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Formeleditor
[quote="navix"]Wir behandeln in der Vorlesung momentan den gedämpften harmonischen Oszillator anhand seiner mechanischen Variante. (Masse an Feder mit Reibung ohne externe Kraft) Es sei [latex]F_R = -\beta \cdot \dot{x}[/latex] die Reibungskraft und [latex]F_f = -kx[/latex] die rücktreibende Federkraft. Die Bewegungsgleichung ist somit [latex]\ddot{x} + 2 \gamma \dot{x} + \omega^2 x = 0[/latex] mit [latex]\gamma = \beta/2m[/latex] und [latex]\omega^2 = k/m[/latex] Über den Exponentialansatz [latex]x(t) = e^{\lambda t}[/latex] erhält man über das charakteristische Polynom [latex]\lambda_{1,2} = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega^2}[/latex] und damit die Lösung [latex]x(t) &=& c_1 \cdot e^{\lambda_1 t} + c_2 \cdot e^{\lambda_2 t} \\ &=& c_1 \cdot \exp{\{(-\gamma + \sqrt{\gamma^2 - \omega^2}) \cdot t\}} + c_2 \cdot \exp{\{(-\gamma - \sqrt{\gamma^2 - \omega^2}) \cdot t\}}[/latex] Betrachtet man jetzt den aperiodischen Fall [latex]\gamma^2 = \omega^2[/latex] erhält man [latex]\lambda_1 = \lambda_2 = -\gamma[/latex] also nur eine Lösung: [latex]x_1(t) = e^{-\gamma t}[/latex] In meinem Skript wird jetzt angegeben, dass die zweite Lösung einfach den Faktor [latex]t[/latex] davorstehen hat, deren Korrektheit auch leicht zu verifizieren ist. Weiter wurde aber erwähnt, dass man die zweite Lösung auch ohne "Raten" finden kann: "Erhöhe Dämpfung um [latex]\epsilon[/latex], Reihenentwicklung der beiden Lösungen, Differenz bilden und Grenzwertbildung [latex]\epsilon \rightarrow 0[/latex]" Mein Ansatz wäre jetzt Folgender: Wenn ich die Dämpfung etwas erhöhe, erhalte ich ja den überdämpften Fall mit zwei reellen Lösungen. Ist jetzt gemeint, dass man die allgemeine Lösung des überdämpften Falls von der Lösung [latex]x_1[/latex] abzieht, dann die Exponentialfunktionen in Reihendarstellung schreibt und die Dämpfung [latex]\epsilon[/latex] dann gegen 0 laufen lässt? Leider kann ich nicht nachvollziehen, wie das Ganze auszusehen hat. Man kann die zweite Lösung zwar auch über Variation der Konstanten ermitteln, ich finde den zitierten Ansatz aber durchaus interessant und würde gerne den Ablauf verstehen. Liebe Grüße Navix.[/quote]
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navix
Verfasst am: 13. Jan 2022 16:34
Titel: Aperiodischer Grenzfall (gedämpfter HO)
Wir behandeln in der Vorlesung momentan den gedämpften harmonischen Oszillator anhand seiner mechanischen Variante. (Masse an Feder mit Reibung ohne externe Kraft)
Es sei
die Reibungskraft und
die rücktreibende Federkraft.
Die Bewegungsgleichung ist somit
mit
und
Über den Exponentialansatz
erhält man über das charakteristische Polynom
und damit die Lösung
Betrachtet man jetzt den aperiodischen Fall
erhält man
also nur eine Lösung:
In meinem Skript wird jetzt angegeben, dass die zweite Lösung einfach den Faktor
davorstehen hat, deren Korrektheit auch leicht zu verifizieren ist. Weiter wurde aber erwähnt, dass man die zweite Lösung auch ohne "Raten" finden kann:
"Erhöhe Dämpfung um
, Reihenentwicklung der beiden Lösungen, Differenz bilden und Grenzwertbildung
"
Mein Ansatz wäre jetzt Folgender: Wenn ich die Dämpfung etwas erhöhe, erhalte ich ja den überdämpften Fall mit zwei reellen Lösungen. Ist jetzt gemeint, dass man die allgemeine Lösung des überdämpften Falls von der Lösung
abzieht, dann die Exponentialfunktionen in Reihendarstellung schreibt und die Dämpfung
dann gegen 0 laufen lässt?
Leider kann ich nicht nachvollziehen, wie das Ganze auszusehen hat. Man kann die zweite Lösung zwar auch über Variation der Konstanten ermitteln, ich finde den zitierten Ansatz aber durchaus interessant und würde gerne den Ablauf verstehen.
Liebe Grüße
Navix.