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So gehts:
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Formeleditor
[quote="navix"][b]Aufgabe:[/b] Ein Meteorit der Masse [latex]m[/latex] nähere sich aus dem Unendlichen kommend mit der Geschwindigkeit [latex]v_\infty[/latex] der Erde (Masse [latex]M \gg m[/latex], Radius [latex]R_0[/latex]). Bei fehlender Erdanziehungskraft würde der Meteorit im Abstand [latex]d \gg R_0[/latex] an der Erde vorbeifliegen. Aufgrund der Gravitationskraft ist seine Bahn jedoch zur Erde hin gekrümmt. Berechnen Sie nur unter Verwendung der Erhaltungssätze für Energie und Drehimpuls den minimalen Abstand [latex]r_0[/latex] der Meteoritenbahn von der Erde, sowie die Geschwindigkeit [latex]v_0[/latex] des Meteorits in diesem Punkt. Wie gross muss [latex]v_\infty[/latex] bei vorgegebenem [latex]d[/latex] sein, damit der Meteorit an der Erde vorbeifliegt? [b]Ansatz:[/b] Den Koordinatenursprung lege ich in den Mittelpunkt der Erde. Zunächst einmal die Erhaltungssätze: (1) Energie: [latex]E = T + U = \frac{m \dot{r}^2}{2} - \frac{GMm}{r} = \mathrm{const.}[/latex] (2) Drehimpuls: [latex]\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times\vec{\dot{r}}) = \mathrm{const.}[/latex] Damit der Meteorit an der Erde vorbeifliegt, muss für den minimalen Abstand offensichtlich [latex]r_0 > R_0[/latex] gelten und die Bahn sollte hyperbelförmig (parabelförmig?) sein. Bei noch sehr großer Entfernung ist die potentielle Energie effektiv Null und die Energie ist vollständig als kinetische Energie vorhanden, d.h. [latex]E = \frac{m v_\infty^2}{2}[/latex] Da [latex]\vec{r} \perp \vec{p}[/latex] bei [latex]r = r_0[/latex], ergibt sich der Drehimpuls dort als [latex]L = m r_0 v_0[/latex] Mir ist jetzt nicht ganz klar, wie ich den Abstand [latex]d[/latex] nutzen soll, um das Problem zu vereinfachen. Mit der Energieerhaltung erhalte ich lediglich eine Gleichung mit zwei Unbekannten [latex]v_0^2 - \frac{2GM}{r_0} = v_\infty^2[/latex][/quote]
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Myon
Verfasst am: 01. Mai 2022 21:11
Titel:
Im Unendlichen ist der Drehimpuls
Mit dieser 2. Gleichung sollte man nach r0 und v0 auflösen können.
navix
Verfasst am: 01. Mai 2022 20:45
Titel: Meteoritenbahn (Energie- und Drehimpulssatz)
Aufgabe:
Ein Meteorit der Masse
nähere sich aus dem Unendlichen kommend mit der Geschwindigkeit
der Erde (Masse
, Radius
). Bei fehlender Erdanziehungskraft würde der Meteorit im Abstand
an der Erde vorbeifliegen. Aufgrund der Gravitationskraft ist seine Bahn jedoch zur Erde hin gekrümmt. Berechnen Sie nur unter Verwendung der Erhaltungssätze für Energie und Drehimpuls den minimalen Abstand
der Meteoritenbahn von der Erde, sowie die Geschwindigkeit
des Meteorits in diesem Punkt. Wie gross muss
bei vorgegebenem
sein, damit der Meteorit an der Erde vorbeifliegt?
Ansatz:
Den Koordinatenursprung lege ich in den Mittelpunkt der Erde.
Zunächst einmal die Erhaltungssätze:
(1) Energie:
(2) Drehimpuls:
Damit der Meteorit an der Erde vorbeifliegt, muss für den minimalen Abstand offensichtlich
gelten und die Bahn sollte hyperbelförmig (parabelförmig?) sein.
Bei noch sehr großer Entfernung ist die potentielle Energie effektiv Null und die Energie ist vollständig als kinetische Energie vorhanden, d.h.
Da
bei
, ergibt sich der Drehimpuls dort als
Mir ist jetzt nicht ganz klar, wie ich den Abstand
nutzen soll, um das Problem zu vereinfachen. Mit der Energieerhaltung erhalte ich lediglich eine Gleichung mit zwei Unbekannten