Startseite
Forum
Fragen
Suchen
Formeleditor
Über Uns
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
Foren-Übersicht
->
Quantenphysik
Antwort schreiben
Benutzername
(du bist
nicht
eingeloggt!)
Titel
Nachrichtentext
Smilies
Weitere Smilies ansehen
Schriftfarbe:
Standard
Dunkelrot
Rot
Orange
Braun
Gelb
Grün
Oliv
Cyan
Blau
Dunkelblau
Indigo
Violett
Weiß
Schwarz
Schriftgröße:
Schriftgröße
Winzig
Klein
Normal
Groß
Riesig
Tags schließen
Schreibt eure Formeln hier im Board am besten mit Latex!
So gehts:
Latex-Kurzbeschreibung
|
Formeleditor
[quote="index_razor"][quote="Koalalover1"]Danke dir, ja der erste Teil stimmt ja mit dem überein, was ich mir gedacht hatte... Aber wie bist du auf die letzte Formel gekommen? also warum ist [latex]\frac {\delta \int_V \kappa (\nabla c)^2 dV}{\delta c} =-2 \kappa \nabla ^2 c[/latex]? [/quote] Das war im Text angedeutet: mittels partieller Integration und der Annahme, daß h im Unendlichen verschwindet. Den Ansatz hast du ja schon richtig gemacht. Du variierst [latex]c\to c + \epsilon h[/latex] und schreibst F an der Stelle als Polynom in [latex]\epsilon[/latex], d.h. [latex]F(c+\epsilon h) = F(c) + F_1(c) \epsilon + F_2(c)\epsilon^2 +\cdots[/latex] Die Funktionalableitung ist (analog zur gewöhnlichen Ableitung) der Term linear in [latex]\epsilon[/latex]. Für [latex]G(c)=\int \|\nabla c\|^2\ \dd V[/latex] ergibt dies [latex]\epsilon G_1(c) = 2\epsilon \int \nabla c\cdot \nabla h\ \dd V.\qquad\text{(1)}[/latex] Das ist im Prinzip schon die Antwort, d.h. man kann sagen: [latex]\frac{\delta G}{\delta c}[/latex] ist die [i]lineare[/i] Abbildung [latex]\frac{\delta G}{\delta c}: h\mapsto \int \nabla c\cdot \nabla h\ \dd V.[/latex] Oft will man das aber expliziter schreiben, d.h. man sucht nach einer verallgemeinerten Funktion, und bezeichnet sie als [latex]\frac{\delta G}{\delta c(x)}[/latex] (hier steht noch das Argument x im "Nenner"), so daß gilt [latex]\frac{\delta G}{\delta c}(h) = \int \frac{\delta G}{\delta c(x)}h(x)\ \dd V[/latex] Ich nehme an, dieses [latex]\delta G/\delta c(x)[/latex] ist gesucht. Das erhält man aus (1) eben aus der anfangs genannten Bedingung an h*) mittels partieller Integration oder mittels der Identität [latex]\nabla\cdot (h\nabla c) = \nabla h\cdot \nabla c + h\Delta c[/latex]. ____________________ *) Genauer gesagt benötigt man natürlich, daß das Oberflächenintegral von [latex]h\nabla c[/latex] verschwindet. Das heißt vermutlich, daß [latex]h \frac{\partial c}{\partial \vec{n}} \to 0[/latex] oder etwas ähnliches gelten muß.[/quote]
Optionen
HTML ist
aus
BBCode
ist
an
Smilies sind
an
BBCode in diesem Beitrag deaktivieren
Smilies in diesem Beitrag deaktivieren
Spamschutz
Text aus Bild eingeben
Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Gehe zu:
Forum auswählen
Themenbereiche
----------------
Mechanik
Elektrik
Quantenphysik
Astronomie
Wärmelehre
Optik
Sonstiges
FAQ
Sonstiges
----------------
Off-Topic
Ankündigungen
Thema-Überblick
Autor
Nachricht
index_razor
Verfasst am: 06. Jan 2022 08:23
Titel: Re: Funktionalableitung
Koalalover1 hat Folgendes geschrieben:
Danke dir, ja der erste Teil stimmt ja mit dem überein, was ich mir gedacht hatte...
Aber wie bist du auf die letzte Formel gekommen?
also warum ist
?
Das war im Text angedeutet: mittels partieller Integration und der Annahme, daß h im Unendlichen verschwindet. Den Ansatz hast du ja schon richtig gemacht. Du variierst
und schreibst F an der Stelle als Polynom in
, d.h.
Die Funktionalableitung ist (analog zur gewöhnlichen Ableitung) der Term linear in
.
Für
ergibt dies
Das ist im Prinzip schon die Antwort, d.h. man kann sagen:
ist die
lineare
Abbildung
Oft will man das aber expliziter schreiben, d.h. man sucht nach einer verallgemeinerten Funktion, und bezeichnet sie als
(hier steht noch das Argument x im "Nenner"), so daß gilt
Ich nehme an, dieses
ist gesucht. Das erhält man aus (1) eben aus der anfangs genannten Bedingung an h*) mittels partieller Integration oder mittels der Identität
.
____________________
*) Genauer gesagt benötigt man natürlich, daß das Oberflächenintegral von
verschwindet. Das heißt vermutlich, daß
oder etwas ähnliches gelten muß.
Koalalover1
Verfasst am: 05. Jan 2022 22:19
Titel: Funktionalableitung
Danke dir, ja der erste Teil stimmt ja mit dem überein, was ich mir gedacht hatte...
Aber wie bist du auf die letzte Formel gekommen?
also warum ist
?
Ja das c ist in dem Fall auch eine Funktion die vom dreidimensionalen Raum in die reellen Zahlen geht.
Vielen Dank!
index_razor
Verfasst am: 05. Jan 2022 18:46
Titel: Re: Funktionalableitung
Koalalover hat Folgendes geschrieben:
Meine Frage:
Ich habe folgendes Funktional gegeben:
Wie ist die Funktionalableitung davon?
Also
Meine Ideen:
Ich bin bis jetzt auf folgendes gekommen:
Das Epsilon geht gegen 0.
Weiter komme ich leider nicht.
Was ist denn mit f(c) gemeint? Die Verkettung von f und c,
? Die Funktionalableitung davon ist nach der Kettenregel einfach
.
Den zweiten Term mußt du mittels partieller Integration auf die Form
bringen. Dafür benötigst du allerdings die Annahme, daß die Variation h im Unendlichen verschwindet. Die Funktionalableitung ist per Definition der Term K(c) proportional zu
. In diesem Fall müßte das
sein.
Also insgesamt, wenn ich mich nicht irre:
Koalalover
Verfasst am: 05. Jan 2022 17:57
Titel: Funktionalableitung
Meine Frage:
Ich habe folgendes Funktional gegeben:
Wie ist die Funktionalableitung davon?
Also
Meine Ideen:
Ich bin bis jetzt auf folgendes gekommen:
Das Epsilon geht gegen 0.
Weiter komme ich leider nicht.