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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts:
Latex-Kurzbeschreibung
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Formeleditor
[quote="navix"]Ein Punktteilchen der Masse [latex]m[/latex] bewegt sich entlang der Bahnkurve [latex]\vec{r}(t)[/latex], die gegeben ist durch [latex]\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} v_\perp t \cos(\omega t) \\ v_\perp t \sin(\omega t) \\ v_\parallel t \end{pmatrix}[/latex] (a) Berechnen Sie den von [latex]t = 0[/latex] bis [latex]t[/latex] zurückgelegten Weg [latex]s(t)[/latex]. In welcher Ebene verlässt es den Ursprung zur Zeit [latex]t = 0[/latex]? (b) Bestimmen Sie die Newton'sche Bewegungsgl. des Teilchens! Zeigen Sie dazu zuerst, dass das Teilchen sich in einem mit der Kreisfrequenz [latex]\omega[/latex] um die [latex]z[/latex]-Achse rotierenden Koordinatensystem [latex]K'[/latex] kräftefrei bewegt. Ist der Drehimpuls des Teilchens erhalten? Gibt es eine erhaltene Energie? ___________________ Zunächst zu der (a): Ich habe Zylinderkoordinaten eingeführt mit [latex]\rho(t) = v_\perp t, \quad \phi(t) = \omega t, \quad z(t) = v_\parallel t[/latex] [latex]\implies \vec{r}(t) = \begin{pmatrix} \rho \cos \phi \\ \rho \sin \phi \\ z \end{pmatrix} = \rho \vec{e}_\rho + z \vec{e}_z[/latex] [latex]\implies \dot{\vec{r}}(t) = \dot{\rho} \vec{e}_\rho + \rho \dot{\vec{e}}_\rho + \dot{z} \vec{e}_z = v_\perp \vec{e}_\rho + v_\perp t \omega \vec{e}_\phi + v_\parallel \vec{e}_z[/latex] Die Geschwindigkeit erhalte ich dann als Betrag: [latex]v^2(t) = [\dot{\vec{r}}(t)]^2 = v^2_\perp + v_\perp^2 t^2 \omega^2 + v_\parallel^2[/latex] Dann kann ich doch einfach Integrieren: [latex]\int \mathrm{d}s = \int_0^t v(t) \mathrm{d}t[/latex] [latex]\implies s(t) = \int_0^t \sqrt{v^2_\perp + v_\perp^2 t^2 \omega^2 + v_\parallel^2} \mathrm{d}t = v_\perp \omega \int_0^t \sqrt{\frac{v_\perp^2}{v_\perp^2 \omega^2} + \frac{v_\parallel^2}{v_\perp^2 \omega^2} + t^2} \, \mathrm{d}t[/latex] Integraltafel sagt: [latex]\int_0^b \mathrm{d}x \, \sqrt{a^2 + x^2} = \frac{b}{2} \sqrt{a^2 + b^2} + \frac{a^2}{2} \ln \left(\frac{b+\sqrt{a^2+b^2}}{|a|} \right)[/latex] Da kommt dann ein sehr sehr hässlicher Ausdruck bei heraus: [latex]\frac{t}{2} \sqrt{\frac{v_\perp^2 + v_\parallel^2}{v_\perp^2 \omega^2} + t^2} + \frac{v_\perp^2 + v_\parallel^2}{2 v_\perp^2 \omega^2} \ln \left( \frac{t + \sqrt{\frac{v_\perp^2 + v_\parallel^2}{v_\perp^2 \omega^2} + t^2}}{\sqrt{\frac{v_\perp^2 + v_\parallel^2}{v_\perp^2 \omega^2}}} \right)[/latex] Oder mit [latex]z = \frac{v_\perp^2 + v_\parallel^2}{v_\perp^2 \omega^2}[/latex] [latex]\implies \frac{t}{2} \sqrt{z + t^2} + \frac{z}{2} \ln \left( \frac{t + \sqrt{z + t^2}}{\sqrt{z}} \right)[/latex] Trotzdem habe ich das Gefühl, dass hier irgendwas nicht stimmt...[/quote]
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jmd
Verfasst am: 14. Jun 2022 21:00
Titel:
navix hat Folgendes geschrieben:
Trotzdem habe ich das Gefühl, dass hier irgendwas nicht stimmt...
Der Ausdruck vor dem Integral scheint zu fehlen
Ansonsten sieht alles richtig aus
navix hat Folgendes geschrieben:
Integraltafel sagt:
Ich glaube der Betrag von a stimmt nicht. Hat aber für die Rechnung keine weitere Bedeutung
navix
Verfasst am: 14. Jun 2022 20:00
Titel: Punktteilchen entlang Bahnkurve
Ein Punktteilchen der Masse
bewegt sich entlang der Bahnkurve
, die gegeben ist durch
(a) Berechnen Sie den von
bis
zurückgelegten Weg
. In welcher Ebene verlässt es den Ursprung zur Zeit
?
(b) Bestimmen Sie die Newton'sche Bewegungsgl. des Teilchens! Zeigen Sie dazu zuerst, dass das Teilchen sich in einem mit der Kreisfrequenz
um die
-Achse rotierenden Koordinatensystem
kräftefrei bewegt. Ist der Drehimpuls des Teilchens erhalten? Gibt es eine erhaltene Energie?
___________________
Zunächst zu der (a): Ich habe Zylinderkoordinaten eingeführt mit
Die Geschwindigkeit erhalte ich dann als Betrag:
Dann kann ich doch einfach Integrieren:
Integraltafel sagt:
Da kommt dann ein sehr sehr hässlicher Ausdruck bei heraus:
Oder mit
Trotzdem habe ich das Gefühl, dass hier irgendwas nicht stimmt...