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[quote="index_razor"][quote="rhombus"] ich soll die Erwartungswerte für x^0,x,x^2,...,x^5 und p^0,p,p^2,...,p^5 für alle Zustände Psi_n im harmonischen Oszillator berechnen, also jeweils <Psi_n/x^k/Psi_n>, mir ist nicht klar, wie ich dort vorgehen soll, als Tipp wird auf die Darstellung der Eigenzustände mittels der Hermite-Polynome verwiesen, wobei die folgende Rekursionsrelation gegeben ist: x*H_n = 1/2*H_n+1 + n*H_n-1 Bis jetzt haben wir nur über Erschaffungs-/ Vernichtungsoperatoren gesprochen und die Hermite-Polynome wurden als alternative Darstellung angegeben, aber nicht weiter disktutiert, entsprechend weiß ich gerade wenig damit anzufangen. [/quote] Gemeint sind also die Erwartungswerte in der Energiedarstellung. Mehr als die algebraischen Eigenschaften der Erzeuger und Vernichter benötigst du dafür nicht. Drücke [latex]x[/latex] und [latex]p[/latex] durch [latex]a[/latex] und [latex]a^\dagger[/latex] aus und wende die so erhaltenen Ausdrücke für [latex]x^k, p^k[/latex] auf [latex]|n\rangle[/latex] an. Für die Erwartungswerte mußt du nur solche Terme berücksichtigen, in denen genauso viele Erzeuger wie Vernichter vorkommen. Alle anderen Terme ändern die Energiequantenzahl und tragen nicht zu Erwartungswerten in einem Energieeigenzustand bei.[/quote]
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rhombus
Verfasst am: 06. Mai 2022 18:05
Titel: Re: Erwartungswerte harmonischer Oszillator QM
index_razor hat Folgendes geschrieben:
rhombus hat Folgendes geschrieben:
ich soll die Erwartungswerte für x^0,x,x^2,...,x^5 und p^0,p,p^2,...,p^5 für alle Zustände Psi_n im harmonischen Oszillator berechnen, also jeweils
<Psi_n/x^k/Psi_n>, mir ist nicht klar, wie ich dort vorgehen soll, als Tipp wird auf die Darstellung der Eigenzustände mittels der Hermite-Polynome verwiesen, wobei die folgende Rekursionsrelation gegeben ist:
x*H_n = 1/2*H_n+1 + n*H_n-1
Bis jetzt haben wir nur über Erschaffungs-/ Vernichtungsoperatoren gesprochen und die Hermite-Polynome wurden als alternative Darstellung angegeben, aber nicht weiter disktutiert, entsprechend weiß ich gerade wenig damit anzufangen.
Gemeint sind also die Erwartungswerte in der Energiedarstellung. Mehr als die algebraischen Eigenschaften der Erzeuger und Vernichter benötigst du dafür nicht. Drücke
und
durch
und
aus und wende die so erhaltenen Ausdrücke für
auf
an. Für die Erwartungswerte mußt du nur solche Terme berücksichtigen, in denen genauso viele Erzeuger wie Vernichter vorkommen. Alle anderen Terme ändern die Energiequantenzahl und tragen nicht zu Erwartungswerten in einem Energieeigenzustand bei.
Etwas verwirrend, dass in der Aufgabe auf die Hermite-Polynome aufmerksam gemacht wird, aber mit diesem Ansatz habe ich es sofort hinbekommen, vielen Dank!
index_razor
Verfasst am: 06. Mai 2022 16:49
Titel: Re: Erwartungswerte harmonischer Oszillator QM
rhombus hat Folgendes geschrieben:
ich soll die Erwartungswerte für x^0,x,x^2,...,x^5 und p^0,p,p^2,...,p^5 für alle Zustände Psi_n im harmonischen Oszillator berechnen, also jeweils
<Psi_n/x^k/Psi_n>, mir ist nicht klar, wie ich dort vorgehen soll, als Tipp wird auf die Darstellung der Eigenzustände mittels der Hermite-Polynome verwiesen, wobei die folgende Rekursionsrelation gegeben ist:
x*H_n = 1/2*H_n+1 + n*H_n-1
Bis jetzt haben wir nur über Erschaffungs-/ Vernichtungsoperatoren gesprochen und die Hermite-Polynome wurden als alternative Darstellung angegeben, aber nicht weiter disktutiert, entsprechend weiß ich gerade wenig damit anzufangen.
Gemeint sind also die Erwartungswerte in der Energiedarstellung. Mehr als die algebraischen Eigenschaften der Erzeuger und Vernichter benötigst du dafür nicht. Drücke
und
durch
und
aus und wende die so erhaltenen Ausdrücke für
auf
an. Für die Erwartungswerte mußt du nur solche Terme berücksichtigen, in denen genauso viele Erzeuger wie Vernichter vorkommen. Alle anderen Terme ändern die Energiequantenzahl und tragen nicht zu Erwartungswerten in einem Energieeigenzustand bei.
rhombus
Verfasst am: 06. Mai 2022 16:32
Titel: Erwartungswerte harmonischer Oszillator QM
Meine Frage:
Hallo,
ich soll die Erwartungswerte für x^0,x,x^2,...,x^5 und p^0,p,p^2,...,p^5 für alle Zustände Psi_n im harmonischen Oszillator berechnen, also jeweils
<Psi_n/x^k/Psi_n>, mir ist nicht klar, wie ich dort vorgehen soll, als Tipp wird auf die Darstellung der Eigenzustände mittels der Hermite-Polynome verwiesen, wobei die folgende Rekursionsrelation gegeben ist:
x*H_n = 1/2*H_n+1 + n*H_n-1
Bis jetzt haben wir nur über Erschaffungs-/ Vernichtungsoperatoren gesprochen und die Hermite-Polynome wurden als alternative Darstellung angegeben, aber nicht weiter disktutiert, entsprechend weiß ich gerade wenig damit anzufangen.
Ich bedanke mich für Tips und Anregungen!
Meine Ideen:
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