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[quote="sax"]EDIT, Sorry, ich muß das noch mal überarbeiten waren zu viele ungenauigkeiten dabei: Die Ruhelänge der Feder ist: [latex] l_0 [/latex] Der Abstand der Massen ist, wenn sie sich nur entlang der federrichtung bewegen können: [latex] d=|x_1-x_2| [/latex] Das heißt die Feder wird um den Weg [latex] \Delta l = l_0 -|x_1-x_2| [/latex]Gesxtaucht bzw, gedehnt. Die Kraft ist also [latex] F = k \Delta l [/latex], diese wirkt auf beide Masenpunkte, wegen aktion=reaktion. Nehmen wir jetzt an, das [latex]x_2 [/latex] größer als [latex]x_1[/latex] ist: [latex] m \ddot x_1 = -k (l_0 -(x_2-x_1)) [/latex] [latex] m \ddot x_2 = k (l_0 -(x_2-x_1)) [/latex] Machen wir noch die Substitution: [latex] x_2 = \tilde{x}_2+l_0 [/latex] erhält man [latex] m \ddot x_1 = k(\tilde{x}_2-x_1) [/latex] [latex] m \ddot {\tilde{x}} _2 = k(x_1-\tilde{x}_2) [/latex] edit: So hoffe jetzt ist's beser, hab noch nen voerzeichen geänderrt(10.07)[/quote]
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sax
Verfasst am: 10. Jul 2006 02:45
Titel:
@as_string
Hast recht, das vorzeichen ist falsch.
Enkoppeln tut das System noch nicht, es sind ja immer noch zwei gekoppelte DGL's. Um die zu entkoppenln muß man noch normalmoden einführen. Aber das geht dann wahrscheinlich wirklich zu weit.
dermarkus
Verfasst am: 06. Jul 2006 20:08
Titel:
Ich glaube, wir sollten hier ein bisschen aufpassen, dass wir nicht am Threadersteller vorbeireden.
Mich interessiert immer noch, was joerg.schad zu dem Tipp ganz am Anfang sagt, und ob er damit schon etwas anfangen kann.
Sollten ihm Dinge wie das Transformieren in den Schwerpunkt oder das elegante Substituieren als zu kompliziert vorkommen, dann kann ich beruhigend sagen: Das alles
kann
man zwar machen (um das Ergebnis am Ende noch "schöner", "übersichtlicher" oder "symmetrischer" aussehen zu lassen), aber nötig, um die Bewegungsgleichungen aufzustellen, ist das nicht
.
as_string
Verfasst am: 06. Jul 2006 20:03
Titel:
Das ist ja ein System von DGLs, weil zwei davon. Entkoppeln bedeutet, dass man das System in zwei unabhängige DGLs überführt, die man dann ganz normal lösen kann (die sehen dann eben so aus, wie die für einen harmonischen Oszillator in diesem Fall). Sonst wird's sehr schwierig das hier zu lösen, glaube ich.
So weit ich das sehe hast Du sogar vier freie Konstanten. Das entspricht jeweils der Anfangsposition und Geschwindigkeit der beiden Körper, also 2*2 Parameter. (Du integrierst ja quasi zweimal jede der beiden Gleichungen und dann fällt eine Konstante für x0 und v0 raus, nur mal grob jetzt...).
Gruß
Marco
Schrödingers Katze
Verfasst am: 06. Jul 2006 19:58
Titel:
Mmh, DGL's hatte ich mit bisher nur etwas abstrakt angeguckt. Mit "entkoppeln" hatte ich noch nichts am Hut.
Aber dass du den Koordinatenursprung in den Anfang von l_0 rückst, kann ich nachvollziehen. Ich dachte, die Tilde wär was "schlimmeres"-
Ach nochwas:
Statt m*a hat man dann ja m*x'' alias m*d²x/dt² (bin zu faul zum TeXen) stehen. Wenn man das entsprechend der Regeln für DGls 2. Ordnung "verarbeitet", erhält man ja dann eine Abhängigkeit der Ortskoordinate von der Zeit, der Federkonstante und 2 Integrationskonstanten. Eine ist sicher die Ruhelagenkoordinate des Systems, aber was wäre die andere? So sinngemäß die Ausgangsstauchung der Feder? Denn die wäre ja irgendwie auch als Ausgangbedingung wichtig, oder?
as_string
Verfasst am: 06. Jul 2006 19:11
Titel:
@sax: Sach' mal, stimmt das jetzt noch mit dem Vorzeichen, bei Deinem letzten Gleichungssystem? Dann wäre ja die Beschleunigung der beiden in die selbe Richtung. Muß die nicht entgegengesetzt sein?
So ganz genau habe ich Deine Rechnung nicht gelesen, also bitte nicht schlagen, wenn ich gerade Schwachsinn geschrieben habe.
Der Trick ist nachher aber wirklich, das ganze in ein Schwerpunktsystem zu transformieren. Dann entkoppeln nämlich die DGL und es werden zu einfachen DGLs für jeweils ein harmonisches Pendel.
Gruß
Marco
sax
Verfasst am: 06. Jul 2006 14:49
Titel:
Okay war zu faul zum Schreiben, deshalb hab ich die Tilde weggelassen.(edit) Habs jetz doch wieder geschrieben und diverse sachen geändert: Sry.(edit)
Die Substitution sagt, das wenn sowohl
als auch
Null sind, die Feder entspannt ist. Man hat damit die Inhomogenität in dem DGl System Wegtransformiert. Bzw man betrachtet nur Abweichungen von der Gleichgewichtslage des Systems.
Eigentlich wäre es schöner zu schreiben:
Wobei mit
Gleichgewichtslagen gemeint sind. Dann kommt man auf die selben Gleichungen.
Wenn man
und
setzt, entspricht dies meiner obigen Substitution.
Da das Systzem aber eh Invariant gegen verschiebungen von beiden Koordinaten um den seleben Betrag ist, ist das egal.
Schrödingers Katze
Verfasst am: 06. Jul 2006 14:11
Titel:
Was hat denn die Substitution mit der Tilde zu bedeuten? Ist das einmal die Nulllage, und das andere mal nicht? Warum lässt du sie dann wieder weg?
sax
Verfasst am: 06. Jul 2006 13:43
Titel:
EDIT, Sorry, ich muß das noch mal überarbeiten waren zu viele ungenauigkeiten dabei:
Die Ruhelänge der Feder ist:
Der Abstand der Massen ist, wenn sie sich nur entlang der federrichtung bewegen können:
Das heißt die Feder wird um den Weg
Gesxtaucht bzw, gedehnt.
Die Kraft ist also
, diese wirkt auf beide Masenpunkte, wegen aktion=reaktion.
Nehmen wir jetzt an, das
größer als
ist:
Machen wir noch die Substitution:
erhält man
edit: So hoffe jetzt ist's beser,
hab noch nen voerzeichen geänderrt(10.07)
Schrödingers Katze
Verfasst am: 05. Jul 2006 21:06
Titel:
Na ja, das Minus ist geschenkt.
Die Feder bringt doch insgesamt eine Kraft proportional zur Auslenkung auf.
Ach so, du meinst, auf jeder Seite gilt m*a=D*s? Ja, das stimmt natürlich.
Na ja, ist ja nicht meine Aufgabe, und aus Fehlern lernt man bekanntlich
dermarkus
Verfasst am: 05. Jul 2006 19:32
Titel:
Schrödingers Katze hat Folgendes geschrieben:
Die Kräfte an den Enden der Feder werden gleich sein, addiert ergeben sie die Federspannkraft.
.
Da bin ich leider nicht ganz einverstanden:
Die beiden Kräfte, die an beiden Seiten der Feder ziehen, addieren sich nicht, sondern stellen actio und reactio (Kraft und Gegenkraft) derselben Spannkraft dar. Und als Ergebnis für die beiden Beschleunigungen erwarte ich etwas, bei dem die Beschleunigungen der beiden Massen unterschiedliche Vorzeichen haben.
as_string
Verfasst am: 05. Jul 2006 15:25
Titel:
Vielleicht noch ein Tip dazu:
Wenn man das ganze im Schwerpunktsystem betrachtet kann man es auf zwei harmonische Schwingungen zurück führen.
Also erst ins Schwerpunktsystem transformieren, dort die Bewegungen der Körper als harmonische Schwingungen ausrechnen (wobei sich glaube ich die Federkonstante ändern könnte... muß ich mal nachrechnen... bzw. muß man dann vielleicht mit der "reduzierten Masse" rechnen, wie war das nochmal genau?), dann die Bewegungsgleichungen zurück ins ursprüngliche System transformieren.
Gruß
Marco
//Edit: Schau Dir dazu vielleicht auch mal diesen Thread an:
http://www.physikerboard.de/topic,4142,-gekoppelte-schwingung.html
Allerdings war die Aufgabe noch etwas komplizierter, weil da auch noch das Rotieren der Scheiben eine wichtige Rolle spielte. Wenn man das aber weg läßt, dann hat man Deinen Fall.
Schrödingers Katze
Verfasst am: 05. Jul 2006 14:38
Titel:
Ich würde demmarkus zustimmen:
Die Kräfte an den Enden der Feder werden gleich sein, addiert ergeben sie die Federspannkraft.
. Damit teilen sich die Beschleunigungen entsprechend der Massen auf.
Meinst du sowas?
dermarkus
Verfasst am: 05. Jul 2006 12:02
Titel:
Der Ansatz für die Bewegungsgleichungen ist:
beschleunigende Kraft = auf den Körper wirkende Kraft .
Die Kraft, die durch die Feder auf einen Körper wirkt, ist ja die Federkraft, die von der Auslenkung der Feder
aus ihrer Gleichgewichtslage und der Federkonstanten
abhängt.
Und die beschleunigende Kraft auf ein Massestück der Masse
ist ja einfach gleich
. Die Beschleunigung
ist dabei die zweite Ablenkung der Position
dieser Masse nach der Zeit.
Also kommst du mit dem Ansatz oben auf folgende Gleichung für ein Massestück:
Was hast du konkret für eine experimentelle Anordnung gegeben? Hängen die beiden Massestücke zusätzlich jeweils an einem Fadenpendel, oder ist die Feder mit den Massestücken dran irgendwo festgemacht? Musst du eventuell also noch die Gewichtskraft bzw. die Komponente der Gewichtskraft berücksichtigen, die auf diese Massestücke parallel zu ihrer Bewegungsrichtung wirkt?
joerg.schad
Verfasst am: 05. Jul 2006 11:50
Titel: coupled systems (Bewegungsgleichung gekoppelter Massen)
Hallo,
habe ein kleines Problem.
Wenn ich 2 (verschiedene) Massen haben, die durch eine Feder verbunden sind. Hat jemand einen Tip wie ich auf die Bewegungsgleichungen der Massen komme?
Danke