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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts:
Latex-Kurzbeschreibung
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Formeleditor
[quote="TomS"]Nehmen wir an, wir haben für den Hamiltonian H' sowie für P' allgemein [latex]H^\prime = h_0 + \sum_i h^\prime_i \sigma_a[/latex] [latex]P^\prime = p_0 + \sum_i p^\prime_i \sigma_i[/latex] Dann können wir die beiden Operatoren gemeinsam so unitär transformieren, dass einer davon nur die 3-Komponente enthält. Wir nutzen dies für H, also gilt [latex]H = h_0 + h_3 \sigma_3 [/latex] [latex]P = p_0 + \sum_i p_i \sigma_i[/latex] [latex]P^2 = p_0^2 + \sum_i p_i^2 + 2 \sum_i p_0 p_i \sigma_i[/latex] - letzteres unter Verwendung von [latex]\sigma_i \sigma_k + \sigma_k \sigma_i = 0 [/latex] Damit ist H diagonal mit den beiden Eigenwerten [latex]E_{1,2} = h_0 \pm h_3[/latex] sowie den Eigenvektoren [latex]|1, 2\rangle \to \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ; \; \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/latex] Unter Verwendung von [latex]\left< 1 | \sigma_0 | 1 \right> = \left< 1 | \sigma_3 | 1 \right> = 1[/latex] [latex]\left< 1 | \sigma_1 | 1 \right> = \left< 1 | \sigma_2 | 1 \right> = 0[/latex] folgt für die Erwartungswerte [latex]\left< 1 | P | 1 \right> = p_0 + p_3 [/latex] [latex]\left< 1 | P^2 | 1 \right> = (p_0 + p_3)^2 + \sum_{i=1,2} p_i^2[/latex] Daraus folgt [latex]\sum_{i=1,2} p_i^2 = \left< 1 | P^2 | 1 \right> - (p_0 + p_3)^2 = \left< 1 | P^2 | 1 \right> - \left< 1 | P | 1 \right>^2 [/latex] Bisher gilt dies allgemein für alle Operatoren P, Q, R. [b]Speziell für P[/b] folgt mittels deiner Angaben [latex]\sum_{i=1,2} p_i^2 = 0; \;\implies\; p_1 = p_2 = 0 [/latex] Damit ist P diagonal mit den beiden Eigenwerten [latex]\lambda_\pm = p_0 \pm p_3[/latex] wovon einer direkt dem Erwartungswert entspricht. [b]Für Q analog[/b], das geht schnell. Bei R darfst du selbst ran, m.M.n. findet man beide Eigenwerte ;-)[/quote]
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QMnoob
Verfasst am: 06. Jul 2023 21:19
Titel:
Danke Tom,
ich werde am Wochenende probieren hier weiter zu Rechnen.
Bei Q ist dann vermutlich das Unphysikalische phänomen des Datensatzes wie es mir aussieht.
TomS
Verfasst am: 06. Jul 2023 13:27
Titel:
Nehmen wir an, wir haben für den Hamiltonian H' sowie für P' allgemein
Dann können wir die beiden Operatoren gemeinsam so unitär transformieren, dass einer davon nur die 3-Komponente enthält. Wir nutzen dies für H, also gilt
- letzteres unter Verwendung von
Damit ist H diagonal mit den beiden Eigenwerten
sowie den Eigenvektoren
Unter Verwendung von
folgt für die Erwartungswerte
Daraus folgt
Bisher gilt dies allgemein für alle Operatoren P, Q, R.
Speziell für P
folgt mittels deiner Angaben
Damit ist P diagonal mit den beiden Eigenwerten
wovon einer direkt dem Erwartungswert entspricht.
Für Q analog
, das geht schnell. Bei R darfst du selbst ran, m.M.n. findet man beide Eigenwerte ;-)
TomS
Verfasst am: 06. Jul 2023 06:48
Titel:
Das alleine hilft noch nicht, man muss sich noch um die Eigenwerte kümmern.
Speziell für 2*2-Matrizen gilt
Zerlegt man nun
so folgt
Da die Pauli-Matrizen spurfrei sind, reduziert sich das auf
Zerlegt man B weiter, so verschwinden wiederum alle Spurterme und es bleibt
Zuletzt benutzt man
und erhält
Damit wirst du die normalen Komponenten der Matrix vollständig los und kannst alles durch die Darstellung mittels Pauli-Matrizen ausdrücken.
(Rechnung beim Kaffee, bitte nochmal prüfen)
QMnoob
Verfasst am: 05. Jul 2023 21:04
Titel:
Danke Tom
TomS
Verfasst am: 05. Jul 2023 17:24
Titel:
Das sieht nach unübersichtlichem Kram aus.
Evtl. ist es übersichtlicher die Operatoren P, Q, R mittels Pauli-Matrizen darzustellen
mit a=0,1,2,3; a=0 entspricht der Einheitsmatrix.
Sowie
j=1,2,3; k,l analog.
Die Bestimmungsgleichungen für die Koeffizienten direkt aus P folgen mittels Multiplikation mit einer Pauli-Matrix sowie Spurbildung
Das ändert nichts grundsätzliches, könnte aber die Buchhaltung überschaubarer gestalten.
QMnoob
Verfasst am: 05. Jul 2023 15:13
Titel: Eigenwerte eines 2-Zustandsystems
Meine Frage:
Bei einem quantenmechanischen System sei bekannt, dass es genau zwei (nicht entartete) Energieeigenzustände
hat. Neben der Energie habe das System drei weitere Observable P,Q und R. Die Zustände
seien normiert, aber nicht notwendigerweise Eigenzustände von P,Q, oder R.
Bestimme möglichst viele Eigenwerte von P,Q, und R aus den folgenden "experimentellen Daten". [Achtung: ein Satz von Daten ist unphysikalisch.]
Meine Ideen:
Jetzt fehlen mir aber immer noch Informationen über
Für die teile b) und c) fehlen mir auch Informationen.
Gibt es hier eine Lösung für die Eigenwerte für P, Q und R ? bin ich auf falscher Fährte oder habe eine Bedinung vergessen die mir mehr informationen gibt ?