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[quote="Daniel444"][b]Meine Frage:[/b] Warum liegen Mikrozustände eines Systems mit konstanter Energie auf einer abgeschlossenen Hyperfläche im Phasenraum? Das heißt, warum sind diese Hyperflächen abgeschlossen wenn die Energie konstant ist? [b]Meine Ideen:[/b] Ich glaube das muss irgendwie mit der Ergodentheorie verknüpft sein, aber kann den Zusammenhang nicht erkennen[/quote]
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TomS
Verfasst am: 30. Sep 2022 11:34
Titel:
Also es geht um Gibbsche Ensembles im Phasenraum.
Dabei betrachtet man eine Wahrscheinlichkeitsdichte rho mit
sowie Phasenraumintegrale für Erwartungswerte, d.h.
Im vorliegenden Fall geht es wohl speziell um das
mikrokanonische Ensemble
. Für dieses gilt per Definition
Man betrachtet ausschließlich Ensembles, die diesen Bedingungen genügen, d.h.
isolierte
Systeme ohne Energieaustausch mit der Umgebung so dass deren Hamiltonfunktion H(q,p) einen konstanten Wert E hat (sowie bei festem Volumen V und fester Teilchenzahl N).
Ziel ist die Berechnung der Dichte rho.
Die
Einschränkung
des Phasenraums Omega auf die Energieschale
entspricht eigtl. einer
Aufweichung
der Bedingung
Letztlich führt das auf die Dichte des mikrokanonischen Ensembles bei fester Energie
d.h. es geht um
(bis auf Normierungsfaktoren)
Die Einführung der Massenschale endlicher Dicke ist lediglich eine Methode, die delta-Funktion in der Herleitung zu vermeiden; man rechnet eben mit einer
Darstellung
der Deltafunktion, die innerhalb der Massenschale konstant und außerhalb Null ist (wird üblicherweise bewiesen), jedoch ist letztlich immer der Grenzfall
gemeint.
Welche Geometrie die Hyperfläche H = E hat, bleibt dabei zunächst offen; ich bezweifle, dass es dazu eine allgemeingültige Aussage geben kann, da die Geometrie ja von H(q,p) abhängt. Schau dir ein System gravitativ wechselwirkender Teilchen an. Dabei können bei fester Energie E die Impulse und damit die kinetische Energie beliebig groß werden, da umgekehrt die potentielle Energie V(q) beliebig klein (negativ) werden kann.
Daniel444
Verfasst am: 29. Sep 2022 19:39
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Also geht es nicht um “die Mikrozustände” sondern um eine spezielle Lösung für ein spezielles Systems, und du fragst nach dem Grund für die Periodizität. Richtig?
Diese ist im Allgemeinen nicht gegeben.
Bsp. freies Teilchen:
Das ist eine Gerade, und die ist nicht geschlossen.
In speziellen Fällen folgt die von dir genannte Eigenschaft für spezielle Lösungen der Bewegungsgleichung.
Ich verstehe nicht, warum alle Mikrozustände eines Systems, die dieselbe Energie haben, im Phasenraum geschlossene Kurven (hyperflächen) bilden (sieh Bild).
TomS
Verfasst am: 29. Sep 2022 17:58
Titel:
Also geht es nicht um “die Mikrozustände” sondern um eine spezielle Lösung für ein spezielles Systems, und du fragst nach dem Grund für die Periodizität. Richtig?
Diese ist im Allgemeinen nicht gegeben.
Bsp. freies Teilchen:
Das ist eine Gerade, und die ist nicht geschlossen.
In speziellen Fällen folgt die von dir genannte Eigenschaft für spezielle Lösungen der Bewegungsgleichung.
Daniel444
Verfasst am: 29. Sep 2022 14:10
Titel: Re: Energieschale im Phasenraum
TomS hat Folgendes geschrieben:
Daniel444 hat Folgendes geschrieben:
Warum liegen Mikrozustände eines Systems mit konstanter Energie auf einer abgeschlossenen Hyperfläche im Phasenraum?
Was meinst du mit abgeschlossen? Eine
geschlossene Mannigfaltigkeit
?
Ich meine das. Warum sind die Kurven im Phasenraum, die einem System mit konstanter Energie entsprechen, geschlossen? Woraus folgt das?
TomS
Verfasst am: 29. Sep 2022 07:40
Titel: Re: Energieschale im Phasenraum
Daniel444 hat Folgendes geschrieben:
Warum liegen Mikrozustände eines Systems mit konstanter Energie auf einer abgeschlossenen Hyperfläche im Phasenraum?
Was meinst du mit abgeschlossen? Eine
geschlossene Mannigfaltigkeit
?
Daniel444
Verfasst am: 29. Sep 2022 01:25
Titel: Energieschale im Phasenraum
Meine Frage:
Warum liegen Mikrozustände eines Systems mit konstanter Energie auf einer abgeschlossenen Hyperfläche im Phasenraum? Das heißt, warum sind diese Hyperflächen abgeschlossen wenn die Energie konstant ist?
Meine Ideen:
Ich glaube das muss irgendwie mit der Ergodentheorie verknüpft sein, aber kann den Zusammenhang nicht erkennen