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[quote="jh8979"][quote="TryingToUnderstandIt"] a): Hier habe ich der Greensche Funktion [latex]\frac{1}{4 \pi} * \frac{1}{|x-y|}[/latex] ausgerechnet [/quote] zu a) Das ist nicht die gesuchte Greensche Funktion, da sie die Randbedingung bei z=0 nicht erfüllt. Der notwendige Tipp steht schon in der Aufgabe. b) Das ist in Jacksons "Elektrodynamik" Kapitel 1.8 und 1.10. Ich seh keinen schöneren Weg als bei Adam und Eva mit dem Gaussschen Satz und den Greenschen Identitäten anzufangen. Ich finde das kannst Du auch nicht wirklich selber entdecken. Das musst Du Dir einmal anlesen und nachvollziehen und dann sehen, dass diese Formel rauskommt. [x' ist übrigens gleich (x',y',z'), nur wertet man das Integral dann auf dem Rand bei z'=0 aus.] c) kann man machen ohne b) gelöst zu haben. Die Formel die man braucht ist ja gegeben in b). d) bzw. e) kann man dann machen, wenn man c) hat bzw. d) hat.[/quote]
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Nachricht
jh8979
Verfasst am: 12. Dez 2022 21:56
Titel: Re: Dirichletrandbed. Im oberen Halbraum
TryingToUnderstandIt hat Folgendes geschrieben:
a): Hier habe ich der Greensche Funktion
ausgerechnet
zu a) Das ist nicht die gesuchte Greensche Funktion, da sie die Randbedingung bei z=0 nicht erfüllt. Der notwendige Tipp steht schon in der Aufgabe.
b) Das ist in Jacksons "Elektrodynamik" Kapitel 1.8 und 1.10. Ich seh keinen schöneren Weg als bei Adam und Eva mit dem Gaussschen Satz und den Greenschen Identitäten anzufangen. Ich finde das kannst Du auch nicht wirklich selber entdecken. Das musst Du Dir einmal anlesen und nachvollziehen und dann sehen, dass diese Formel rauskommt.
[x' ist übrigens gleich (x',y',z'), nur wertet man das Integral dann auf dem Rand bei z'=0 aus.]
c) kann man machen ohne b) gelöst zu haben. Die Formel die man braucht ist ja gegeben in b).
d) bzw. e) kann man dann machen, wenn man c) hat bzw. d) hat.
TryingToUnderstandIt
Verfasst am: 12. Dez 2022 16:02
Titel: Dirichletrandbedingung im oberen Halbraum
Meine Frage:
Hallo mal wieder,
Ich habe im Moment echt Schwierigkeiten, eine Aufgabe zu lösen.
Sie geht wie folgt:
Betrachten Sie den oberen Halbraum z > 0 mit Dirichlet-Randbedingungen auf der Ebene z = 0 (und bei unendlich).
a) Geben Sie unter Verwendung der Spiegelladungsmethode die Greensfunktion
im oberen Halbraum an.
b) Wenn sich im oberen Halbraum keine Ladung befindet, ist die Dirichlet-Randbedingung für das Potential phi(x) bei unendlich gegeben durch phi (infinity) = 0, während bei z = 0 die Randbedingung phi(x, y, z = 0) = phiB(x, y) gilt. Zeigen Sie, dass das Potential für einen beliebigen Punkt x im oberen Halbraum beschrieben ist durch
,
wobei x' = (x', y', 0) und man über die Ebene z = 0 integriert.
c) Nun soll ? in einer Kreisfläche mit Radius a um den Ursprung in der (x,y)-Ebene konstant sein: phiB = V . Außerhalb des Kreises sei phiB = 0. Geben Sie für diese Randbedingungen einen Integralausdruck für phi(x) in Zylinderkoordinaten (r, phi, z) an. Sie müssen das Integral nicht berechnen.
d) Berechnen Sie das Integral aus c) nun explizit für einen beliebigen Punkt auf der z-Achse.
e) Taylor-Entwickeln Sie das Ergebnis aus d) im Limes z >> a
Meine Ideen:
a): Hier habe ich der Greensche Funktion
ausgerechnet
Der Rest fällt mir tatsächlich noch etwas schwer, vor Allem, weil sie aufeinander aufbauen. Ich würde mich also freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Grüße