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[quote="TomS"]Es geht lediglich darum, dass Fouriertransformation F und -rücktransformation als Abbildung zwischen Funktionen zusammen die Identität ergeben. [latex]F : f \to \tilde{f}[/latex] [latex]F^{-1} : \tilde{f} = f [/latex] Dabei treten zwischen x- und p-Raum die Integrale [latex]F = a \int_\mathbb{R} dx \, e^{\mp ipx} [/latex] [latex]F^{-1} = b \int_\mathbb{R} dp \, e^{\pm ipx} [/latex] auf. Damit [latex]F^{-1} F : f \to f [/latex] gilt, muss für die Vorzeichen im Exponenten [latex]\mp[/latex] bzw. [latex]\pm[/latex] gewählt werden und außerdem [latex]ab = (2\pi)^{-1} [/latex] gelten. Es gibt zwei wesentliche Konventionen: [latex]a = b = (2\pi)^{-1/2} [/latex] [latex]a = 1, \; b = (2\pi)^{-1} [/latex] Am einfachsten machst du dir das klar, indem du das für beide Konventionen anhand einer einfache Funktion explizit durchrechnest.[/quote]
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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 18. Feb 2022 14:16<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Es geht lediglich darum, dass Fouriertransformation F und -rücktransformation als Abbildung zwischen Funktionen zusammen die Identität ergeben. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F : f \to \tilde{f}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F^{-1} : \tilde{f} = f "> <br /> <br />Dabei treten zwischen x- und p-Raum die Integrale <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F = a \int_\mathbb{R} dx \, e^{\mp ipx} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F^{-1} = b \int_\mathbb{R} dp \, e^{\pm ipx} "> <br /> <br />auf. <br /> <br />Damit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?F^{-1} F : f \to f "> <br /> <br />gilt, muss für die Vorzeichen im Exponenten <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\mp"> bzw. <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\pm"> gewählt werden und außerdem <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?ab = (2\pi)^{-1} "> <br /> <br />gelten. <br /> <br />Es gibt zwei wesentliche Konventionen: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a = b = (2\pi)^{-1/2} "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a = 1, \; b = (2\pi)^{-1} "> <br /> <br />Am einfachsten machst du dir das klar, indem du das für beide Konventionen anhand einer einfache Funktion explizit durchrechnest.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>fourierfrager</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 18. Feb 2022 13:11<span class="gen"> </span> Titel: 2pi in Fouriertransformation - wieso?</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">woher stammen die 2pi aus der fouriertransformation. Ich möchte gerne die komplette Formel mathematisch verstehen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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