Startseite
Forum
Fragen
Suchen
Formeleditor
Über Uns
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
Foren-Übersicht
->
Elektrik
Antwort schreiben
Benutzername
(du bist
nicht
eingeloggt!)
Titel
Nachrichtentext
Smilies
Weitere Smilies ansehen
Schriftfarbe:
Standard
Dunkelrot
Rot
Orange
Braun
Gelb
Grün
Oliv
Cyan
Blau
Dunkelblau
Indigo
Violett
Weiß
Schwarz
Schriftgröße:
Schriftgröße
Winzig
Klein
Normal
Groß
Riesig
Tags schließen
Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts:
Latex-Kurzbeschreibung
|
Formeleditor
[quote="verrain"]Ich möchte mittels Poission, bzw. Laplacegleichung auf das elektrische Feld und das Potential einer Kugel schließen. Innerhalb der Kugel funktioniert dabei eine eindimensionale Betrachtung. Sei das Zentrum der Kugel der Koordinatenursprung und die Kugel homogen geladen, dann gilt nach Poissongleichung: [latex]\Delta \Phi_{\mathrm{el}} = -\frac{\rho}{\epsilon_0}[/latex] Vereinfacht auf ein eindimensionales Problem: [latex]\frac{\partial^2}{\partial x^2} \Phi_{\mathrm{el}} = -\frac{\rho}{\epsilon_0}[/latex] 2x integriert ergibt als Potential: [latex]\Delta \Phi_{\mathrm{el}} = -\frac{\rho}{2\epsilon_0}x^2 + c_1 x + c_2[/latex] Dabei sind die c's Konstanten. Für das E-Feld erhalte ich auf Grund [latex]\vec{E}=-\vec{\nabla}\cdot \Phi_{\mathrm{el}}[/latex]: [latex]\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}x + c_1[/latex] Da das E-Feld für [latex]x=0[/latex], also im Zentrum der Kugel [latex]0[/latex] ist, folgt, dass [latex]c_1=0[/latex]. Das E-Feld steigt damit liniear an vom Zentrum der Kugel ([latex]E=0[/latex]) bis zum Rand der Kugel. Das Potential hingegen fällt von einem Anfangswert im Zentrum quadratisch ab (umgedrehte Parabel). Nu der Clou: Wenn ich versuche, dass ganze außerhalb der Kugel mit der Laplacegleichung eindimensional zu berechnen, also: [latex]\Delta \Phi_{\mathrm{el}} = 0[/latex] [latex]\frac{\partial^2}{\partial x^2} \Phi_{\mathrm{el}} = 0[/latex] Dann komme ich auf das Potential: [latex]\Phi_{\mathrm{el}} = c_1 x + c_2[/latex] Das Potential außerhalb der Kugel steigt jedoch bekannterweise nicht linear mit dem Abstand an, sondern fällt antiproportional zum Abstand ab. Wenn ich den Laplaceoperator in Kugelkoodinaten umrechne, komme ich auf das richtige Ergebnis. Warum funktioniert außerhalb der Kugel die eindimensionale Betrachtungsweise nicht mehr, aber im inneren der Kugel schon? Viele Grüße Verrain[/quote]
Optionen
HTML ist
aus
BBCode
ist
an
Smilies sind
an
BBCode in diesem Beitrag deaktivieren
Smilies in diesem Beitrag deaktivieren
Spamschutz
Text aus Bild eingeben
Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Gehe zu:
Forum auswählen
Themenbereiche
----------------
Mechanik
Elektrik
Quantenphysik
Astronomie
Wärmelehre
Optik
Sonstiges
FAQ
Sonstiges
----------------
Off-Topic
Ankündigungen
Thema-Überblick
Autor
Nachricht
verrain
Verfasst am: 05. Jul 2023 23:07
Titel:
Da sieht man, dass so ein Forum immer noch besser ist als ChatGPT. Der hat mir meinen Fehler nicht derart aufzeigen können.
Dabei hätte ich nur mal googeln müssen, was denn eigentlich rauskommen soll. Ich hatte nur eine graphische Darstellung des Potentials und des E-Felds vor Augen, deswegen hat sich der falsche Faktor nicht bemerkbar gemacht.
Danke und viele Grüße!
Myon
Verfasst am: 05. Jul 2023 19:21
Titel: Re: Poisson- & Laplace-Gleichung Kugel
verrain hat Folgendes geschrieben:
Warum funktioniert außerhalb der Kugel die eindimensionale Betrachtungsweise nicht mehr, aber im inneren der Kugel schon?
Das funktioniert auch im Innern der Kugel nicht. Mit Deiner Rechnung ergäbe sich für r<R
Mit dem Laplace-Operator in Kugelkoordinaten ergibt sich hingegen
was richtig ist.
verrain
Verfasst am: 05. Jul 2023 17:47
Titel: Poisson- & Laplace-Gleichung Kugel
Ich möchte mittels Poission, bzw. Laplacegleichung auf das elektrische Feld und das Potential einer Kugel schließen.
Innerhalb der Kugel funktioniert dabei eine eindimensionale Betrachtung. Sei das Zentrum der Kugel der Koordinatenursprung und die Kugel homogen geladen, dann gilt nach Poissongleichung:
Vereinfacht auf ein eindimensionales Problem:
2x integriert ergibt als Potential:
Dabei sind die c's Konstanten.
Für das E-Feld erhalte ich auf Grund
:
Da das E-Feld für
, also im Zentrum der Kugel
ist, folgt, dass
.
Das E-Feld steigt damit liniear an vom Zentrum der Kugel (
) bis zum Rand der Kugel.
Das Potential hingegen fällt von einem Anfangswert im Zentrum quadratisch ab (umgedrehte Parabel).
Nu der Clou:
Wenn ich versuche, dass ganze außerhalb der Kugel mit der Laplacegleichung eindimensional zu berechnen, also:
Dann komme ich auf das Potential:
Das Potential außerhalb der Kugel steigt jedoch bekannterweise nicht linear mit dem Abstand an, sondern fällt antiproportional zum Abstand ab.
Wenn ich den Laplaceoperator in Kugelkoodinaten umrechne, komme ich auf das richtige Ergebnis.
Warum funktioniert außerhalb der Kugel die eindimensionale Betrachtungsweise nicht mehr, aber im inneren der Kugel schon?
Viele Grüße
Verrain