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[quote="Myon"]Für den Moment kann ich nur sagen, dass in der [latex]\rho[/latex]-Komponente von [latex]\ddot{\vec{r}}[/latex] wahrscheinlich ein kleiner Fehler ist: [latex]\ddot{\vec{r}}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}^2)\vec{e}_\rho+(2\dot{\rho}\dot{\phi}+\rho\ddot{\phi})\vec{e}_\phi+\ddot{z}\vec{e}_z=0[/latex] Aus der Gleichung für die [latex]\phi[/latex]-Komponente [latex]2\dot{\rho}\dot{\phi}+\rho\ddot{\phi}=0[/latex] müsste folgen [latex]\dot{\phi}=\frac{C}{\rho^2}[/latex] Setzt man das in die Gleichung für die [latex]\rho[/latex]-Komponente ein, erhält man auch ein effektives Potential, aber im Moment bringe ich das noch nicht in Übereinstimmung mit der Energieerhaltung. Ein Vorzeichen stört mich vor allem. Ich möchte es morgen nochmals anschauen.[/quote]
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Myon
Verfasst am: 30. Apr 2022 08:03
Titel:
Wenn man die Gleichung für die
-Komponente mit
multipliziert, sieht man einfacher den Zusammenhang mit der Energieerhaltung. Für mich war noch das Problem, dass
beim Ursprung zu divergieren scheint. Das ist aber nicht der Fall: ist die Bahn des Teilchens eine Gerade durch den Ursprung, so ist
. Allerdings haben dann
und
beim Ursprung eine Unstetigkeitsstelle (ausser bei einer Bewegung entlang der z-Achse).
Myon
Verfasst am: 29. Apr 2022 20:36
Titel:
Für den Moment kann ich nur sagen, dass in der
-Komponente von
wahrscheinlich ein kleiner Fehler ist:
Aus der Gleichung für die
-Komponente
müsste folgen
Setzt man das in die Gleichung für die
-Komponente ein, erhält man auch ein effektives Potential, aber im Moment bringe ich das noch nicht in Übereinstimmung mit der Energieerhaltung. Ein Vorzeichen stört mich vor allem. Ich möchte es morgen nochmals anschauen.
navix
Verfasst am: 29. Apr 2022 18:32
Titel: Re: Kräftefreie Bewegung in Zylinderkoordinaten
Myon hat Folgendes geschrieben:
navix hat Folgendes geschrieben:
Ich soll das Potential einer kräftefreien Bewegung in Zylinderkoordinaten bestimmen und dazu den Energiesatz verifizieren.
Könntest Du bitte den genauen Aufgabentext posten? Ich verstehe nicht, was verlangt wird. Dass ich danach helfen kann, kann ich aber auch nicht versprechen...
Hallo Myon. Die gesamte Aufgabe lautete so:
Die Newton’sche Bewegungsgleichung ohne externe Kraft lautet
. Durch Nullsetzen der einzelnen Komponenten in
(1)
erhalten Sie Differentialgleichungen 2. Ordnung für
,
, und
.
Wobei
(1)
eben genau das hier war:
Bestimmen Sie
aus der
-Gleichung und setzen Sie das Resultat in die
-Gleichung ein. Die resultierende Differentialgleichung für
entspricht einer eindimensionalen Bewegung in einem effektiven Potential
.
Was erhalten Sie fur dieses Potential? Zeigen Sie, dass die
-Gleichung dem Energieerhaltungssatz entspricht:
Myon
Verfasst am: 28. Apr 2022 14:26
Titel: Re: Kräftefreie Bewegung in Zylinderkoordinaten
navix hat Folgendes geschrieben:
Ich soll das Potential einer kräftefreien Bewegung in Zylinderkoordinaten bestimmen und dazu den Energiesatz verifizieren.
Könntest Du bitte den genauen Aufgabentext posten? Ich verstehe nicht, was verlangt wird. Dass ich danach helfen kann, kann ich aber auch nicht versprechen...
navix
Verfasst am: 28. Apr 2022 11:14
Titel: Kräftefreie Bewegung in Zylinderkoordinaten
Meine Frage:
Ich soll das Potential einer kräftefreien Bewegung in Zylinderkoordinaten bestimmen und dazu den Energiesatz verifizieren.
Meine Ideen:
Gegeben sind Zylinderkoordinaten
Dazu sollte ich die Beschleunigung einer zeitabhängigen Teilchenbahn bestimmen. Durch Bestimmung der Einheitsvektoren und zweifaches Differenzieren habe ich gefunden:
Bei einer kräftefreien Bewegung gilt ja dann
Also muss jede Komponente meines Ortsvektors in Zylinderkoordinaten Null sein. Das gibt dann 3 Gleichungen:
Jetzt sollte man
aus Gleichung (2) bestimmen. (2) entspricht ja ziemlich sicher der DGL eines harmonischen Oszillators,
ich weiß aber nicht wie man hier nach
auflösen soll, da die Koeffizienten nicht konstant sind.
Danach sollte man den Ausdruck für
in Gleichung (1) einsetzen und sollte am Ende eine DGL enthalten, die eine Bewegung in einem bestimmten Potential beschreibt und den
Energiesatz
verifizieren
Wie kann ich die DGL lösen, wenn alle Variablen zeitabhängig sind?