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[quote="index_razor"][quote="Erster Admiral"] Aber wie kommt man nun zu dem Schluss, dass es in 4D zwei Rotationsebenen geben könnte? Auf welcher Definition des Kreuzprodukts basiert diese Aussage?[/quote] Die Verallgemeinerung des Kreuzprodukts auf n Dimensionen ist das äußere Produkt [latex]\vec{a}\wedge\vec{b}[/latex] von zwei Vektoren. Dieses Produkt repräsentiert ein orientiertes Parallelogramm, das von [latex]\vec{a}[/latex] und [latex]\vec{b}[/latex] aufgespannt wird. (Das stimmt nicht ganz. Wegen [latex]\vec{a}\wedge \vec{a}=0[/latex] repräsentieren verschiedene Parallelogramme dasselbe äußere Produkt, z.b. [latex]\vec{a}\wedge\vec{b} = \vec{a}\wedge(\vec{b} + \vec{a})[/latex]) Der Drehimpuls eines N-Teilchen-Systems in n Dimensionen ist kein Vektor, sondern ein [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Bivector]Bivektor[/url] [latex]L = \sum_{i=1}^N \vec{r}_i \wedge \vec{p}_i\qquad\text{(1)}[/latex] Als Bivektor kann man natürlich den Drehimpuls in drei Dimensionen ebenfalls auffassen. Dies ist aber die erste Besonderheit in drei Dimensionen: Jedem reinen Bivektor der Form [latex]\vec{a}\wedge\vec{b}[/latex] kann man umkehrbar eindeutig einen Vektor zuordnen, nämlich den Vektor orthogonal zu [latex]\vec{a}[/latex] und [latex]\vec{b}[/latex] mit dem Flächeninhalt des beschriebenen Parallelogramms als Länge. (Das ist natürlich genau das Kreuzprodukt von [latex]\vec{a}[/latex] und [latex]\vec{b}[/latex].) Die Summe (1) repräsentiert also im Dreidimensionalen wiederum einen Vektor und damit ebenfalls wieder eine Ebene orthogonal zu diesem Vektor. Man kann das auch rein algebraisch so auffassen: im Dreidimensionalen ist jede Summe von Bivektoren ein reiner Bivektor, also von der Form [latex]\vec{a}\wedge\vec{b}[/latex]. Das liegt daran, daß jede Summe von zwei Bivekoren mindestens vier Vektoren enthält, aber nur drei davon linear unabhängig sein können. Damit kann man sich leicht überlegen, daß eine Summe von zwei Bivektoren ein reiner Bivektor ist. In mehr als drei Dimensionen gilt das nicht mehr, z.B. kann man die Summe [latex]\vec{e}_1\wedge\vec{e}_2 + \vec{e}_3\wedge\vec{e}_4[/latex] aus 4 linear unabhängigen Vektoren nicht als reinen Bivektor schreiben. Eine Summe von Bivektoren wie (1) repräsentiert dort also im allgemeinen keine Ebene mehr. Ich denke darauf spielt das Video an. Es stimmt aber [i]nicht[/i], daß eine solche Summe genau zwei Ebenen darstellt, z.B. ist [latex]\vec{e}_1\wedge\vec{e}_2 + \vec{e}_3\wedge\vec{e}_4 = (\vec{e}_1 + \vec{e}_3)\wedge\vec{e}_2 + \vec{e}_3\wedge(\vec{e}_4 - \vec{e}_2)[/latex] Dieser Bivektor läßt sich also auf zwei verschiedene Arten als Summe zweier Ebenen darstellen.[/quote]
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TomS
Verfasst am: 18. März 2022 06:48
Titel:
Neben dem 3- lässt auch der 7-dim. Raum ein Vektorprodukt zu, das Vektoren auf Vektoren abbildet. Es ist jedoch nicht eindeutig, und es erfüllt nicht bestimmte Eigenschaften des Vektorproduktes in drei Dimensionen.
lh2
Verfasst am: 17. März 2022 19:17
Titel:
Was mich interessieren würde ist folgendes
Wie sieht die Lagrangefunktion eines Teilchens im Zentralfeld mit 4 dimensionalen Kugelkoordinaten aus
Ich vermute,dass neben
auch
Damit hätte man 2 zyklische Koordinaten und somit auch 2 Drehimpulse die erhalten bleiben
Könnte das sein?
index_razor
Verfasst am: 17. März 2022 18:06
Titel: Re: Kreuzprodukt und Galaxienbildung in 4 Raumdimensionen
Erster Admiral hat Folgendes geschrieben:
Aber wie kommt man nun zu dem Schluss, dass es in 4D zwei Rotationsebenen geben könnte? Auf welcher Definition des Kreuzprodukts basiert diese Aussage?
Die Verallgemeinerung des Kreuzprodukts auf n Dimensionen ist das äußere Produkt
von zwei Vektoren. Dieses Produkt repräsentiert ein orientiertes Parallelogramm, das von
und
aufgespannt wird. (Das stimmt nicht ganz. Wegen
repräsentieren verschiedene Parallelogramme dasselbe äußere Produkt, z.b.
)
Der Drehimpuls eines N-Teilchen-Systems in n Dimensionen ist kein Vektor, sondern ein
Bivektor
Als Bivektor kann man natürlich den Drehimpuls in drei Dimensionen ebenfalls auffassen. Dies ist aber die erste Besonderheit in drei Dimensionen: Jedem reinen Bivektor der Form
kann man umkehrbar eindeutig einen Vektor zuordnen, nämlich den Vektor orthogonal zu
und
mit dem Flächeninhalt des beschriebenen Parallelogramms als Länge. (Das ist natürlich genau das Kreuzprodukt von
und
.) Die Summe (1) repräsentiert also im Dreidimensionalen wiederum einen Vektor und damit ebenfalls wieder eine Ebene orthogonal zu diesem Vektor.
Man kann das auch rein algebraisch so auffassen: im Dreidimensionalen ist jede Summe von Bivektoren ein reiner Bivektor, also von der Form
. Das liegt daran, daß jede Summe von zwei Bivekoren mindestens vier Vektoren enthält, aber nur drei davon linear unabhängig sein können. Damit kann man sich leicht überlegen, daß eine Summe von zwei Bivektoren ein reiner Bivektor ist. In mehr als drei Dimensionen gilt das nicht mehr, z.B. kann man die Summe
aus 4 linear unabhängigen Vektoren nicht als reinen Bivektor schreiben. Eine Summe von Bivektoren wie (1) repräsentiert dort also im allgemeinen keine Ebene mehr. Ich denke darauf spielt das Video an. Es stimmt aber
nicht
, daß eine solche Summe genau zwei Ebenen darstellt, z.B. ist
Dieser Bivektor läßt sich also auf zwei verschiedene Arten als Summe zweier Ebenen darstellen.
Erster Admiral
Verfasst am: 17. März 2022 11:00
Titel: Kreuzprodukt und Galaxienbildung in 4 Raumdimensionen
In diesem Video:
https://youtu.be/tmNXKqeUtJM
wird gesagt, dass es bei der Bildung von Planetensystemen und Astronomischen Disks allgemein entscheidend ist, dass wir in einem dreidimensionalen Raum leben, da es zum Beispiel in vier Dimensionen zwei Rotationsebenen geben würde.
Die Rotationsebene wird ja letztendlich durch den Gesamtdrehimpuls festgelegt. Also vermute ich, dass es damit zusammen hängt dass wir nur in 3D ein wohldefiniertes Kreuzprodukt haben um den Drehimpuls zu definieren.
Aber wie kommt man nun zu dem Schluss, dass es in 4D zwei Rotationsebenen geben könnte? Auf welcher Definition des Kreuzprodukts basiert diese Aussage?