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So gehts:
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|
Formeleditor
[quote="index_razor"][quote="index_razor"]Bei [latex](\star\dd\phi)_{123}[/latex] fehlt außerdem ein Minuszeichen, wenn ich mich nicht täusche. Schreibe am besten mal auf, was du gerechnet hast. [/quote] Ich habe gerade den Verdacht, daß in Gl. (6) ein Fehler steckt und es eigentlich [latex](\star\omega)_{i_1\cdots i_{d-p}} = \frac{\sqrt{|\det g|}}{p!} \varepsilon_{j_1\cdots j_p, i_1\dots i_{d-p}} \omega^{j_1\cdots j_p}[/latex] heißen müßte. Wenn das stimmt, dann fehlt das Minuszeichen in der Komponente [latex](\star\dd\phi)_{012}[/latex].[/quote]
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Nachricht
index_razor
Verfasst am: 17. Jan 2023 18:14
Titel:
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Bei
fehlt außerdem ein Minuszeichen, wenn ich mich nicht täusche. Schreibe am besten mal auf, was du gerechnet hast.
Ich habe gerade den Verdacht, daß in Gl. (6) ein Fehler steckt und es eigentlich
heißen müßte. Wenn das stimmt, dann fehlt das Minuszeichen in der Komponente
.
index_razor
Verfasst am: 17. Jan 2023 12:58
Titel:
TryingToUnderstandIt hat Folgendes geschrieben:
Kurz zu deiner Schreibweise: Dein i4 ist mein j1, oder?
Ja, wie man den Index nennt, spielt keine Rolle, solange man ihn von den anderen drei unterscheidet.
Zitat:
Wenn ja, warum kann ich dieses bei der Lin. Komb. vernachlässigen? Ist es, weil es durch das Setzen von i1-i3 schon gegeben ist, was i4 sein soll, weil für gleiche Indizes ja 0 beim Levi-Civita-Symbol rauskommt?
Ja, das ist der Grund, warum nur ein Term in der Linearkombination übrigbleibt (d.h. ungleich null ist; vernachlässigt wird nichts). Drei Indizes sind durch die Komponente von
festgelegt. Sie alle sind voneinander verschieden, und es gibt nur eine Zahl von 0 bis 3, die von allen anderen drei verschieden ist.
Zitat:
Dann noch zum weiterführenden: Wenn ich den Hodge ausrechnen mit dem Levi-Civita, komme ich auf nur 2 Werte, weil sonst entweder =0 ist oder es sich gegenseitig rauskürzt.
Dann hast du dich bei den anderen Komponenten verrechnet. Bei
fehlt außerdem ein Minuszeichen, wenn ich mich nicht täusche. Schreibe am besten mal auf, was du gerechnet hast.
Zitat:
Auch bin ich mir nicht sicher, wie ich dass im Wedge später gebrauchen kann.
Wie habt ihr denn das äußere Produkt definiert?
TryingToUnderstandIt
Verfasst am: 16. Jan 2023 21:05
Titel:
Kurz zu deiner Schreibweise: Dein i4 ist mein j1, oder? Wenn ja, warum kann ich dieses bei der Lin. Komb. vernachlässigen? Ist es, weil es durch das Setzen von i1-i3 schon gegeben ist, was i4 sein soll, weil für gleiche Indizes ja 0 beim Levi-Civita-Symbol rauskommt?
Dann noch zum weiterführenden: Wenn ich den Hodge ausrechnen mit dem Levi-Civita, komme ich auf nur 2 Werte, weil sonst entweder =0 ist oder es sich gegenseitig rauskürzt.
Dass kann aber schon allein deswegen nicht sein, weil im Endintegral ja 4 verschiedene Komponente gebraucht werden, wie du ja auch schon gesagt hast. Auch bin ich mir nicht sicher, wie ich dass im Wedge später gebrauchen kann.
index_razor
Verfasst am: 16. Jan 2023 15:05
Titel:
Nein, in der Formel kommt kein Produkt von
-Komponenten vor. Das kann auch nicht sein, da, wie gesagt, der Hodge-Operator linear ist.
Außerdem stimmt das Indexbild nicht;
ist ein Tensor 3. Stufe. Gl. (6) lautet angewendet auf die 1-Form
Das stellt jede der vier Komponenten
von
als Linearkombination der Komponenten von
dar. (Wegen der Eigenschaft von
und der Orthogonalität der Basis bleibt von dieser Linearkombination jeweils nur ein Term stehen.)
TryingToUnderstandIt
Verfasst am: 16. Jan 2023 13:55
Titel:
Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort. Wenn es einfaches Ausrechen ist, habe ich als erste Lösung für den Hodge-Stern:
So richtig soweit ?
index_razor
Verfasst am: 16. Jan 2023 12:10
Titel: Re: Hodge Stern und Skalarfeld
Für Aufgabe a) mußt du zeigen, daß
,
wobei
das Skalarprodukt zwischen 1-Formen und
die Volumenform ist. So
definiert
man üblicherweise den Hodge-Operator auf 1-Formen. Aber die Aufgabe erwartet offenbar, daß du dies alles aus der gegebenen Formel für
herleitest. Das klingt zwar etwas mühsam, sollte aber auch machbar sein. Der erste Schritt wäre also die Berechnung von
mittels Gl. (6).
Mir kommt es aber einfacher vor, die Wirkung von
auf die Basisformen auszurechnen und zu verwenden, daß
linear ist. Das geht in 4 Dimensionen auch noch ohne viel Kombinatorik und
-Gymnastik. Das einzige was man beachten muß, ist die richtige Reihenfolge der Basisformen und die Vorzeichen. Siehe dazu auch
diesen Artikel
.
TryingToUnderstandIt
Verfasst am: 16. Jan 2023 10:46
Titel: Hodge Stern und Skalarfeld
Meine Frage:
Hallöchen mal wieder,
Nach einer etwas längeren Pause wurde mir heute eine Aufgabe gestellt, die ich wieder nicht wirklich lösen kann (zumindest fehlt mir bisher ein richtiger Ansatz). Weil es eine etwas lange Aufgabe ist, hab ich sie als Bild in den Anhang gestellt.
Meine Ideen:
Ich muss leider zugeben, dass ich noch gar keine eigene Ansätze habe. Ich weiß, dass 'Wedges' als Tensorprodukt geschrieben werden kann, was aber ich zum Lösen der Aufgabe reicht
.
Wenn mir also jemand weiterhelfen könnte, wäre ich demjenigen sehr dankbar