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[quote="manuel459"]Info 1: Nach [url]https://arxiv.org/pdf/1605.00806.pdf[/url] kann, da Korrelation und Verschränkung für reine Zustände äquivalent sind, ein geeignetes Maß für Quantenkorrelationen als Verschränkungsmaß verwendet werden. Ich habe da für bipartite Systeme direkt an die sogenannte Korrelationsfunktion gedacht: [latex]K=E(O_A\otimes O_B)_{\psi}-E(O_A\otimes I)_{\psi}\cdot E(I\otimes O_A)_{\psi}[/latex] Dabei steht[latex]E[/latex] für den Erwartungswert einer Messung am Zustand [latex]|\psi\rangle[/latex], die durch die entsprechenden Observablen gegeben ist. Ist [latex]K=0[/latex] für zwei Observablen, dann sind die Messungen (bzw. Messergebnisse) von zwei Messungen an den zwei Teilen des Systems unabhängig voneinander. Gedanke 1: Ein reiner bipartiter Zustand könnte daher "verschränkt" heißen, wenn man [latex]O_A[/latex] und [latex]O_B[/latex] findet, sodass [latex]K\neq 0[/latex]. Grund: für reine Produktzustände ist offenbar [latex]K=0[/latex] für beliebige Observablen. Frage 1: Ist der Zugang schlüssig? Ist das etwas, was man auch aus der Literatur kennt? Bisher bin ich nicht darauf gestoßen (nur auf die Von-Neumann-Entropie). Problem ist wohl, dass mein Ansatz nur für bipartite reine Zustände funktioniert. Der Grund warum ich gerade den Weg gehe, wird aus Punkt 2 klar, den ich etwas genauer verstehen will. Info 2: Schlosshauer (978-3-540-35773-4, p. 33) sagt: > "A useful intuitive way of quantifying the entanglement present in > this state [siehe anschließend] is to consider the following question: How much can > the observer learn about one system by measuring the other system?" [latex]|X\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\psi_1\rangle|\phi_1\rangle\pm|\psi_2\rangle|\phi_2\rangle\right)[/latex] Die Zustände sind dabei nicht notwendigerweise paarweise orthogonal (laut Schlosshauer). Gedanke 2: Ich denke ihr würdet mir zustimmen wenn ich behaupte, dass Schlosshauer (im Hintergrund) die Korrelationsfunktion zur Quantifizierung der "Menge bzw. Stärke an Verschränkung" des Zustands [latex]|X\rangle[/latex] betrachtet. Grund: Ist [latex]K=1\lor-1[/latex] für zwei [latex]O_A, O_B[/latex] hängen die Messergebnisse zusammen, also ist das gerade die Mathematisch Variante vom sprachlichen "Man kann über System B durch Messung an System A lernen", bei dem man zwei Observablen im Hinterkopf hat. Schlosshauer scheint also nichts anderes zu sagen als (ins unterstellte mathematische Fundament übersetzt) "je weiter K von 0 weg ist (je korrelierter die Messergebnisse der beiden Messungen), desto verschränkter ist [latex]|X\rangle[/latex]. Frage 2: Seid ihr meiner Meinung (soweit, intuitiv)? Offensichtlich ist bei dem ganzen Schlosshauer Zeug, dass K genau genommen von den Observablen abhängt. Und Schlosshauers Aussage verliert über die Observablen kein Wort. Wenn man die Korrelationsfunktion aber als quantitatives Maß für die "Menge an Verschränkung" benutzen möchte, sollte doch schon klar sein, wie das mit den Observablen nun gehandhabt wird. Ich sehe da zwei Möglichkeiten, wie das Schlosshauer im Hintergrund handhaben könnte (damit die unterstellte Definition, das unterstellte mathematische Konstrukt zu der sprachlich ungenauen Aussage von Schlosshauer passt): 1) Schlosshauer meint "Jener erreichbare Wert von K (beim durchprobieren aller möglichen Observablen), der am weitesten von 0 weg ist, charakterisiert die Stärke der Verschränkung. Je weitere der Wert von 0 weg, desto verschränkter ist der Zustand. 2) Schlosshauer könnte aber einfach auch [latex]O_A=|\psi_1\rangle\langle\psi_1|-|\psi^{\perp}_1\rangle\langle\psi^{\perp}_1|[/latex] und [latex]O_B=|\phi_1\rangle\langle\psi_1|-|\psi^{\perp}_1\rangle\langle\psi^{\perp}_1|[/latex] nutzen und K als Maß verwenden. Frage 3: Angenommen Frage 2 kann mit "ja" beantwortet werden (der unterstellte mathematische Hintergrund ist korrekt). Ist 1) oder 2) der richtige mathematische Hintergrund für das was Schrödinger sagt (Schrödinger beschreibt dann meinen mathematischen Hintergrund in dem Sinn verbal). Update: Ich habe jetzt versucht, meine Variante mit 2) durchzurechnen. Blöderweise finde ich [latex]K=1-|\langle\alpha_2|\alpha_1\rangle|^2[/latex] - nach meiner mathematischen Variante kann man durch Messung an System B nur dann genau wissen, in welchem Zustand System A ist, wenn die Zustände [latex]|\alpha_1\rangle, |\alpha_2\rangle[/latex] orthogonal sind. Schlosshauers intuitive Variante setzt das aber nicht voraus...[/quote]
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Nachricht
manuel459
Verfasst am: 14. Apr 2023 00:16
Titel: Korrelationsfunktion als Maß für Verschränkung nutzen?
Info 1:
Nach
https://arxiv.org/pdf/1605.00806.pdf
kann, da Korrelation und Verschränkung für reine Zustände äquivalent sind, ein geeignetes Maß für Quantenkorrelationen als Verschränkungsmaß verwendet werden.
Ich habe da für bipartite Systeme direkt an die sogenannte Korrelationsfunktion gedacht:
Dabei steht
für den Erwartungswert einer Messung am Zustand
, die durch die entsprechenden Observablen gegeben ist.
Ist
für zwei Observablen, dann sind die Messungen (bzw. Messergebnisse) von zwei Messungen an den zwei Teilen des Systems unabhängig voneinander.
Gedanke 1:
Ein reiner bipartiter Zustand könnte daher "verschränkt" heißen, wenn man
und
findet, sodass
. Grund: für reine Produktzustände ist offenbar
für beliebige Observablen.
Frage 1:
Ist der Zugang schlüssig? Ist das etwas, was man auch aus der Literatur kennt? Bisher bin ich nicht darauf gestoßen (nur auf die Von-Neumann-Entropie). Problem ist wohl, dass mein Ansatz nur für bipartite reine Zustände funktioniert. Der Grund warum ich gerade den Weg gehe, wird aus Punkt 2 klar, den ich etwas genauer verstehen will.
Info 2:
Schlosshauer (978-3-540-35773-4, p. 33) sagt:
> "A useful intuitive way of quantifying the entanglement present in
> this state [siehe anschließend] is to consider the following question: How much can
> the observer learn about one system by measuring the other system?"
Die Zustände sind dabei nicht notwendigerweise paarweise orthogonal (laut Schlosshauer).
Gedanke 2:
Ich denke ihr würdet mir zustimmen wenn ich behaupte, dass Schlosshauer (im Hintergrund) die Korrelationsfunktion zur Quantifizierung der "Menge bzw. Stärke an Verschränkung" des Zustands
betrachtet. Grund: Ist
für zwei
hängen die Messergebnisse zusammen, also ist das gerade die Mathematisch Variante vom sprachlichen "Man kann über System B durch Messung an System A lernen", bei dem man zwei Observablen im Hinterkopf hat. Schlosshauer scheint also nichts anderes zu sagen als (ins unterstellte mathematische Fundament übersetzt) "je weiter K von 0 weg ist (je korrelierter die Messergebnisse der beiden Messungen), desto verschränkter ist
.
Frage 2: Seid ihr meiner Meinung (soweit, intuitiv)?
Offensichtlich ist bei dem ganzen Schlosshauer Zeug, dass K genau genommen von den Observablen abhängt. Und Schlosshauers Aussage verliert über die Observablen kein Wort. Wenn man die Korrelationsfunktion aber als quantitatives Maß für die "Menge an Verschränkung" benutzen möchte, sollte doch schon klar sein, wie das mit den Observablen nun gehandhabt wird. Ich sehe da zwei Möglichkeiten, wie das Schlosshauer im Hintergrund handhaben könnte (damit die unterstellte Definition, das unterstellte mathematische Konstrukt zu der sprachlich ungenauen Aussage von Schlosshauer passt):
1) Schlosshauer meint "Jener erreichbare Wert von K (beim durchprobieren aller möglichen Observablen), der am weitesten von 0 weg ist, charakterisiert die Stärke der Verschränkung. Je weitere der Wert von 0 weg, desto verschränkter ist der Zustand.
2) Schlosshauer könnte aber einfach auch
und
nutzen und K als Maß verwenden.
Frage 3: Angenommen Frage 2 kann mit "ja" beantwortet werden (der unterstellte mathematische Hintergrund ist korrekt). Ist 1) oder 2) der richtige mathematische Hintergrund für das was Schrödinger sagt (Schrödinger beschreibt dann meinen mathematischen Hintergrund in dem Sinn verbal).
Update: Ich habe jetzt versucht, meine Variante mit 2) durchzurechnen. Blöderweise finde ich
- nach meiner mathematischen Variante kann man durch Messung an System B nur dann genau wissen, in welchem Zustand System A ist, wenn die Zustände
orthogonal sind. Schlosshauers intuitive Variante setzt das aber nicht voraus...