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[quote="Physiker1.1"][quote="index_razor"]Ja, wie gesagt, der Zeitentwicklungsoperator ist [latex]U(t) = \cos(\omega t) - i\sin(\omega t)(|a_1\rangle\langle a_2| + |a_2 \rangle \langle a_1|)=\cos(\omega t) - \frac{i}{\omega\hbar}\sin(\omega t)H.[/latex] Dafür solltest du vielleicht noch eine Begründung angeben. Aber ich denke mehr Formalismus mußt du eigentlich für die Aufgabe nicht extra einführen. [/quote] Alles klar, dann vielen Dank für die Hilfe! Die Relation werde ich bei Gelegenheit beweisen, wenn ich die Zeit dafür finde. Ich denke mal das geht über die Potenzreihenentwicklung der e-Funktion. Das hattest Du ja auch weiter oben schonmal angerissen.[/quote]
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TomS
Verfasst am: 18. Jan 2022 22:59
Titel:
Physiker1.1 hat Folgendes geschrieben:
Ich denke mal das geht über die Potenzreihenentwicklung der e-Funktion.
Genau.
Physiker1.1
Verfasst am: 18. Jan 2022 21:04
Titel:
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Ja, wie gesagt, der Zeitentwicklungsoperator ist
Dafür solltest du vielleicht noch eine Begründung angeben. Aber ich denke mehr Formalismus mußt du eigentlich für die Aufgabe nicht extra einführen.
Alles klar, dann vielen Dank für die Hilfe! Die Relation werde ich bei Gelegenheit beweisen, wenn ich die Zeit dafür finde. Ich denke mal das geht über die Potenzreihenentwicklung der e-Funktion. Das hattest Du ja auch weiter oben schonmal angerissen.
index_razor
Verfasst am: 18. Jan 2022 10:02
Titel:
Ja, wie gesagt, der Zeitentwicklungsoperator ist
Dafür solltest du vielleicht noch eine Begründung angeben. Aber ich denke mehr Formalismus mußt du eigentlich für die Aufgabe nicht extra einführen.
Damit rechnest du jetzt also
in der
-Basis aus. Die Wahrscheinlichkeit
ist der Koeffizient vor
.
Physiker1.1
Verfasst am: 17. Jan 2022 19:05
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Nein, der Ansatz ist bis auf eine Kleinigkeit völlig korrekt.
Du hast
und
vertauscht. So würde das für die Heisenberg-Gleichung als Bewegungsgleichung eines Operators im Heisenbergbild gelten; wir reden hier jedoch von der Zeitentwicklung eines Dichteoperators im Schrödingerbild, der den Zustand des Systems beschreibt.
Danke, das hatte ich tatsächlich verwechselt.
Also ich schreib mal hin, wie ich das verstanden habe (nur den Ansatz, das stumpfe Ausrechnen bekomme ich dann hoffentlich alleine hin):
Dabei ist bei mir
Außerdem ist
Das setze ich dann ein in die Formel für die zeitentwickelte Dichtematrix. Die p_i bleiben dann einfach die von der Dichtematrix bei t=0 und so sollte ich am Ende eine 2x2 Matrix rausbekommen, deren Diagonaleinträge die Wahrscheinlichekeiten für a_1 und a_2 sind. Stimmt das so?
Danke für die Hilfe!
index_razor
Verfasst am: 17. Jan 2022 18:17
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Mit der sehr nützlichen Identität - darfst du zur Übung gerne beweisen -
kannst du deinen Zeitentwicklungsoperator
explizit
ausrechnen.
Übrigens, für den Fragesteller ist vielleicht auch interessant, daß man diese Identität im vorliegenden Fall auch leicht direkt, ohne Umweg über die Pauli-Matrizen zeigen kann.
Mit
(ich spare mir mal die Diracschreibweise, links stehen immer Kets, rechts Bras), kann man ja leicht sehen, daß für gerade Potenzen von
gilt
Der letzte Schritt gilt, weil
vollständig ist. Für ungerade Potenzen gilt
Damit folgt auch über die Taylorreihen von Kosinus und Sinus
index_razor
Verfasst am: 17. Jan 2022 16:51
Titel: Re: Dichtematrix - Zeitentwicklung
TomS hat Folgendes geschrieben:
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Am einfachsten ist es wohl, wenn du H erstmal diagonalisierst und
in der Energieeigenbasis darstellst.
Würde ich nicht machen - s.o. - ist aber letztlich Geschmacksache.
Kommt vielleicht darauf an, wie man es macht. In welcher Basis H diagonal ist, sieht man fast ohne Nachdenken.
Falls ich mich nicht verrechnet habe, ist
und
Damit kann man
ja recht leicht ausrechnen.
TomS
Verfasst am: 17. Jan 2022 16:29
Titel: Re: Dichtematrix - Zeitentwicklung
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Am einfachsten ist es wohl, wenn du H erstmal diagonalisierst und
in der Energieeigenbasis darstellst.
Würde ich nicht machen - s.o. - ist aber letztlich Geschmacksache.
index_razor
Verfasst am: 17. Jan 2022 16:26
Titel: Re: Dichtematrix - Zeitentwicklung
Physiker1.1 hat Folgendes geschrieben:
Meine Ideen:
Ich habe versucht mit der Zeitentwicklung der Dichtematrix zu rechnen, also mit
wobei U der Zeitentwicklungsoperator mit
ist.
Damit bin ich allerdings nicht weitergekommen. Ich bin mir nicht mal sicher, ob ich U in diesem Fall so darstellen darf, weil mein Hamiltonian ja eigentlich zeitabhängig ist, wenn ich die Zustände zeitentwickle, oder?
Nein, H ist nicht zeitabhängig. Die Darstellung
ist also zulässig. Am einfachsten ist es wohl, wenn du H erstmal diagonalisierst und
in der Energieeigenbasis darstellst.
TomS
Verfasst am: 17. Jan 2022 16:21
Titel:
Nein, der Ansatz ist bis auf eine Kleinigkeit völlig korrekt.
Eines in einer bestimmten Basis diagonalen Dichteoperators lautet
wobei die Projektoren für t = 0 gegeben sind durch
Und mit der Zeitentwicklung der Zustände gemäß
folgt die Zeitentwicklung des Dichteoperators gemäß der von-Neumann-Gleichung
Du hast
und
vertauscht. So würde das für die Heisenberg-Gleichung als Bewegungsgleichung eines Operators im Heisenbergbild gelten; wir reden hier jedoch von der Zeitentwicklung eines Dichteoperators im Schrödingerbild, der den Zustand des Systems beschreibt.
Dein Hamiltonian ist außerdem nicht zeitabhängig. Er lautet schlicht
bzw. in Matrixschreibweise unter Verwendung der Pauli-Matrix
Die Definition erfolgt mittels der Basisvektoren für t=0.
Mit der sehr nützlichen Identität - darfst du zur Übung gerne beweisen -
kannst du deinen Zeitentwicklungsoperator
explizit
ausrechnen. Der Rest ist dann triviale Algebra.
steht für das Skalarprodukt aus einem beliebigen Einheitsvektor und dem Vektor der Paulimatrizen. In deinem Fall gilt
Physiker1.1
Verfasst am: 17. Jan 2022 15:23
Titel: Dichtematrix - Zeitentwicklung
Meine Frage:
Hallo,
ich habe in dieser Aufgabe Folgendes gegeben:
Einen Hamiltonian des betrachteten quantenmechanischen Systems:
geschrieben in der Basis
.
Dabei sind die Zustände durch die (nicht entarteten) Eigenwerte eines
eines Operators A gekennzeichnet.
Zur Zeit t=0 ist die Dichtematrix als
gegeben.
Man soll nun die Wahrscheinlichkeit
dafür berechnen, dass man a_1 als Ergebnis bekommt, wenn man A zu einem späteren Zeitpunkt t misst.
Meine Ideen:
Ich habe versucht mit der Zeitentwicklung der Dichtematrix zu rechnen, also mit
wobei U der Zeitentwicklungsoperator mit
ist.
Damit bin ich allerdings nicht weitergekommen. Ich bin mir nicht mal sicher, ob ich U in diesem Fall so darstellen darf, weil mein Hamiltonian ja eigentlich zeitabhängig ist, wenn ich die Zustände zeitentwickle, oder?
Kann mir jemand helfen?