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[quote="Mispel"]Hallo, ich soll die Zustandsdichte für eine unendliche (einatomige) lineare Kette unter Annahme periodischer Randbedingungen und das selbige für eine endliche lineare Kette unter der Annahme, die Randatome bewegen sich nicht, herleiten. Angefangen habe ich so Unendliche Kette: [latex]u_s, u_{s+1}, u_{s+2}, ..., u_{s+n}, ..., u_{s+N}[/latex] Ist meine Kette, wobei sie [latex]L = N\cdot d[/latex] lang ist und da es sich um eine einatomige Basis handelt, entspricht der Abstand d zwischen den Atomen auch meiner Gitterkonstante a. Nun wird der Ansatz ebener Wellen gewählt, wobei allgemein [latex]u_{s+n} = u_0 \cdot e^{-i(\omega t - q(s+n)d)}[/latex] gilt. Da periodische Randbedingungen gewählt werden, muss [latex]u_s = u_{s+N}[/latex] gelten. Durch Umstellen, benutzen der Eulerschen Identität etc. komme ich also zu den erlaubten Werten für den Wellenvektor [latex]q = \frac{2\pi \cdot m}{Nd}[/latex], wobei Nd = L ist. Das ergibt dann ein [latex]\Delta q = \frac{2\pi}{L}[/latex]. Wie komme ich nun auf die Zustandsdichte [latex]D(\omega)d\omega = 2\cdot \frac{L}{2\pi} dq[/latex]? Und was sagt diese überhaupt genau aus? Endliche Kette: Nun soll analog die Zustandsdichte für eine endliche Kette aus N+1 Atomen hergeleitet werden. Das verwirrt mich bereits: Warum N+1 Atome? In der Musterlösung steht nämlich dennoch L = Nd statt L = (N+1)d Die Randatome sollen jedenfalls unbewegt sein, weswegen [latex]u_1 = u_{N+1} = 0[/latex] gesetzt werden muss. (Auch hier: Warum plötzlich [latex]u_1[/latex] statt [latex]u_s[/latex]?) Aus dem Ansatz mit stehenden Wellen ergibt sich [latex]L = \frac{\lambda}{2} m = Nd[/latex], wobei dann mit [latex]\lambda= \frac{2\pi}{q} [/latex] die erlaubten q-Werte [latex]q = \frac{m\pi}{L} [/latex] ergeben. Hier kommt man auf ein [latex]\Delta q = \frac{\pi}{L} [/latex]. Auch hier wieder: Wie bekomme ich nun ein [latex]D(\omega)d\omega = \frac{L}{\pi} dq[/latex]? Mir ist klar, dass es scheinbar der Kehrwert von [latex]\Delta q[/latex] zu sein scheint, aber wie wäre der formale Rechenweg bzw. wie ist das zu veranschaulichen?[/quote]
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Nachricht
Mispel
Verfasst am: 14. Jul 2023 18:24
Titel: Zustandsdichte endliche/unendliche lineare Kette
Hallo, ich soll die Zustandsdichte für eine unendliche (einatomige) lineare Kette unter Annahme periodischer Randbedingungen und das selbige für eine endliche lineare Kette unter der Annahme, die Randatome bewegen sich nicht, herleiten.
Angefangen habe ich so
Unendliche Kette:
Ist meine Kette, wobei sie
lang ist und da es sich um eine einatomige Basis handelt, entspricht der Abstand d zwischen den Atomen auch meiner Gitterkonstante a.
Nun wird der Ansatz ebener Wellen gewählt, wobei allgemein
gilt.
Da periodische Randbedingungen gewählt werden, muss
gelten.
Durch Umstellen, benutzen der Eulerschen Identität etc. komme ich also zu den erlaubten Werten für den Wellenvektor
, wobei Nd = L ist.
Das ergibt dann ein
.
Wie komme ich nun auf die Zustandsdichte
? Und was sagt diese überhaupt genau aus?
Endliche Kette:
Nun soll analog die Zustandsdichte für eine endliche Kette aus N+1 Atomen hergeleitet werden. Das verwirrt mich bereits: Warum N+1 Atome? In der Musterlösung steht nämlich dennoch L = Nd statt L = (N+1)d
Die Randatome sollen jedenfalls unbewegt sein, weswegen
gesetzt werden muss. (Auch hier: Warum plötzlich
statt
?)
Aus dem Ansatz mit stehenden Wellen ergibt sich
, wobei dann mit
die erlaubten q-Werte
ergeben.
Hier kommt man auf ein
.
Auch hier wieder: Wie bekomme ich nun ein
? Mir ist klar, dass es scheinbar der Kehrwert von
zu sein scheint, aber wie wäre der formale Rechenweg bzw. wie ist das zu veranschaulichen?