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So gehts:
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[quote="TomS"]Die allgemeinen Regel zur Substitution [latex]dx_1 \, dx_2 \, \ldots \, dx_n = \left| \text{det}^{-1} (\partial_i y_k) \right| \, dy_1 \, dy_2 \, \ldots \, dy_n [/latex] führt auf die sogenannte [url=https://en.m.wikipedia.org/wiki/Jacobian_matrix_and_determinant#Jacobian_determinant]Jacobi-Determinante[/url], die alle n * n Terme [latex]\partial_i y_k = \frac{\partial y_k(x)}{\partial x_i}[/latex] enthält. In deinem Fall kann man wie folgt argumentieren: In einem geeignet gewählten Koordinatensystem gilt [latex]r - vt = (x_1 - vt, x_2, x_3)[/latex] und damit [latex]dx_1 \, dx_2 \, dx_3 = dy_1 \, dy_2 \, dy_3 [/latex] Die eigentliche Integration erfolgt nach dieser Substitution natürlich in Kugelkoordinaten[/quote]
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Markus2309
Verfasst am: 26. Sep 2022 12:34
Titel:
Keine Sorge Nils, deine Antwort konnte mir auch nochmal einiges einleuchten. Jetzt habe ich das mit der Jacobi Determinante auch richtig verstanden!
Nils Hoppenstedt
Verfasst am: 26. Sep 2022 12:30
Titel:
Hallo,
Die Jacobimatrix der Koordinatentransformation
lautet
und besitzt folglich die Determinante
Gemäß der Formel für das Transformationsgesetz ergibt sich bei der Substitution also der Vorfaktor b³.
Viele Grüße,
Nils
P.S.: war wohl zu langsam...
Markus2309
Verfasst am: 26. Sep 2022 12:16
Titel:
Danke dir, das mit dem geeigneten Koordinatensystem hat super geklappt!
TomS
Verfasst am: 26. Sep 2022 12:08
Titel:
Die allgemeinen Regel zur Substitution
führt auf die sogenannte
Jacobi-Determinante
, die alle n * n Terme
enthält.
In deinem Fall kann man wie folgt argumentieren: In einem geeignet gewählten Koordinatensystem gilt
und damit
Die eigentliche Integration erfolgt nach dieser Substitution natürlich in Kugelkoordinaten
Markus2309
Verfasst am: 26. Sep 2022 11:28
Titel: Quantenmechanik 3D Integrale, Substition
Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich bin am überlegen, wie man hier richtig substituiert. Zu lösen ist das Integral:
welches sich zu:
ergibt
Meine Ideen:
Wie komme ich von der ersten Zeile zur zweiten? Keine Ahnung wie ich mit d^3r und Substitutionen umzugehen habe. Es ergibt auf jeden Fall Sinn, da die Größe b eine Skalierung vornimmt und vt nur eine Verschiebung darstellt. Aber ich hätte gerne mathematisch Schritt für Schritt die Substitution dargestellt.
Danke für jeden hilfreichen Beitrag