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[quote="vtxt1103"][b]Meine Frage:[/b] Hallo Leute ich komme mit der folgenden Aufgabe nicht weiter: Ein kreisförmiger Leiter vom Radius R befinde sich parallel zur x-y-Ebene auf der Höhe z0 und werde vom Strom I durchflossen. a) Wie lautet das dazugehörige Vektorpotential A in Zylinderkoordinaten? b) Entwickeln Sie [latex]\vec{A}[/latex] für kleine Abstände [latex]\rho[/latex] von der z-achse , [latex]\rho << R[/latex] bis zur führenden Ordnung. Berechnen sie daraus [latex]B_z(\rho = 0 , z)[/latex] auf der z-achse. c) Gegeben seien nun zwei solche Kreisströme I, die in den Höhen z0 = b und z0 = ?b parallel angeordnet sind. Wie muss b gewählt werden, damit Bz auf der z-Achse in der Nähe von z = 0 möglichst homogen ist? Welchen Wert hat dann Bz bei z = 0? Aufgabe a und b habe ich bereits gemacht, zu c habe ich jedoch keinen Ansatz. Ich würde einfach mal zeigen wie ich die a und b gemacht habe: [b]Meine Ideen:[/b] a) Vektorpotential eines Kreisstroms berechnen: Gehe über Stromdichte [latex]\vec{j}[/latex] Berechne zunächst Stromdichte in Zylinderkoordinaten: [latex]\vec{j}(\rho, \phi,z) = c \delta(\rho - R )\delta(z)\vec{e_{\phi}}[/latex] C = unbestimmte konstante Bestimme C, der Strom durch einen Querschnitt ergibt I [latex] I = \int_0^\infty \! \, \dd \rho \int_{-\infty}^\infty \! \vec{e_{\phi}} * \vec{j}(\rho , \phi , z) \, \dd z = \int_0^\infty \! \, \dd \rho \int_{-\infty}^\infty \! c \delta(\rho - R) \delta(z) \vec{e_{\phi}} dz [/latex] => I= C Laut Jackson, gilt für die delta-funktion in zylinderkoordinaten [latex]\delta(x-x_0) = \frac{1}{\rho}* \delta(\rho - \rho_0) \delta(\phi-\phi_0)\delta(z-z_0) [/latex] Integriere über Leiter [latex]\vec{j}(\rho , \phi ,z) = I \int_0^{2\pi} \! \frac{1}{\rho} * \delta(\rho - R) \delta(\phi- \phi' \delta(z) \, \dd \phi' [/latex] [latex]\vec{j}(\rho , \phi ,z) = I \delta(\rho -R) \delta(z) [/latex] Für das Vektorpotential Gilt: [latex]\vec{A}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \! f(x) \, \frac{\vec{j}(\vec{r'})}{|\vec{r} - \vec{r'}| } \dd^3 r' [/latex] Lege Betrachtungs punkt in xy ebene = > phi = 0 Dann kann man das Vektorpotential in der y- Koordinate bestimmen mit [latex]A_y = cos(\phi')A(\rho. z)[/latex] Betrachte die y- komponente der stromdichte [latex]\vec{A}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \! f(x) \, \frac{I \delta(z') \delta(\rho' - R)cos\tilde {\phi}}{|\vec{r} - \vec{r'}| } \dd^3 r' [/latex] [latex] \vec{A}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_0^{2\pi} \! \, \dd \phi' \int_{-\infty}^\infty \! \, \dd z' \int_0^\infty \! \frac{I \rho' \delta(z')\delta(\rho'-R) cos \tilde {\phi}}{\sqrt{\rho + \rho' -2\rho \rho' cos \tilde{\phi} + (z+z')^2}} \, \dd \rho'[/latex] [latex] \vec{A}(\vec{r}) = \frac{I \mu_0}{4\pi} \int_0^{2\pi} \! \frac{1}{\sqrt{\rho^2 + R^2 -2R\rho cos \tilde(\phi) +z^2}} \, \dd \phi' [/latex] => [latex] \vec{A}(\vec{r}) = \frac{IR\mu_0}{4\pi} \frac{1}{\sqrt{\rho^2 + R^2 +z^2}} \int_0^{2\pi} \! \frac{cos \tilde {\phi}}{\sqrt{1- \frac{2\rho Rcos \tilde{\phi}}{\rho^2 + R^2 + z^2}}} \, \dd \tilde{\phi} [/latex] Integral für das Vektor potential. b) Entwickle nenner als Binomische Reihe [latex]\rho << R [/latex] [latex](1- \frac{2\rho R cos \tilde{\phi}}{\sqrt{\rho^2 + R^2 +z^2 }})^{\frac{-1}{2}} \approx 1- \frac{2\rho R cos \tilde{\phi}}{\sqrt{R^2 +z^2 }}[/latex] [latex]= (1 + x)^{\frac{-1}{2}} = \sum\limits_{k=0}^ \infty \begin{pmatrix} \frac{-1}{2} \\ k \end{pmatrix} x^k[/latex] [latex]= 1 - \frac{1}{2}x + (\frac{(-1/2)(-3/2)}{2*1})x^2 + ...[/latex] [latex]= 1 - \frac{1}{2}x + (\frac{2\rho R cos \tilde{\phi}}{R^2+z^2})x^2 + \frac{3}{8} (\frac{2\rho R cos \tilde{\phi}}{R^2+z^2})^2[/latex] Wir erhalten für das Vektor potential [latex]\vec{A_y} = \frac{IR\mu_0}{4\pi} \frac{1}{\sqrt{R^2+z^2}} \int_o^{2\pi} \! cos\tilde{\phi} (\frac{\rho R cos \tilde{\phi}}{R^2+z^2})^2 \, \dd \tilde{\phi} [/latex] Integral ergibt [latex] \pi R \rho (z^2+R^2) [/latex] Nutze Zylinder symetrie: [latex]\vec{A}(\vec{r}) = \frac{IR^2\mu_0}{4} \frac{\rho}{(R^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} [/latex] Berechne B-Feld [latex]\vec{B} = \vec{A} \times \nabla[/latex] [latex]\vec{B}(\vec{r}) = \begin{pmatrix} \frac{IR^2\mu_0}{4} \frac{3 \rho z}{(\rho^2 +z^2)^{\frac{5}{4}}}\\ 0\\ \frac{IR^2\mu_0}{4} \frac{2z^2- \rho^2}{(R^2+z^2)^{\frac{5}{4}}}\end{pmatrix} [/latex] Für rho = 0 [latex]\vec{B}(\rho = 0 ) = \begin{pmatrix} \frac{IR^2\mu_0}{4} \frac{3 \rho z}{(\rho^2 +z^2)^{\frac{5}{4}}}\\ 0\\ \frac{IR^2\mu_0}{4} \frac{2z^2}{(R^2+z^2)^{\frac{5}{4}}}\end{pmatrix} [/latex] Wie gesagt ich habe keinen Plan wie die c zu machen ist Ich freue mich auf jede Hilfe[/quote]
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Qubit
Verfasst am: 12. Dez 2022 09:56
Titel: Re: Vektorpotential eines Kreisstroms
vtxt1103 hat Folgendes geschrieben:
Wie gesagt ich habe keinen Plan wie die c zu machen ist
Ich freue mich auf jede Hilfe
Berechne doch B(z) für beide Spulen, und schaue mit der Taylorentwicklung um z=0, wann höhere Ableitungen verschwinden..
Stw. Helmholtz-Spule
vtxt1103
Verfasst am: 11. Dez 2022 21:48
Titel: Vektorpotential eines Kreisstroms
Meine Frage:
Hallo Leute
ich komme mit der folgenden Aufgabe nicht weiter: Ein kreisförmiger Leiter vom Radius R befinde sich parallel zur x-y-Ebene auf der Höhe
z0 und werde vom Strom I durchflossen.
a) Wie lautet das dazugehörige Vektorpotential A in Zylinderkoordinaten?
b) Entwickeln Sie
für kleine Abstände
von der z-achse ,
bis zur führenden Ordnung. Berechnen sie daraus
auf der z-achse.
c) Gegeben seien nun zwei solche Kreisströme I, die in den Höhen z0 = b und
z0 = ?b parallel angeordnet sind. Wie muss b gewählt werden, damit Bz auf der
z-Achse in der Nähe von z = 0 möglichst homogen ist? Welchen Wert hat dann
Bz bei z = 0?
Aufgabe a und b habe ich bereits gemacht, zu c habe ich jedoch keinen Ansatz. Ich würde einfach mal zeigen wie ich die a und b gemacht habe:
Meine Ideen:
a) Vektorpotential eines Kreisstroms berechnen:
Gehe über Stromdichte
Berechne zunächst Stromdichte in Zylinderkoordinaten:
C = unbestimmte konstante
Bestimme C, der Strom durch einen Querschnitt ergibt I
=> I= C
Laut Jackson, gilt für die delta-funktion in zylinderkoordinaten
Integriere über Leiter
Für das Vektorpotential Gilt:
Lege Betrachtungs punkt in xy ebene = > phi = 0
Dann kann man das Vektorpotential in der y- Koordinate bestimmen mit
Betrachte die y- komponente der stromdichte
=>
Integral für das Vektor potential.
b) Entwickle nenner als Binomische Reihe
Wir erhalten für das Vektor potential
Integral ergibt
Nutze Zylinder symetrie:
Berechne B-Feld
Für rho = 0
Wie gesagt ich habe keinen Plan wie die c zu machen ist
Ich freue mich auf jede Hilfe