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[quote="TomS"]Also du meinst z.B. [latex]V(r) = - \frac{\alpha}{r}[/latex] [latex]E_n = - \frac{E_0}{n^2} [/latex] und zwei Bereiche [latex]r < r_n: \; E_n > V(r); \qquad r > r_n: \; E_n < V(r)[/latex] Eine zu einem n gehörige Eigenfunktionen gilt für den gesamten Definitionsbereich, also für die beiden genannten Bereiche. An der Stelle [latex]r = r_n: \; E_n = V(r)[/latex] passiert nichts außergewöhnliches (außer, wenn V(r) irgendwo unstetig ist und du die Schrödingergleichung je Bereich separat lösen musst; das ist aber in der Praxis nur in den einfachen Übungsbeispielen der Fall ;-) Beispiel für die Relevanz: Stell dir vor, du hast ein Elektron in einem gebundenen Zustand mit festem E_n. Nun schaltest du eine zeitabhängige Störung h(t) im Hamiltonoperator ein, z.B. einen zeitabhängiges elektromagnetisches Feld. Dadurch wird die Wellenfunktion in einen neuen Zustand streuen, d.h. du erhältst den Übergang [latex]u_n \to \psi[/latex] wobei zu psi i.A. [i]alle[/i] Eigenfunktionen beitragen.[/quote]
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Markooooo7
Verfasst am: 14. Jan 2022 18:32
Titel:
Ah, sehr gut, das hast du mir jetzt gut deutlich gemacht!
Vielen Dank!
TomS
Verfasst am: 14. Jan 2022 10:39
Titel:
Vorschlag für ein konkretes Beispiel:
Betrachte das Potential
mit zwei Potentialwällen
der Breite
zwischen denen ein endlicher Potentialtopf eingeschlossen ist.
1) Für Energien
folgen die Lösungen als ebene Wellen
wobei der Zusammenhang zwischen p und E abschnittsweise durch
gegeben ist.
Wie üblich muss also für
eine
Lösung geeignet aneinander gestückelt werden. Ich führe das jetzt nicht im Detail vor, aber die Strategie lautet wie folgt:
Für
gilt
Für
gilt
Eine
Eigenfunktion
wird also durch diese zwei unterschiedlichen Exponentialfunktionen ausgedrückt. Es handelt sich aber
nicht
um zwei unterschiedliche Energie-Eigenfunktionen, je Bereich eine, einmal mit Eigenwert p und einmal mit q, sondern um ein und die selbe Eigenfunktion, in beiden Bereichen mit dem selben Energie-Eigenwert E.
2) Das selbe Verfahren funktioniert auch für Energien
, wobei jetzt innerhalb der Potentialwälle der obige Ansatz zu exponentieller Dämpfung führt.
Soweit sollte das bekannt sein.
Nur zur Frage, zu welchem Spektrum eine Energie E als Eigenwert zum Hamiltonoperator H gehört: Die erlaubten Energien folgen bei derartigen Problemen üblicherweise aus den Anschlussbedingungen an den Sprungstellen des Potentials.
Wenn die erlaubten Eigenwerte E dann kontinuierlich sind, dann gehören sie zum kontinuierlichen Spektrum, andernfalls zum disktreten Spektrum. Das ist keine Aussage, die sich irgendwie auf einzelne Bereiche des Potentials bezieht.
Hinweis: die Lösung ist einfach aber algebraisch etwas aufwändig, da man die Anschlussbedingungen aufstellen und lösen muss. Außerdem sollte man die Symmetrie des Potentials beachten und statt der e-Funktionen besser Cosinus und Sinus verwenden, da dies zu Eigenfunktionen des Paritätsoperators führt.
index_razor
Verfasst am: 14. Jan 2022 10:34
Titel:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Wenn man nun das Spektrum genauer untersucht, so stellt man fest, dass es in drei Mengen zerfällt; in der Physik benötigt man meist nur zwei, nämlich das Punktspektrum und das diskrete Spektrum.
Du meinst sicher das Punktspektrum und das
kontinuierliche Spektrum
.
Zitat:
In der Praxis sind die drei Teile des Spektrums disjunkt (ich weiß nicht, ob dies mathematisch beweisbar allgemein so ist).
Oft wird das kontinuierliche Spektrum so definiert, daß es disjunkt zum Punkt- und zum Restspektrum ist. (Dann gilt natürlich auch
nur für
falls
.) Zu Beweisen gibt es dann natürlich nichts. Manchmal definiert man das kontinuierliche Spektrum von H als das Spektrum der Einschränkung von H auf den Teilraum des Hilbertraums, dessen Elemente stetige Spektralmaße haben. Dann kann das kontinuierliche Spektrum auch Eigenwerte enthalten, beide Teilspektren sind dann also nicht disjunkt. (Normierbar sind die zugehörigen Eigenfunktionen natürlich in jedem Fall.)
TomS
Verfasst am: 14. Jan 2022 09:06
Titel:
Nein.
1)
Siehe bitte nochmal das Beispiel des Wasserstoffatoms; ich habe genau diese Frage beantwortet ;-)
Jede einzelne Eigenfunktion der Schrödingergleichung ist eine Eigenfunktion auf dem
gesamten
dreidimensionalen Raum (in einfacheren Fälle auf der gesamten reellen Zahlengerade). Es ist sinnlos, den dreidimensionalen Raum oder die Zahlengerade in einzelne Bereiche zu unterteilen und dem Eigenwert hier oder dort
unterschiedliche
Eigenschaften zuzuschreiben. Wenn du diese Unterteilung doch vornimmst, weil das Potential stückweise stetig ist und du die Schrödingergleichung je Bereich separat löst, dann fügst du die Teile letztlich doch wieder zu
einer
Eigenfunktion zusammen.
Im Falle des Wasserstoffatoms habe ich je E_n die beiden Bereiche oben genannten; niemand würde aber auf die Idee kommen, die Eigenschaften des Spektrums separat zu betrachten
Man spricht manchmal von klassisch erlaubten und klassisch verbotenen Bereichen; im klassisch erlaubten Bereich findet man eine lokalisierte Wellenfunktion; diese Wellenfunktion wird im klassisch verbotenen Bereich klein sein und zum Beispiel exponentiell abfallen; trotzdem ist es
eine
Wellenfunktion, die als Ganzes - bzw. deren zugehöriger Eigenwert - entweder zum Punkt- oder zum kontinuierlichen Spektrum führt. Im Falle des Wasserstoffatoms ist für die Eigenfunktionen mit Eigenwert < 0 der gesamte rechte Bereich klassisch verboten. Das hat jedoch nichts mit der Frage der Spektren zu tun.
2)
Mathematisch kann man dies alles auf die Eigenschaften des Spektrums selbstadjungierter Operatoren zurückführen. Dabei betrachtet man die Eigenschaften der Operatorschar
für eine komplexe Zahl z. Insbs. geht es darum, ob diese sogenannte Resolvente R für ein bestimmtes z auf dem gesamten Hilbertraum definiert ist. Lax gesprochen besteht das Spektrum von H aus den Werten von z, für die dies nicht der Fall ist.
Wenn R definiert ist, dann gilt trivialerweise für eine Funktion f
Wenn R nicht definiert ist, weil
d.h. wenn eine Eigenfunktion f zum Operator H mit Eigenwert z vorliegt, dann wird
offensichtlich sinnlos.
Wenn man nun das Spektrum genauer untersucht, so stellt man fest, dass es in drei Mengen zerfällt; in der Physik benötigt man meist nur zwei, nämlich das Punktspektrum und das diskrete Spektrum. Deren Eigenschaften folgen aus H als Ganzem, dazu muss in H noch nicht mal ein Potentialterm vorhanden sein.
In der Praxis sind die drei Teile des Spektrums disjunkt (ich weiß nicht, ob dies mathematisch beweisbar allgemein so ist). D.h. wenn man einen Eigenwert E hat, zu dem mehrere Eigenfunktionen gehören können (Entartung), dann sind
alle
Eigenfunktion entweder sämtlich normierbar - E gehört zum diskreten Spektrum, in einer genügend kleinen Umgebung zu E liegen keine weiteren Eigenwerte - oder nicht - E gehört zum kontinuierlichen Spektrum. Dies ist die wesentliche (physikalisch laxe) Unterscheidung zwischen den beiden Spektren. Wie du siehst, erfolgt dabei keine Betrachtung getrennter Bereiche der Koordinaten.
Markooooo7
Verfasst am: 14. Jan 2022 07:22
Titel:
Hallo TomS,
vielen Dank für deine Antwort!
Nein, ich meinte vielmehr ein Potential, stellen wir uns am besten eins vor, welches keine Radialsymmetrie hat, welches über den x-Bereich schwankt, also in Richtung x->>unendlich und x->>minus unendlich mehrere Minima hat.
Kann es dann vorkommen, dass es hier für eine GLEICHE Energie E, 2 Intervalle auf der x Achse gibt, wobei die Energie im ersten Intervall dem diskreten Spektrum und im zweiten Intervall dem kontinuierlichen Spektrum zugeordnet wird?
Vielen Dank im Voraus!
Mit freundlichen Grüßen
Marko
TomS
Verfasst am: 13. Jan 2022 22:47
Titel:
Also du meinst z.B.
und zwei Bereiche
Eine zu einem n gehörige Eigenfunktionen gilt für den gesamten Definitionsbereich, also für die beiden genannten Bereiche. An der Stelle
passiert nichts außergewöhnliches (außer, wenn V(r) irgendwo unstetig ist und du die Schrödingergleichung je Bereich separat lösen musst; das ist aber in der Praxis nur in den einfachen Übungsbeispielen der Fall ;-)
Beispiel für die Relevanz: Stell dir vor, du hast ein Elektron in einem gebundenen Zustand mit festem E_n. Nun schaltest du eine zeitabhängige Störung h(t) im Hamiltonoperator ein, z.B. einen zeitabhängiges elektromagnetisches Feld. Dadurch wird die Wellenfunktion in einen neuen Zustand streuen, d.h. du erhältst den Übergang
wobei zu psi i.A.
alle
Eigenfunktionen beitragen.
Markooooo7
Verfasst am: 13. Jan 2022 19:51
Titel:
Hallo TomS,
was ich meine ist, was ist, wenn die Energie die ich betrachte in dem einen Intervall aufgrund des Potentials dem diskreten Spektrum zugeordnet wird, und in dem anderen Intervall der x-Achse dem kontinuierlichen Spektrum?
Wie konstruiere ich dann die allgemeine Wellenfunktion ähnlich deiner letzten Zeile deines ersten Beitrags?
Vielen Dank im Voraus!
Mit freundlichen Grüßen
Marko Pospiech
TomS
Verfasst am: 13. Jan 2022 18:26
Titel:
Jetzt geht was durcheinander.
Betrachte wieder das Wasserstoffatom. Sowohl gebundene Zustände E < 0 als auch ungebundene Zustände E > 0 haben Wellenfunktionen, die auf der gesamten reellen Zahlengerade definiert sind. D.h. die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines gebundenen Elektrons ist für beliebig große Abstände ungleich Null.
Um jeden möglichen Zustand eines Elektrons zu beschreiben, ist eben diese Darstellung notwendig.
Markooooo7
Verfasst am: 13. Jan 2022 18:15
Titel:
Hallo TomS,
vielen Dank für deine Antwort!
Was ich mich frage ist, was man macht, wenn man zwar für eine Energie, welche aus klassischer Sichtweise zu einer gebundenen Bewegung führt und damit dem diskreten Energiespektrum zugeordnet wird und man daraus für den speziellen Bereich, in dem die gebundene Bewegung abläuft eine Wellenfunktion berechnet, was ist dann mit den äußeren Bereichen, die bspw. klassisch verboten sind:
Würde man dann erst die Wellenfunktion aus dem gebundenen Bereich mit der Wellenfunktion im klassisch verbotenen Bereich verbinden und dann genau diese Wellenfunktion wie in deiner letzten Gleichung hingeschrieben, für die Lösung der Allgemeinen Schrödingergleichung benutzen und aufaddieren?
Vielen Dank im Voraus!
Mit freundlichen Grüßen
Marko
TomS
Verfasst am: 13. Jan 2022 18:05
Titel: Re: Energie im diskreten und kontinuierlichem Spektrum
MarkoOoooooo84 hat Folgendes geschrieben:
... kann es in der Quantenmechanik vorkommen, dass der Energieeigenwert im diskreten und kontinuierlichem Spektrum vorkommt? Wie rechnet man in diesem Fall die Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung aus, wenn solche Energien vorliegen ?
Wenn die Schrödingergleichung sowohl ein diskretes als auch ein kontinuierliches Spektrum hat, dann ist offenbar
Die rechts stehenden Terme bezeichnen das diskrete oder Punktspektrum, d.h. diskrete Eigenwerte mit normierbaren Eigenfunktionen, sowie das kontinuierliche Spektrum mit nicht-normierbaren "verallgemeinerten" Eigenfunktionen.
Dabei gilt in den mir bekannten Fällen immer
wobei man den Energienullpunkt evtl. noch verschieben muss.
Ein Beispiel wäre das Wasserstoffatom mit
Die allgemeine Wellenfunktionen konstruiert man mittels
Üblicherweise würde man natürlich über Impulse summieren bzw. integrieren, d.h. man muss noch Entartungen sowie Normierungsfaktoren und Variablensubstitution berücksichtigen.
MarkoOoooooo84
Verfasst am: 13. Jan 2022 17:13
Titel: Energie im diskreten und kontinuierlichem Spektrum
Meine Frage:
Hallo,
kann es in der Quantenmechanik vorkommen, dass der Energieeigenwert im diskreten und kontinuierlichem Spektrum vorkommt? Wie rechnet man in diesem Fall die Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung aus, wenn solche Energien vorliegen ?
Vielen Dank im Voraus!
Meine Ideen:
keine Idee