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Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts:
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Formeleditor
[quote="navix"][b]Meine Frage:[/b] Eine kleine, zylinderförmige Gummistange (Länge [latex]l[/latex], Radius [latex]r = 5{,}0 \, \mathrm{mm}[/latex]) ist senkrecht an der Zimmerdecke befestigt. An ihrem unteren Ende ist eine Kreisscheibe aus Metall festgemacht (Radius [latex]R = 50 \, \mathrm{mm}[/latex]), und zwar so, dass die Symmetrieachsen der beiden Körper übereinstimmen. Wenn man die Metallscheibe nach unten zieht und dann loslässt, führt sie lineare Schwingungen aus (so wie mit einer Feder). Wenn man die Metallscheibe um ihre Achse verdreht und dann loslässt, führt sie Drehschwingungen aus. Um wieviel größer ist die Frequenz der linearen Schwingung als jene der Drehschwingung? Für Gummi ist die Poisson-Zahl [latex]\nu = 0{,}50[/latex]. Masse und Trägheitsmoment der Gummistange seien gegenüber der Metallscheibe vernachlässigbar klein. [b]Meine Ideen:[/b] Ich versuche mich gerade an dem linearen Fall. Sei die Gummistange also zunächst im Gleichgewicht (relative Längenveränderung [latex]\epsilon = 0[/latex]). Wie bei einem einfachen Feder-Masse-System kann man den Ursprung (x-Achse) dann einfach an die Gleichgewichtsposition der Metallscheibe legen und muss die Gewichtskraft nicht weiter explizit einbeziehen. Folgende Formeln könnten, denke ich, nützlich sein: [b]Zugspannung[/b] [latex]\sigma = \frac{F_N}{A}[/latex] [b]Relative Längenänderung[/b] [latex]\epsilon = \frac{\Delta l}{l}[/latex] [b]Hookesches Gesetz für linearen Dehnbereich[/b] [latex]\sigma = E \cdot \epsilon[/latex] [b]Querkontraktion[/b] [latex]\nu = - \frac{\Delta d / d}{\Delta l / l}[/latex] Für die Stauchung gelten ja quasi analog die gleichen Zusammenhänge, wobei die Längenänderung [latex]\Delta l / l[/latex] negativ ist. Generell war jetzt mein Ansatz die Bewegungsgleichung aufzustellen, die vermutlich sehr ähnlich zum ungedämpften harmonischen Oszillator sein wird. Da die [latex]x[/latex]-Achse nun genau an der Gleichgewichtsposition liegt, kann man ja schreiben: [latex]\Delta l = x[/latex] Dehnt man die Gummistange jetzt zum Beispiel um [latex]x > 0[/latex] (nach unten) aus, sodass der lineare Bereich nicht überschritten wird, hat man nach dem Hookeschen Gesetz [latex]\sigma = E \cdot \epsilon[/latex] [latex]\frac{F_N}{A} = E \cdot \frac{x}{l} \iff F_N = \frac{EA}{l} \cdot x[/latex] Lässt man den Stab nun los, versucht dieser sich mit einer gegengleichen Kraft wieder zusammenzuziehen. Die Kraft, mit der gezogen wird, müsste sich ja von der Kreisscheibe auf das untere Ende der Gummistange übertragen, oder? Womit man dann als Zugfläche [latex]A = \pi r^2[/latex] schreiben kann. Wegen der Querkontraktion ändert sich aber nun auch dieses [latex]r[/latex] noch, abhängig von der Dehnung [latex]\Delta l = x[/latex]: [latex]\nu = -\frac{\Delta d / d}{\Delta l / l} = \frac{1}{2}[/latex] [latex]\iff -\frac{\Delta r / r_0}{x / l} = \frac{1}{2}[/latex] [latex]\iff \frac{\Delta r}{r_0} = - \frac{x}{2l}[/latex] Und somit [latex]r(x) = r + \Delta r = r_0 - \frac{x}{2l} \cdot r_0 = r_0 \left(1 - \frac{x}{2l}\right)[/latex] bzw. [latex]A = \pi [r(x)]^2 = \pi r_0^2 \left(1 - \frac{x}{2l}\right)^2[/latex] Setzt man das oben ein, entsteht daraus aber eine Differentialgleichung, bei der ich keine Ahnung habe, wie ich das lösen sollte. Auch gut möglich, dass ich hier vieles wieder viel zu komplex ansetze und es einen weitaus leichteren Weg gibt. Bin dankbar für jeden Hinweis! LG[/quote]
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navix
Verfasst am: 26. Jan 2022 00:40
Titel: Re: Schwingungen - dehnbarer Gummistab
Myon hat Folgendes geschrieben:
navix hat Folgendes geschrieben:
Es geht um kleine Schwingungen, d.h.
und damit
.
Für die rücktreibende Kraft bei einer kleinen vertikalen Auslenkung gilt also einfach
Ebenso erhält man mit dem Schubmodul
das rücktreibende Drehmoment bei einer Verdrehung um den Winkel
.
Daraus folgen die Schwingungsgleichungen für Dehnungen und Drehungen und damit auch die Schwingungsfrequenzen. Die Masse der Gummistange kann ziemlich sicher vernachlässigt werden, da von einer "kleinen" Stange die Rede ist.
Danke schonmal. Inwiefern ist dann der Radius der Metallscheibe wichtig?
EDIT: Fürs Trägheitsmoment... Sorry
Myon
Verfasst am: 23. Jan 2022 14:19
Titel: Re: Schwingungen - dehnbarer Gummistab
navix hat Folgendes geschrieben:
Es geht um kleine Schwingungen, d.h.
und damit
.
Für die rücktreibende Kraft bei einer kleinen vertikalen Auslenkung gilt also einfach
Ebenso erhält man mit dem Schubmodul
das rücktreibende Drehmoment bei einer Verdrehung um den Winkel
.
Daraus folgen die Schwingungsgleichungen für Dehnungen und Drehungen und damit auch die Schwingungsfrequenzen. Die Masse der Gummistange kann ziemlich sicher vernachlässigt werden, da von einer "kleinen" Stange die Rede ist.
navix
Verfasst am: 21. Jan 2022 19:54
Titel: Schwingungen - dehnbarer Gummistab
Meine Frage:
Eine kleine, zylinderförmige Gummistange (Länge
, Radius
) ist senkrecht an der Zimmerdecke befestigt. An ihrem unteren Ende ist eine Kreisscheibe aus Metall festgemacht (Radius
), und zwar so, dass die Symmetrieachsen der beiden Körper übereinstimmen. Wenn man die Metallscheibe nach unten zieht und dann loslässt, führt sie lineare Schwingungen aus (so wie mit einer Feder). Wenn man die Metallscheibe um ihre Achse verdreht und dann loslässt, führt sie Drehschwingungen aus.
Um wieviel größer ist die Frequenz der linearen Schwingung als jene der Drehschwingung?
Für Gummi ist die Poisson-Zahl
. Masse und Trägheitsmoment der Gummistange seien gegenüber der Metallscheibe vernachlässigbar klein.
Meine Ideen:
Ich versuche mich gerade an dem linearen Fall.
Sei die Gummistange also zunächst im Gleichgewicht (relative Längenveränderung
). Wie bei einem einfachen Feder-Masse-System kann man den Ursprung (x-Achse) dann einfach an die Gleichgewichtsposition der Metallscheibe legen und muss die Gewichtskraft nicht weiter explizit einbeziehen.
Folgende Formeln könnten, denke ich, nützlich sein:
Zugspannung
Relative Längenänderung
Hookesches Gesetz für linearen Dehnbereich
Querkontraktion
Für die Stauchung gelten ja quasi analog die gleichen Zusammenhänge, wobei die Längenänderung
negativ ist.
Generell war jetzt mein Ansatz die Bewegungsgleichung aufzustellen, die vermutlich sehr ähnlich zum ungedämpften harmonischen Oszillator sein wird.
Da die
-Achse nun genau an der Gleichgewichtsposition liegt, kann man ja schreiben:
Dehnt man die Gummistange jetzt zum Beispiel um
(nach unten) aus, sodass der lineare Bereich nicht überschritten wird, hat man nach dem Hookeschen Gesetz
Lässt man den Stab nun los, versucht dieser sich mit einer gegengleichen Kraft wieder zusammenzuziehen.
Die Kraft, mit der gezogen wird, müsste sich ja von der Kreisscheibe auf das untere Ende der Gummistange übertragen, oder? Womit man dann als Zugfläche
schreiben kann. Wegen der Querkontraktion ändert sich aber nun auch dieses
noch, abhängig von der Dehnung
:
Und somit
bzw.
Setzt man das oben ein, entsteht daraus aber eine Differentialgleichung, bei der ich keine Ahnung habe, wie ich das lösen sollte. Auch gut möglich, dass ich hier vieles wieder viel zu komplex ansetze und es einen weitaus leichteren Weg gibt.
Bin dankbar für jeden Hinweis!
LG