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So gehts:
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Formeleditor
[quote="GiftGleichung"][b]Meine Frage:[/b] Berechnen Sie die Poisson-Klammer {L_{i},r*p } für i aus {1,2,3} . Dabei ist Li die i-te Komponente des Drehimpulses und r bzw. p bezeichnen den Ortsverktor und den Impuls. Was bekommen Sie als Resultat? [b]Meine Ideen:[/b] Um die Poisson-Klammer zu berechnen, verwendet man die Definition der Poisson-Klammer: [latex]{A, B}=\sum \left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i}-\frac{\partial A}{\partial p_i} \frac{\partial B}{\partial q_i}\right)[/latex], wobei A und B Funktionen von Orts- und Impulskoordinaten sind, und [latex]\frac{\partial A}{\partial q_i}[/latex] den partiellen Ableitungen von A nach der Ortskoordinate q_i entspricht. In unserem Fall haben wir: [latex]A = L_i \quad (\text{i-te Komponente des Drehimpulses}), B = r \cdot p \quad (\text{Ortsvektor mal Impuls}).[/latex] Um die Poisson-Klammer zu berechnen, müssen wir die Ableitungen [latex]\frac{\partial A}{\partial q_i} und \frac{\partial B}{\partial p_i} [/latex]finden und sie in die obige Formel einsetzen. Berechnung der partiellen Ableitung [latex]\frac{\partial A}{\partial q_i}[/latex]: Da L_i ein Drehimpuls ist, hängt es nicht von den Ortskoordinaten ab. Daher ist [latex]\frac{\partial A}{\partial q_i} = 0[/latex] Berechnung der partiellen Ableitung [latex]\frac{\partial B}{\partial p_i}[/latex]: [latex]B = r \cdot p = (r_x \cdot p_x) + (r_y \cdot p_y) + (r_z \cdot p_z),[/latex] wobei r_x, r_y, r_z die Komponenten des Ortsvektors r sind, und p_x, p_y, p_z die Komponenten des Impulses p sind. Wir erhalten [latex] \frac{\partial B}{\partial p_i} = \frac{\partial}{\partial p_i} [(r_x \cdot p_x) + (r_y \cdot p_y) + (r_z \cdot p_z)].[/latex] Da p_i nur von p_i abhängt, erhalten wir: [latex]\frac{\partial}{\partial p_i} [(r_x \cdot p_x) + (r_y \cdot p_y) + (r_z \cdot p_z)] = r_i[/latex] wobei r_i die i-te Komponente des Ortsvektors r ist. Setzen wir nun die gefundenen Ableitungen in die Poisson-Klammer-Formel ein: [latex]{L_i, r \cdot p} = \frac{\partial A}{\partial q_i} \frac{\partial B}{\partial p_i} - \frac{\partial A}{\partial p_i} \frac{\partial B}{\partial q_i}[/latex] = 0 [latex]\cdot r_i - 0 \cdot \frac{\partial B}{\partial q_i}[/latex] = 0 ISt dass jetzt richtig so? Also ist die Poisson Klammer= 0[/quote]
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Nachricht
TomS
Verfasst am: 17. Jul 2023 06:41
Titel:
Hier
GiftGleichung hat Folgendes geschrieben:
stimmt was mit den Indizes nicht.
GiftGleichung hat Folgendes geschrieben:
Zunächst mal läuft die ursprüngliche Summe aus A, B über m bzw. n, die aus der Poissonklammer über j. Nach Umbenennung von n nach m also explizit
Dann kannst du r und p im ersten Term umstellen, also
Das entspricht
Mittels Vertauschung der Namen der Indizes m und j im zweiten Term siehst du das explizit
M.M.n. muss das aus Symmetriegründen so sein. Das Skalarprodukt von r mit p liefert einen Skalar, der Drehimpuls generiert eine Rotation. Aber ein Skalar transformiert eben trivial unter Rotationen.
GiftGleichung
Verfasst am: 17. Jul 2023 00:24
Titel:
Hey.... also erstmal vielen Dank für diese ausführliche Tolle Schnelle Hilfe.
Du hast mir wirklich geholfen.
das wäre dann
(Ich weiß nicht was in dem Code falsch gelaufen ist aber da sollte das %A0 nicht drin stehen vielleicht ist es ein Anzeige Fehler )
(ich auch nicht, hab einfach mal gelöscht und neu getippt)
Wo im ersten Term r und p Vertauscht werden durch das Levi Civita Symbol
und man dann 2*p*r oder 2 L_{i} rausbekommt?
Ich hoffe ich habe meine GEdanken verständlich angerissen und wäre jetzt froh wenn mir einer sagt dass es richtig ist oder mir sagt was falsch ist
TomS
Verfasst am: 16. Jul 2023 08:24
Titel:
Zunächst mal hast du dich dadurch verwirren lassen, dass einmal q und einmal r verwendet wird, natürlich entsprechen hier die Ortskoordinaten r den q.
Dann kann man das übersichtlicher und kompakter mittels Summenkonvention schreiben; d.h. über doppelt auftretende Indizes k,m,n ist zu summieren, das Summenzeichen denkt man sich dazu:
Die Größen A und B entsprechen:
Für die Ableitungen gilt
Zu berechnen ist die Poisson-Klammer
Das funktioniert exemplarisch für den ersten Term wie folgt:
Schau mal, ob du damit weiterkommst.
GiftGleichung
Verfasst am: 15. Jul 2023 19:46
Titel: Poisson Klammer
Meine Frage:
Berechnen Sie die Poisson-Klammer {L_{i},r*p } für i aus {1,2,3} . Dabei ist Li die i-te Komponente des Drehimpulses und r bzw. p bezeichnen den Ortsverktor und den Impuls. Was bekommen Sie als Resultat?
Meine Ideen:
Um die Poisson-Klammer zu berechnen, verwendet man die Definition der Poisson-Klammer:
,
wobei A und B Funktionen von Orts- und Impulskoordinaten sind, und
den partiellen Ableitungen von A nach der Ortskoordinate q_i entspricht.
In unserem Fall haben wir:
Um die Poisson-Klammer zu berechnen, müssen wir die Ableitungen
finden und sie in die obige Formel einsetzen.
Berechnung der partiellen Ableitung
:
Da L_i ein Drehimpuls ist, hängt es nicht von den Ortskoordinaten ab. Daher ist
Berechnung der partiellen Ableitung
:
wobei r_x, r_y, r_z die Komponenten des Ortsvektors r sind, und p_x, p_y, p_z die Komponenten des Impulses p sind.
Wir erhalten
Da p_i nur von p_i abhängt, erhalten wir:
wobei r_i die i-te Komponente des Ortsvektors r ist.
Setzen wir nun die gefundenen Ableitungen in die Poisson-Klammer-Formel ein:
= 0
= 0
ISt dass jetzt richtig so? Also ist die Poisson Klammer= 0