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[quote="doppelzwei"][b]Meine Frage:[/b] Die Aufgabenstellung lautet wie folgt: Aufgabe 17: Bahnkurven 6 Punkte Ein Punktteilchen der Masse $m$ bewegt sich entlang einer Bahnkurve $\vec{r}(t)$, die gegeben ist durch $$ \vec{r}(t)=\left(\begin{array}{c} v_{\perp} t \cos (\omega t) \\ v_{\perp} t \sin (\omega t) \\ v_{\|} t \end{array}\right) $$ Es ist hier vorteilhaft, Zylinderkoordinaten zu verwenden, mit $x=\rho \cos \phi, y=\rho \sin \phi$, und $z=z$. 1 a) Berechnen Sie den von $t=0$ bis zur Zeit $t$ zurückgelegten Weg $s(t)$. In welcher Ebene verlässt es den Ursprung zur Zeit $t=0$ ? (3 Punkte) Hinweis: $\int_0^b d x \sqrt{a^2+x^2}=\frac{b}{2} \sqrt{a^2+b^2}+\frac{a^2}{2} \ln \left(\frac{b+\sqrt{a^2+b^2}}{|a|}\right)$ Ich verstehe nicht: 1.) Was mit v_parallel und v_senkrecht gemeint ist. 2.) Warum es vorteilhaft ist, Zylinderkoordinaten zu verwenden und wie man diese hier überhaupt effektiv verwendet um sich Zeit zu sparen (ich dachte eigentlich, die Aufgabe wäre schon in Zylinderkoordinaten angegeben) [b]Meine Ideen:[/b] Ich hätte jetzt einfach r(t) nach der Zeit abgeleitet, den Betrag davon von 0 nach t integriert und mit v_senkrecht und v_parallel wie zwei unterschiedliche Variablen gerechnet. Dann verstehe ich aber den Sinn des Hinweises nicht.[/quote]
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Myon
Verfasst am: 15. Jun 2023 12:42
Titel: Re: Bahnkurve in Zylinderkoordinaten parametrisieren
Hier nochmals die Bahnkurve:
doppelzwei hat Folgendes geschrieben:
Ich verstehe nicht:
1.) Was mit v_parallel und v_senkrecht gemeint ist.
Es handelt sich ja um eine spiralförmige Bahn um die z-Achse, wobei der Radius der Spirale mit konstanter Rate zunimmt. Die Grössen v_parallel und v_senkrecht sollen wahrscheinlich Konstanten sein, die Raten, mit denen sich z(t) und der Radius rho(t) ändern.
Zitat:
2.) Warum es vorteilhaft ist, Zylinderkoordinaten zu verwenden und wie man diese hier überhaupt effektiv verwendet um sich Zeit zu sparen (ich dachte eigentlich, die Aufgabe wäre schon in Zylinderkoordinaten angegeben)
Zylinderkoordinaten bieten sich hier ja schon an aufgrund der Bahn um die z-Achse herum. Im Aufgabentext ist r(t) noch nicht wirklich in Zylinderkoordinaten ausgedrückt, sondern als (x(t), y(t), z(t)). In Zylinderkoordinaten ist es dann
Zitat:
Ich hätte jetzt einfach r(t) nach der Zeit abgeleitet, den Betrag davon von 0 nach t integriert und mit v_senkrecht und v_parallel wie zwei unterschiedliche Variablen gerechnet.
Ja, den Betrag der Ableitung integrieren
und v_senkrecht, v_parallel dabei als Konstanten behandeln.
doppelzwei
Verfasst am: 15. Jun 2023 10:59
Titel: Bahnkurve in Zylinderkoordinaten parametrisieren
Meine Frage:
Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:
Aufgabe 17: Bahnkurven
6 Punkte
Ein Punktteilchen der Masse $m$ bewegt sich entlang einer Bahnkurve $\vec{r}(t)$, die gegeben ist durch
$$
\vec{r}(t)=\left(\begin{array}{c}
v_{\perp} t \cos (\omega t) \\
v_{\perp} t \sin (\omega t) \\
v_{\|} t
\end{array}\right)
$$
Es ist hier vorteilhaft, Zylinderkoordinaten zu verwenden, mit $x=\rho \cos \phi, y=\rho \sin \phi$, und $z=z$.
1
a) Berechnen Sie den von $t=0$ bis zur Zeit $t$ zurückgelegten Weg $s(t)$. In welcher Ebene verlässt es den Ursprung zur Zeit $t=0$ ?
(3 Punkte)
Hinweis: $\int_0^b d x \sqrt{a^2+x^2}=\frac{b}{2} \sqrt{a^2+b^2}+\frac{a^2}{2} \ln \left(\frac{b+\sqrt{a^2+b^2}}{|a|}\right)$
Ich verstehe nicht:
1.) Was mit v_parallel und v_senkrecht gemeint ist.
2.) Warum es vorteilhaft ist, Zylinderkoordinaten zu verwenden und wie man diese hier überhaupt effektiv verwendet um sich Zeit zu sparen (ich dachte eigentlich, die Aufgabe wäre schon in Zylinderkoordinaten angegeben)
Meine Ideen:
Ich hätte jetzt einfach r(t) nach der Zeit abgeleitet, den Betrag davon von 0 nach t integriert und mit v_senkrecht und v_parallel wie zwei unterschiedliche Variablen gerechnet. Dann verstehe ich aber den Sinn des Hinweises nicht.