im Zustand, Position 1 und 2 durch Strichpunkt getrennt. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?|\psi\rangle = |a,1/2 {\color{red};} \; b,-1/2 \rangle - |b,-1/2 {\color{red};} \; a, 1/2 \rangle "> <br /> <br />In beiden Fällen (A) und (B) steht schon da, was die Physik zulässt und wie damit umzugehen ist. Es gilt <span style="font-weight: bold">immer</span> Ununterscheidbarkeit im Sinne des Sprachgebrauchs "ein Objekt mit Eigenschaft a, eines mit b". D.h. es gilt <span style="font-weight: bold">nie</span> "das erste Objekt mit Eigenschaft a, das zweite mit Eigenschaft b".</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Maddin01</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Jun 2024 07:38<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Guten Tag und erstmal danke für die Antwort! <br /> <br />Mir ging es darum, wenn ich die beiden Bälle tatsächlich durchtausche. Aber auf der anderen Seite: wenn es wirklich identische Bälle sind, sollten sie auch identische Eigenschaften haben, weshalb man dann LR=RL wirklich gelten lassen muss. <br /> <br />Mal angenommen, ich würde die ansonsten identischen Bälle markieren (zb mit einem Filzstift, indem auf einem 1 und auf den anderen 2 geschrieben wird). Darf ich die Bälle dann überhaupt noch als identisch betrachten? An ihren Eigenschaften hätte sich ja nichts geändert, aber sie wären optisch unterscheidbar...</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Jun 2024 06:57<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Das Vertauschen ist kein tatsächlicher sondern ein gedanklicher Vorgang; da findet nichts reales statt, nichts was du beobachten könntest. <br /> <br />Jedoch würde auch in einem derartigen Fall die korrekte Zählung LR = RL respektieren. Nehmen wir den o.g. verschränkten Zustand zweier Elektronen, der auf der korrekten Zählung basiert und ergänzen ihn um eine weitere Eigenschaft mit Werten a,b, die z.B. mit dem Ort oder Impuls verknüpft ist; der Zustand lautet dann kurz <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?|\psi\rangle = |a,1/2 ; b,-1/2 \rangle - |b,-1/2; a, 1/2 \rangle "> <br /> <br />Das gedankliche Vertauschen d.h. die Permutation P führt auf <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?|\psi\rangle \;\to\; P |\psi\rangle = - \, |\psi\rangle"> <br /> <br />Ein realer Vorgang, bei dem sich a und b ändern, die Spinrichtungen rotieren o.ä. entspräche der Zeitentwicklung U(t), d.h. einer Lösung der Schrödingergleichung mit einem Zustand zu einer späteren Zeit t <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?|\psi\rangle \;\to\; |\psi(t)\rangle = U(t) \, |\psi\rangle"> <br /> <br />Auch für spätere Zeiten gilt für das gedankliche Vertauschen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?|\psi(t)\rangle \;\to\; P |\psi(t)\rangle = - \, |\psi(t)\rangle"> <br /> <br />Die Forderung, dass das gedankliche Vertauschen P für Fermionen (Bosonen) ein Vorzeichen - (+) liefert, legt fest, welche Zustände überhaupt zulässig sind. Die reale Zeitentwicklung U beschreibt dann, wie sich ein zulässiger Zustand mit der Zeit tatsächlich ändert.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Maddin01</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Jun 2024 22:20<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo, <br /> <br />ich bin durch die Suche auf dieses Thema gestoßen und habe eine Frage hierzu. Und zwar: wenn ich den beschriebenen Behälter mit den 2 Tischtennisbällen hätte, und die Bälle alle ideal identisch wären, dann wäre es ja verboten, diese zu nummerien (Gibbs. Paradoxon). <br /> <br />Wenn ich nun die möglichen Zustände durchzähle, darf ich ja wie weiter oben beschrieben nur {LL, LR = RL, RR} zählen und nicht {LL, LR, RL, RR}. <br /> <br />In der Realität kann ich aber sehr wohl zwischen LR und RL unterscheiden, denn wenn ich zb die beiden Bälle durchtausche (also den linken nach rechts und den rechten nach links), dann haben die Bälle ihren Ort verändert und sind nicht völlig identitätslos. <br />Ununterscheidbar wären sie erst, wenn ich das durchtauschen nicht beobachten würde. <br />Ist dies nicht total widersprüchlich? Also widerspricht der reale Prozess nicht der Theorie? <br />Oder mache ich gedanklich einen Fehler? Danke für die Hilfe!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Joho123</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Aug 2023 08:49<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo TomS, <br /> <br />Vielen Dank für deine Ausführungen, wenn ich Zeit finde, werde ich mir das Paper mal anschauen. <br /> <br />Wie gesagt, mein Denkfehler war eigentlich hauptsächlich folgender: dadurch, dass du geschrieben hast, dass die Ununterscheidbarkeit prinzipiell auch für makroskopische Dinge gilt, habe ich es direkt mit der Realität assoziiert. Du hast dich jetzt aber rein auf die Mathematik (und das Gibbs Paradoxon) bezogen. <br />In der Realität gibt es natürlich keine ununterscheidbaren makroskopischen Körper, ausgenommen reine Gase und reine Flüssigkeiten (bei welchen wir beim Gibbs Paradoxon wären). Aber keine ununterscheidbare kleine Kugelkörper oder ähnliches, die sind unterscheidbar (auch wenn das mit bloßem Auge nicht sichtbar ist), weshalb ich auch problemlos die newtonsche Mechanik anwenden darf. <br />Und bei den Gasen begründet es sich so gesehen ja auch wieder durch die einzelnen Atome bzw Moleküle, die ununterscheidbar sind. Also passt doch alles.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 19. Aug 2023 11:50<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Evtl. lohnt es sich, dieses Paper zu lesen: <br /> <br /><a href="https://bayes.wustl.edu/etj/articles/gibbs.paradox.pdf" target="_blank">https://bayes.wustl.edu/etj/articles/gibbs.paradox.pdf</a> <br /><span style="font-weight: bold">THE GIBBS PARADOX</span> <br />E. T. Jaynes <br />Department of Physics. Washington University, St. Louis, Missouri 63130 USA.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 19. Aug 2023 11:16<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Joho123 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Ich verstehe schon, warum man LR=RL zählt. Wahrscheinlich scheitert mein gedankliches Experiment daran, weil in der Realität Tischtennisbälle nicht identisch sind. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Genau. <br /> <br />Es geht dabei nicht darum, dass die Merkmale für die Thermodynamik relevant sein müssen. Zählt man z.B. die Zustände freier Teilchen, so haben bestimmte Merkmale wie der Spin keinen Einfluss auf die kinetische Energie. Trotzdem muss man nun bei der Statistik unterschiedliche Spinzustände einzeln zählen. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Joho123 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Zu dem Paper: ich wollte hier nur darauf hinweisen, dass das Paradoxon in der Thermodynamik gar nicht auftritt, wenn die Systembeschreibung wie dort beschrieben richtig gewählt wird. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Natürlich. Wenn man es richtig macht, funktioniert es richtig. <br /> <br />Der Punkt ist, dass man – um es in der Thermodynamik richtig zu machen – vom korrekten Endergebnis her argumentieren muss. Aber das ist unbefriedigend. <br /> <br />Der Autor argumentiert auch nicht streng thermodynamisch. Er betrachtet unterscheidbare und ununterscheidbare Mikrozustände, schmuggelt also Argumente aus der statistischen Mechanik ein. Die Thermodynamik alleine kennt keine Mikrozustände und keinen Entropiebegriff im Sinne von Unordnung bzw. Anzahl der Mikrozustände. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Joho123 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Somit ist es dann wahrscheinlich dich eher ein Problem der statistischen Mechanik, wo halt die Ununterscheidbarkeit eingeführt werden muss, damit innerhalb dieser derartige Probleme nicht entstehen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Nein. <br /> <br />Es ist umgekehrt ein Problem der Thermodynamik, dessen Lösung erst im Rahmen der statistischen Mechanik verstanden werden kann, streng genommen sogar erst im Rahmen der relativistischen Quantenstatistik. <br /> <br /><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Spin–statistics_theorem" target="_blank">https://en.wikipedia.org/wiki/Spin–statistics_theorem</a> <br /> <br />Erst damit entfallen ad hoc Begründungen, die man nur deswegen einführt, damit das Ergebnis passt. Auch der Autor macht m.E. nichts anderes: er zieht neben der Thermodynamik auch andere Argumente hinzu, weil er weiß, was bei der Rechnung herauskommen soll.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Aruna_Gast</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 19. Aug 2023 11:14<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Joho123 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Mal angenommen, ich habe einen riesen Behälter, in dem Tischtennisbälle geordnet drinnen liegen. Diese Ordnung wird nun durcheinander gebracht <br />und die Entropie erhöht. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das bedeutet, dass sich ein neuer Makrozustand einstellt, der sich durch mehr Mikrozustände realisieren lässt, als der vorherige "geordnete" Makrozustand. Auch schon bei ununterscheidbaren Teilchen. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Joho123 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Trotzdem könnte ich vorher die Bälle durchnummerieren, oder sonst wie markieren. <br />Dann kann ich sehr wohl sagen, Ball 1 ist links, Ball 5 rechts unten usw. <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Und dann? Was ist Dein Punkt? <br />Wie unterscheidet sich Deiner Meinung nach die Entropieerhöhung, wenn die markierten Bälle durcheinander gebracht werden, gegenüber derjenigen, wenn die ununterscheidbaren durcheinander gebracht werden? <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Joho123 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Ich verstehe schon, warum man LR=RL zählt. Wahrscheinlich scheitert mein gedankliches Experiment daran, weil in der Realität Tischtennisbälle nicht identisch sind .... <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Laut dem von Dir verlinkten Skript kommt es darauf an, ob die Markierung thermodynamisch relevant ist, oder nicht. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Joho123 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Zu dem Paper: ich wollte hier nur darauf hinweisen, dass das Paradoxon in der Thermodynamik gar nicht auftritt, wenn die Systembeschreibung wie dort beschrieben richtig gewählt wird. Somit ist es dann wahrscheinlich dich eher ein Problem der statistischen Mechanik, wo halt die Ununterscheidbarkeit eingeführt werden muss, damit innerhalb dieser derartige Probleme nicht entstehen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Der Autor des Skripts argumentiert IMO auch mit "Ununterscheidbarkeit": <br />Wenn die Teilchen physikalisch nicht unterscheidbar sind, kann man keine semipermeablen Wände bauen, um die vermischten Teilchen wieder zu trennen. <br /> <br />Bei der Auflösung von Paradoxon 1 steht: <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Mischung produziert Entropie heißt: <br />man kann die Gase wieder entmischen und das System reversibel in den Ausgangszustand zurückführen, wobei eine Änderung in der Umgebung zurückbleibt</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ein Gas aus ununterscheidbaren Teilchen kannst Du nicht entmischen. <br />Auch mit einer Markierung sind die Teilchen in diesem Sinne noch ununterscheidbar, falls Die Markierung selbst nicht zu einer Entmischung genutzt werden kann, oder thermodynamische Zustände unterschieden werden können: <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">•die Variable “Farbe” ist also thermodynamisch sinnlos, TD Zustände können nicht mit ihr <span style="font-weight: bold">unterschieden </span>werden, es ist sinnlos, den “durchmischten” und den “geordneten” Zustand als verschieden zu betrachten, </td> </tr></table><span class="postbody"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Joho123</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 19. Aug 2023 09:31<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Mal angenommen, ich habe einen riesen Behälter, in dem Tischtennisbälle geordnet drinnen liegen. Diese Ordnung wird nun durcheinander gebracht und die Entropie erhöht. Trotzdem könnte ich vorher die Bälle durchnummerieren, oder sonst wie markieren. Dann kann ich sehr wohl sagen, Ball 1 ist links, Ball 5 rechts unten usw. <br /> <br /> <br />Ich verstehe schon, warum man LR=RL zählt. Wahrscheinlich scheitert mein gedankliches Experiment daran, weil in der Realität Tischtennisbälle nicht identisch sind .... <br /> <br />Zu dem Paper: ich wollte hier nur darauf hinweisen, dass das Paradoxon in der Thermodynamik gar nicht auftritt, wenn die Systembeschreibung wie dort beschrieben richtig gewählt wird. Somit ist es dann wahrscheinlich dich eher ein Problem der statistischen Mechanik, wo halt die Ununterscheidbarkeit eingeführt werden muss, damit innerhalb dieser derartige Probleme nicht entstehen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 19. Aug 2023 06:52<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Joho123 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">… dass es ab einer gewissen Größe schon zulässig ist zu sagen, dass man zwischen Körpern oder Gegenständen unterscheiden kann, auch wenn sie optisch gleich aussehen (sodass man sagen kann, Körper1 befindet sich rechts im Behälter, Körper 2 links). </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Nein, das ist nicht der Fall. <br /> <br />Die Größe der Körper spielt bei diesem Argument bzw. bei der Lösung des Gibbschen Paradoxons keine Rolle. <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Joho123 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Dass es für Gase das Gibbsche Paradoxon, also die Mischung gleicher Gase ohne Entropieanstieg, gültig ist, ist doch unbestritten. Deshalb fand ich den Link von der Uni Hamburg so interessant, wo diese Phänomene ganz ohne Paradoxon, aber klassisch, erklärt wurden. </td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Natürlich löst sich das Paradoxon ganz simpel, wenn man die Unterscheidbarkeit fallen lässt. <br /> <br />Dazu reicht die Thermodynamik m.E. jedoch nicht aus, man muss die statistische Mechanik bemühen. Das erkennt man auch in deinem verlinkten Skript: natürlich wird richtigerweise auf die Relevanz der Makrozustände hingewiesen, aber es erfolgt keine Berechnung der Entropie auf Basis der Mikrozustände; die Argumentation bleibt unvollständig, so lange man nicht versteht, wie genau denn nun deren Ununterscheidbarkeit ins Spiel kommt. <br /> <br />Konkret bedeutet Ununterscheidbarkeit, dass für N Teilchen in einem Mikrozustand <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?((x_1, p_1), (x_2, p_2) \ldots (x_N, p_N))"> <br /> <br />dieser Mikrozustand nur <span style="font-weight: bold">einmal</span> gezählt werden darf; bei Unterscheidbarkeit gibt es jedoch <span style="font-weight: bold">N!</span> derartige Mikrozustände. Man benötigt nun ein Argument, <span style="font-weight: bold">warum</span> dieser Mikrozustand nur einmal gezählt werden darf; dazu muss man aber den Mikrozustand erst einmal betrachten, und man muss den Faktor N! verstehen. Das leistet die Thermodynamik nicht, da sie keine Mikrozustände betrachtet.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Joho123</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 18. Aug 2023 23:19<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich glaube, ich habe mich missverständlich ausgedrückt, sorry. <br />Eher meinte ich, dass es keine ununterscheidbaren Tischtennisbälle gibt, deren Entropie man berechnet. Bzw. wollte ich darauf hinaus, dass es ab einer gewissen größe schon zulässig ist zu sagen, dass man zwischen Körpern oder Gegenständen unterscheiden kann, auch wenn sie optisch gleich aussehen (sodass man sagen kann, Körper1 befindet sich rechts im Behälter, Körper 2 links). <br />Dass es für Gase das Gibbsche Paradoxon, also die Mischung gleicher Gase ohne Entropieanstieg, gültig ist, ist doch unbestritten. Deshalb fand ich den Link von der Uni Hamburg so interessant, wo diese Phänomene ganz ohne Paradoxon, aber klassisch, erklärt wurden. Da würde ich es echt mal interessieren, wie die Thermodynamiker zu solch einem Papier stehen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 18. Aug 2023 18:00<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Joho123 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Was sagen die Experten dazu hier?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Es geht um die Abzählung von Konfigurationen. <br /> <br />Bei Atomen ist es irrelevant, ob zwei Konfigurationen sich <span style="font-weight: bold">ausschließlich</span> durch die gedachte Nummerierung unterscheiden. Da die Nummerierung künstliche ist, sind derartige Konfigurationen identisch. <br /> <br />Beispiel: zwei Atome, die sich in zwei Hälften eines Kastens befinden können; bezeichnen wir diese mit L für links und R für rechts; dann gibt es die drei Konfigurationen {LL, LR = RL, RR}, <span style="font-weight: bold">nicht</span> vier Konfigurationen {LL, LR, RL, RR}. <br /> <br />Zum Sprachgebrauch: "ein Atom befindet sich links, das andere rechts"; <span style="font-weight: bold">nicht</span> "dieses Atom Alice befindet sich links, das andere Atom Bob rechts" oder "dieses Atom Bob befindet sich links, das andere Atom Alice rechts"</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 18. Aug 2023 17:47<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Playerxz hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Bzw. wie relevant ist das gibbsche Paradoxon für reale makroskopische Fälle? Eigentlich doch eher blanke Theorie und irrelevant, oder?</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Nein. <br /> <br />Warum sollte es denn irrelevant sein, wenn die Berechnung der Entropie bei der Mischung von Gasmengen falsch ist?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Joho123</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 18. Aug 2023 17:08<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Anscheinend tritt das Paradoxon nicht mal zwingend klassisch auf, es hängt eher von einer unsauberen Beschreibung ab: fiona.uni-hamburg.de/4d70bb3f/vorl23.pdf <br /> <br />Etwas ähnliches konnte ich in einem anderen Physik Forum von Arnold Neumaier, auch ein Physik Experte, lesen. <br /> <br />Was sagen die Experten dazu hier?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Joho123</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 18. Aug 2023 13:37<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Für mich ist es irgendwie widersprüchlich. In der einen Situation darf ich mikroskopisch Körper durchnummerieren, in der anderen nicht. Aber wahrscheinlich löst sich der Widerspruch in der Realität auf, weil es keine identischen makroskopischen Körper gibt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Playerxz</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 18. Aug 2023 11:01<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Bzw. wie relevant ist das gibbsche Paradoxon für reale makroskopische Fälle? Eigentlich doch eher blanke Theorie und irrelevant, oder?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Sonnenwind</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 18. Aug 2023 08:30<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>TomS hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Es geht um die Berechnung des Phasenraumvolumens, der Zustandssumme und der daraus folgenden Entropie mittels der statischen Mechanik.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Was bitte ist denn ein Phasenraumvolumen? Wenn ich z.B. einen Wassertropfen im Vakuum habe und ein Wassermolekül verlässt den Tropfen und fliegt weg, so kann das Phasenraumvolumen beliebig wachsen nur wegen einem einzigen Wassermolekül.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Joho123</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 17. Aug 2023 21:23<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Und warum kann ich dann identische Tischtennisbälle ohne Probleme durchnummieren und unterscheiden?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 17. Aug 2023 21:15<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Joho123 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Nur was heißt das jetzt konkret? Ist damit bewiesen, dass man klassisch schon nicht mehr identische makroskopische Körper durchnummerieren darf? <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Ja. Zumindest in bestimmten Fällen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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