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[quote="TomS"]Ich nenne mal eine konkrete [b]Vermutung:[/b] Gegeben sei die Wärmeleitungsgleichung in n Dimensionen [latex] \dot{u} = \Delta u + f [/latex] mit einem Term f(x,t) als Wärmequelle, der genau für [latex]f(x,t) > 0 \iff x \in V \subset{R}^n \wedge t \in [0, t_\text{end}] [/latex] nicht verschwindet, und für den die Bedingung [latex]F_V = \int_0^{t_\text{end}} dt \, \int_V d^nx \, f(x,t) = \text{fixed} [/latex] erfüllt ist. Zu zeigen ist, dass [latex]U_V(t_\text{end}) = \int_V d^nx \, u(x,t_\text{end})[/latex] durch die Strategie des [b]möglichst späten Heizens[/b] maximiert wird. Prinzipiell interessiert mich der allgemeine Fall inhomogener und anisotroper Medien, d.h. [latex]\Delta u = \sum_{i} \partial_i^2 u \quad \to \quad D u = \sum_{ik} a \partial_i A_{ik} \partial_k u[/latex] für positives a und eine positiv definite, symmetrische Matrix A, wobei beide Funktionen von Ort und Zeit sein können.[/quote]
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Nachricht
TomS
Verfasst am: 05. Sep 2022 09:42
Titel:
Ich nenne mal eine konkrete
Vermutung:
Gegeben sei die Wärmeleitungsgleichung in n Dimensionen
mit einem Term f(x,t) als Wärmequelle, der genau für
nicht verschwindet, und für den die Bedingung
erfüllt ist.
Zu zeigen ist, dass
durch die Strategie des
möglichst späten Heizens
maximiert wird.
Prinzipiell interessiert mich der allgemeine Fall inhomogener und anisotroper Medien, d.h.
für positives a und eine positiv definite, symmetrische Matrix A, wobei beide Funktionen von Ort und Zeit sein können.
TomS
Verfasst am: 04. Sep 2022 08:51
Titel: Verallgemeinerung von Newtonscher zur Wärmeleitung
Für das Newtonsche Abkühlungsgesetzes mit
(T: Temperatur, h: Wärmeübergangskoeffizient, A: Oberfläche, C: Wärmekapazität, P: Heizleistung)
kann man die Frage nach einer optimalen Heizstrategie stellen: ausgehend von einer bekannten Anfangstemperatur soll mit
minimalem
Energieaufwand zu einem bestimmten Zielzeitpunkt eine bestimmte Zieltemperatur erreicht werden. Äquivalent kann man bei vorgegebenem Energieaufwand nach der
maximal
erreichbaren Zieltemperatur fragen.
Dazu betrachtet man die mittlere Leistung sowie die Schwankung um die mittlere Leistung
Einsetzen in die Lösung der Differentialgleichung liefert für gegebene Gesamtenergie den zu optimierenden Term
Aufgrund der Gewichtung im Integral wird dieses durch
möglichst spätes Heizen
optimiert, d.h. bei einer maximal möglichen Heizleistung durch
Das selbe Ergebnis gilt auch für die Verallgemeinerung eines zeitabhängiges Wärmeübergangskoeffizienten und die Ersetzung aller Exponentialfunktionen
in der o.g. Lösung.
Frage:
Lässt sich diese Fragestellungen auch für die Wärmeleitungsgleichung für homogene bzw. inhomogene Medien verallgemeinern, z.B. für eine mittlere Temperatur in einem bestimmten Volumen, und ist ein ähnliches Ergebnis wie
möglichst spätes Heizen
bekannt? Umgekehrt, für welche Phänomene gilt dieses Ergebnis nicht? Kennt jemand dazu Literatur?