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So gehts:
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[quote="Mathefix"]Gleichgewichtsbedingung Summe der Kräfte = 0 = Gewichtskraft-Beschleunigungskraft-Reibkraft [latex]\sum F = 0 = F_m - F_a - F_R[/latex] DGL Bewegungsgleichung [latex]m\cdot g- m\cdot \dot{v} - k\cdot v^{2} = 0[/latex] [latex]\dot{v} = g - \frac{k}{m} \cdot v^{2}[/latex] Endgeschwindigkeit [latex]\dot{v} = 0 \rightarrow v = v_e [/latex] [latex]v_e^{2} = \frac{m\cdot g}{k} \rightarrow\frac{k}{m} = \frac{g}{v_e^{2} } [/latex] Trennung der Variablen [latex]\dot{v} = \frac{\dd v}{\dd t}= g\cdot (1-(\frac{v}{v_e})^{2}) [/latex] [latex]\int \frac{dv}{1-(\frac{v}{v_e})^{2}} = g\cdot \int dt[/latex] Substituieren [latex]\frac{v}{v_e} = x \rightarrow dv = v_e \cdot dx[/latex] [latex]v_e \cdot \int \frac{dx}{1-x^{2}} = g\cdot \int dt[/latex] Partialbruchzerlegung durch Koeffizientenvergleich [latex]\frac{1}{1-x^{2} } = \frac{1}{(1+x)\cdot (1-x)} [/latex] [latex]\frac{1}{1-x^{2} } = \frac{A}{1+x} + \frac{B}{1-x} [/latex] [latex]1 = A\cdot (1-x) + B\cdot (1+x) [/latex] [latex]1 = A -A \cdot x+ B + B \cdot x[/latex] Koeffizientenvergleich [latex]x^{0}: 1 = A+B [/latex] [latex]x^{1}: 0 = -A + B [/latex] [latex]B = \frac{1}{2}[/latex] [latex]A = \frac{1}{2}[/latex] [latex]\frac{1}{1-x^{2} } = \frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x} )[/latex] [latex]v_e \cdot \frac{1}{2} \cdot( \int \frac{dx}{1+x} + \int \frac{dx}{1-x})= g\cdot \int dt[/latex] [latex]v_e \cdot \frac{1}{2} \cdot (\ln(1+x) - \ln(1-x) )= g\cdot t[/latex] [latex]v_e \cdot \frac{1}{2} \cdot ln(\frac{1+x}{1-x} )= g\cdot t[/latex] [latex]v_e \cdot atanh (x) = g\cdot t[/latex] Resubstituieren [latex]v_e \cdot atanh (\frac{v}{v_e}) = g\cdot t[/latex] Fallgeschwindigkeit v(t) [latex]v(t) = v_e \cdot \tanh (\frac{g}{v_e} \cdot t)[/latex][/quote]
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Mathefix
Verfasst am: 09. Nov 2022 12:55
Titel:
Gleichgewichtsbedingung
Summe der Kräfte = 0 = Gewichtskraft-Beschleunigungskraft-Reibkraft
DGL Bewegungsgleichung
Endgeschwindigkeit
Trennung der Variablen
Substituieren
Partialbruchzerlegung durch Koeffizientenvergleich
Koeffizientenvergleich
Resubstituieren
Fallgeschwindigkeit v(t)
Mathefix
Verfasst am: 08. Nov 2022 09:02
Titel:
Stelle die DGL der Bewegungsgleichung auf.
Die stationäre Geschwindigkeit v_e ist erreicht, wenn die Beschleunigung
ist. Damit hast Du die partikuläre Lösung der DGL.
Zhangzix
Verfasst am: 08. Nov 2022 00:16
Titel: Fall mit Newton-Reibung
Meine Frage:
Berechnen Sie analog zur Vorlesung die zeitabhängige Geschwindigkeit eines fallenden Körpers für den Fall Newton?scher Reibung:
a) Betrachten Sie zunächst die stationäre Geschwindigkeit Ve.
b) Lösen Sie nun analog zum Vorgehen in der Vorlesung die DGL für den Fall Newton?scher Reibung, d.h. FR ? v2.
Hilfestellung: Verwenden Sie die Partialbruchteilung 1/(1?x²?= A/(1?x)+B/(1+x)zur Lösung der DGL sowie
1±x)dx = ±ln(1 ± x).
c) Stellen Sie v(t) graphisch dar.
Meine Ideen:
Ich habe hier noch nichts gelernt und würde mich über Hilfe freuen.