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[quote="navix"][b]Meine Frage:[/b] Ein Punktteilchen der Masse [latex]m[/latex] bewege sich entlang der positiven [latex]x[/latex]-Achse gemäß der Newton'schen Bewegungsgleichung [latex]m \ddot{x} + fx - \frac{g}{x^3} = 0[/latex] mit positiven Konstanten [latex]f[/latex] und [latex]g[/latex]. (a) Finden Sie das Potential [latex]V(x)[/latex] und bestimmen Sie das Weg-Zeit-Gesetz [latex]x = x(t)[/latex] (b) Wie bewegt sich das Teilchen mit sehr kleiner Energie ([latex]E = E_\mathrm{min} + \epsilon[/latex] mit [latex]0 \leq \epsilon \ll E_\mathrm{min}[/latex])? Zeigen Sie, dass sich für hohe Energien ([latex]E \gg E_\mathrm{min}[/latex]) sogenannte Kippschwingungen mit [latex]x(t) \sim \lvert \sin(\omega t) \rvert, \quad \omega = \sqrt{f/m}[/latex] ergeben. Fertigen zu beiden Ergenissen eine Skizze an. [b]Meine Ideen:[/b] Zunächst habe ich das Potential bestimmt, indem ich die Bewegungsgleichung umgestellt habe: [latex]m \ddot{x} = \frac{g}{x^3} - fx = F[/latex] Das Potential ist dann wegen [latex]F = -\nabla V[/latex] [latex]V(x) = -\int \left(\frac{g}{x^3} - fx\right) \dd{x} = \frac{fx^4 + g}{2x^2} + C[/latex] Für die Energie erhalte ich (mit C = 0) somit [latex]E = T + V = \frac{m}{2} \dot{x}^2 + \frac{fx^4 + g}{2x^2}[/latex] Umgestellt hat man die DGL [latex]\int \dd{t} = \int \frac{\dd{x}}{\sqrt{\frac{2}{m} \left(E - (fx^4 + g)/(2x^2)\right)}}[/latex] Mithilfe von Integraltafeln ergibt sich: [latex]t - t_0 = \frac{1}{2\sqrt{f/m}} \arcsin \left( \frac{fx^2 - E}{\sqrt{E^2 - fg}} \right)[/latex] Mir ist jetzt nicht wirklich ersichtlich, wie ich dieses Ergebnis in Bezug auf "sehr kleine" und "sehr große" Energie untersuchen kann. Die Skizze von dem Potential habe ich zusätzlich in den Anhang gepackt. Auch wollte ich nachfragen, was denn genau mit der Mindestenergie [latex]E_\mathrm{min}[/latex] gemeint ist. So aus Intuition würde ich sagen, das ist genau die Energie, wenn das Teilchen in einer Potentialmulde mit kinetischer Energie 0 sitzt.[/quote]
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jmd
Verfasst am: 06. Mai 2022 18:12
Titel:
navix hat Folgendes geschrieben:
Eine Frage noch: Wie bist du denn von der Wurzel auf den Betrag vom Sinus gekommen?
Der Betrag vom Sinus steht in der Fragestellung
navix
Verfasst am: 05. Mai 2022 22:22
Titel:
jmd hat Folgendes geschrieben:
navix hat Folgendes geschrieben:
Mir ist jetzt nicht wirklich ersichtlich, wie ich dieses Ergebnis in Bezug auf "sehr kleine" und "sehr große" Energie untersuchen kann.
Man kann bei kleinen Energien eine harmonische Schwingung vermuten
Ansatz
kleine Auslenkung
bzw
Bei großen Energien muss man nach x auflösen und dann kann man E/f ausklammern
Dann bekommt man sowas
Jetzt müsste man
berechnen
Danke Dir!
Eine Frage noch: Wie bist du denn von der Wurzel auf den Betrag vom Sinus gekommen? Müsste der Sinus dann nicht irgendwie im Quadrat auftauchen, wobei nach Wurzelziehen der Betrag hinzukommt?
jmd
Verfasst am: 05. Mai 2022 17:30
Titel:
navix hat Folgendes geschrieben:
Mir ist jetzt nicht wirklich ersichtlich, wie ich dieses Ergebnis in Bezug auf "sehr kleine" und "sehr große" Energie untersuchen kann.
Man kann bei kleinen Energien eine harmonische Schwingung vermuten
Ansatz
kleine Auslenkung
bzw
Bei großen Energien muss man nach x auflösen und dann kann man E/f ausklammern
Dann bekommt man sowas
Jetzt müsste man
berechnen
jmd
Verfasst am: 05. Mai 2022 16:39
Titel: Re: Kippschwingung eines Teilchens
navix hat Folgendes geschrieben:
Auch wollte ich nachfragen, was denn genau mit der Mindestenergie
gemeint ist. So aus Intuition würde ich sagen, das ist genau die Energie, wenn das Teilchen in einer Potentialmulde mit kinetischer Energie 0 sitzt.
Ja. Die Mindestenegie hat man im Potentialminimum
navix
Verfasst am: 05. Mai 2022 02:00
Titel: Kippschwingung eines Teilchens
Meine Frage:
Ein Punktteilchen der Masse
bewege sich entlang der positiven
-Achse gemäß der Newton'schen Bewegungsgleichung
mit positiven Konstanten
und
.
(a) Finden Sie das Potential
und bestimmen Sie das Weg-Zeit-Gesetz
(b) Wie bewegt sich das Teilchen mit sehr kleiner Energie (
mit
)? Zeigen Sie, dass sich für hohe Energien (
) sogenannte Kippschwingungen mit
ergeben. Fertigen zu beiden Ergenissen eine Skizze an.
Meine Ideen:
Zunächst habe ich das Potential bestimmt, indem ich die Bewegungsgleichung umgestellt habe:
Das Potential ist dann wegen
Für die Energie erhalte ich (mit C = 0) somit
Umgestellt hat man die DGL
Mithilfe von Integraltafeln ergibt sich:
Mir ist jetzt nicht wirklich ersichtlich, wie ich dieses Ergebnis in Bezug auf "sehr kleine" und "sehr große" Energie untersuchen kann.
Die Skizze von dem Potential habe ich zusätzlich in den Anhang gepackt.
Auch wollte ich nachfragen, was denn genau mit der Mindestenergie
gemeint ist. So aus Intuition würde ich sagen, das ist genau die Energie, wenn das Teilchen in einer Potentialmulde mit kinetischer Energie 0 sitzt.