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Formeleditor
[quote="Knight"][b]Meine Frage:[/b] Ich habe folgendes Problem: "Skizze:" |<-----[latex]x_2[/latex]---->| |<-[latex]x_1[/latex]->| |-----[latex]m_1[/latex]-----[latex]m_2[/latex] Zwei Massen sind and zwei Federn mit[latex]k_1[/latex] und [latex]k_2[/latex] und Ruhelagen [latex]l_1[/latex], [latex]l_2[/latex] an einer Wand verbunden. 1) Stelle die BWGl. für [latex]x_1[/latex] und [latex]x_2[/latex] 2) Führe neue Koordinaten [latex]y_1[/latex] und [latex]y_2[/latex] ein, die die Auslenkung aus der Ruhelage des Systems angeben und stellen sie die BWGL in Matrixform dar [latex]\begin{pmatrix}\ddot y_1\\\ddot y_2\end{pmatrix}=M\begin{pmatrix} y_1\\ y_2\end{pmatrix}[/latex] welche Eigenfrequenzen hat das System? [b]Meine Ideen:[/b] zu a) Ihc habe die Bwgl. über die Lagrange Gleichung aufgestellt, mit [latex]T=\frac 12m_1\dot {x_1}^2+\frac 12m_1\dot {x_2}^2[/latex] Für das Potential habe ich zu erst überlegt, dass die Auslenkung davon abhängt, wie die Massestücke zur Ruhelage stehen [latex]\tilde x_1=x_1-l_1\quad\tilde x_2=x_2-x_1-l_2[/latex] damit habe ich dann das Potential [latex]U=\frac 12 k_1(x_1-l_1)^2m_1+\frac 12k_2(x_2-x_1-l_2)^2m_2[/latex] Die Bwgl die ich dann über die Lagrange-Gleichung erhalte sind die folgenden: [latex]1.\quad m_1\ddot x_1-k_1(x_1-l_1)m_1+k_2(x_2-x_1-l_2)m_2=0 [/latex] [latex]2.\quad m_2\ddot x_2\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\,\,-k_2(x_2-x_1-l_2)m_2=0[/latex] Sind die Gleichungen schonmal richtig? zu b) ich war mir nicht ganz sicher wie man hier die neuen Koordinaten findet, denn ich habe mir überlegt[latex]\tilde x_1=y_1\quad\tilde x_2=y_2[/latex] als neue Koordinaten zu nehmen. Ich habe dann beides in die Bwgl. aus 1) eingesetzt und erhalte, die folgenden Gleichungen [latex]1. \quad m_1\ddot y_1-k_1y_1m_1+k_2y_2m_2=0[/latex] [latex]m_2\ddot y_1+m_2\ddot y_2-k_2y_2m_2=0[/latex] Wie genau stelle ich hier jetzt die Gleichungen in der Matrix form dar, da ich bei der 2. Gleichung [latex]m_2\ddot y_1+m_2\ddot y_2[/latex] habe. [color=blue] Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen [/color][/quote]
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Myon
Verfasst am: 28. Mai 2023 09:08
Titel: Re: Federpendel mit 2 Massen
Die Bewegungsgleichungen können noch nicht ganz richtig sein. Die Federkräfte müssen ja die Form k*x haben, ohne eine Masse als Faktor. Ich erhalte auch andere Vorzeichen, aber das hängt davon ab, wie die Koordinaten definiert sind.
Ich denke, um die Bewegungsgleichungen aufzustellen, muss man hier nicht die Lagrange-Funktion verwenden. Es wirken ja nur die Federkräfte, welche von (x1,x2) bzw. (y1,y2) abhängen.
Ich bin nicht ganz sicher, ob ich die Anordnung richtig verstanden habe. Ist es so richtig: an einer Wand auf der linken Seite hängen eine Feder k1, daran eine Masse m1, daran wieder eine Feder k2 und zuletzt die Masse m2? Also von rechts greift keine weitere Feder an m2 an? In diesem Fall müssten für (y1, y2) mit y1=x1-l1, y2=x2-l2-l1 die Bewegungsgleichungen etwa so aussehen
Knight hat Folgendes geschrieben:
Wie genau stelle ich hier jetzt die Gleichungen in der Matrix form dar, da ich bei der 2. Gleichung
habe.
Wenn aus der Lagrange-Funktion ein solches Gleichungssystem folgt, kann durch eine Linearkombination der Gleichungen die Form
erreicht werden (Addieren oder Subtrahieren der Gleichungen o.ä.).
Knight
Verfasst am: 27. Mai 2023 16:09
Titel: Federpendel mit 2 Massen
Meine Frage:
Ich habe folgendes Problem:
"Skizze:"
|<-----
---->|
|<-
->|
|-----
-----
Zwei Massen sind and zwei Federn mit
und
und Ruhelagen
,
an einer Wand verbunden.
1) Stelle die BWGl. für
und
2) Führe neue Koordinaten
und
ein, die die Auslenkung aus der Ruhelage des Systems angeben und stellen sie die BWGL in Matrixform dar
welche Eigenfrequenzen hat das System?
Meine Ideen:
zu a) Ihc habe die Bwgl. über die Lagrange Gleichung aufgestellt, mit
Für das Potential habe ich zu erst überlegt, dass die Auslenkung davon abhängt, wie die Massestücke zur Ruhelage stehen
damit habe ich dann das Potential
Die Bwgl die ich dann über die Lagrange-Gleichung erhalte sind die folgenden:
Sind die Gleichungen schonmal richtig?
zu b) ich war mir nicht ganz sicher wie man hier die neuen Koordinaten findet, denn ich habe mir überlegt
als neue Koordinaten zu nehmen.
Ich habe dann beides in die Bwgl. aus 1) eingesetzt und erhalte, die folgenden Gleichungen
Wie genau stelle ich hier jetzt die Gleichungen in der Matrix form dar, da ich bei der 2. Gleichung
habe.
Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen