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[quote="TomS"]Die Terme erster Ordnung in epsilon liefern [latex]\ddot{x}_{(1)} + (x_{(0)}^2 - 1) \dot{x}_{(0)} + x_{(1)} = 0[/latex] Ich verstehe nicht, wie genau deine Fourierreihe ins Spiel kommt. Und ich verstehe nicht, wie die zweite Zeitableitung verschwinden kann.[/quote]
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TomS
Verfasst am: 01. Mai 2023 06:52
Titel:
Die Terme erster Ordnung in epsilon liefern
Ich verstehe nicht, wie genau deine Fourierreihe ins Spiel kommt. Und ich verstehe nicht, wie die zweite Zeitableitung verschwinden kann.
kornelthefirst
Verfasst am: 30. Apr 2023 18:21
Titel:
Danke, mit diesen Anfangsbedingungen habe ich auf die gefragte Form gekommen
TomS
Verfasst am: 30. Apr 2023 14:52
Titel:
Es gilt
Nun ist m.E. eine ganz normale Störungsreihe in epsilon gefragt, d.h.
Das setzt du in die Differentialgleichung ein und sortierst nach Potenzen von epsilon.
In nullter Ordnung ist das ein gewöhnlicher harmonischer Oszillator, d.h.
Dafür erhältst du eine Schar von Lösungen.
In der Gleichung der ersten Ordnung fallen die Terme ausschließlich nullter Ordnung heraus, denn diese werden durch die eben genannte Gleichung bereits gelöst. Du behältst nur Terme erster Ordnung in epsilon; diese koppeln an die Terme nullter Ordnung.
Damit erhältst du eine DGL für die erste Ordnung, die von der gewählten Lösung der nullten Ordnung abhängt.
Bis dahin solltest du mal rechnen.
kornelthefirst
Verfasst am: 30. Apr 2023 13:09
Titel: Van-der-Pol-Oszillator Grenzzyklus
Meine Frage:
Wir haben eine Van der Pol Oszillator mit kleinem
und nach einer Fourier-Reihe, brauchen wir die Gleichung vereinfachen.
Der Oszillator lässt sich von
beschrieben.
Die Fourier-Reihe:
Ich muss zeigen, dass in führender Ordnung von
gilt
Meine Ideen:
Zunächst habe ich
angekuckt und in eine Phasenraum-Trajektorie dargestellt, wo die Achsen x und
sind. Diese Trajektorie zeigt eine kreisförmige Grenzzyklus und ergibt die Lösung
Davon ausgehend haben alle Fourier-Koeffizienten außer
mindestens von der Ordnung
sind.
und
kann man beliebig auswählen, also ich nehme
und
an.
Ich habe die erste Gleichung vereinfacht, wobei ich die zweite verwendet habe:
Hier bin ich stehen geblieben, ich finde es wahrscheinlich, dass trigonometrische Identitäten in Frage kommen, aber bisher habe ich die Richtige noch nicht gefunden.